2012高三数学上册 16.4《组合》教案（4） 沪教版

1 16 416 4 排列组合综合应用排列组合综合应用 4 4 一 一 教学内容分析教学内容分析 本节内容是学生学习了 计数原理 加法原理与乘法原理 排列与排列数 组合与组 合数之后的内容 学生对排列组合知识已经有了初步的认识 同时也掌握了简单的排列组合 问题 因此本节内容的安排旨在 对先前所学内容的进一步加深与整合 使学生在掌握了简 单排列组合问题的基础上也能处理一些复杂的排列组合问题 本节内容的教授是对这部分内 容的总结与提升 本节内容分两节课讲授 二 二 教学目标设计教学目标设计 1 掌握解排列组合问题的步骤 掌握这一过程中 合理分类 准确分步 不重不漏的 原则 2 体会在解决排列组合问题的过程中 对问题的观察 分析 类比 归纳的研究方法 3 通过对排列组合实际问题的解决 提高学习数学的兴趣 三 三 教学重点及难点教学重点及难点 重点 解排列组合题的步骤 难点 1 分清 元素 与 位置 2 掌握 分类 与 分步 避免 重复 与 遗漏 四 四 教学用具准备教学用具准备 多媒体设备 五 五 教学流程设计教学流程设计 复习引入 解排列组题的步骤课堂练习 2 六 六 教学过程设计教学过程设计 一 复习引入 复习前一节课讲的排列组合综合题的基本类型 这节课我们就要从步骤过程上入手 进一步分析排列组合题的解 二 新课 1 步骤 例 1 有六种不同工作分配给 6 人担任 每个人只担任一种工作 且甲不能担任其中某 两种工作 问有几种方法 解法 1 先考虑有特殊要求的元素 先满足特殊元素甲 甲能担任的工作有 4 种 先 分配甲 分配后 余下工作由其余 5 人分担 有种分担方法 故共有分配方法数 5 5 P 4 4 5 480 5 5 P 解法 2 先考虑有特殊要求的位置 先满足特殊 位置 甲不能担任的某两种工作 由先除甲之外的 5 人中任选 2 人分别担任甲不能担任的某两种工作 有种方法 再由其 2 5 P 余 4 人 含甲 来分担余下四项工作 有种方法 故共有分配法数 5 4 4 4 P 2 5 P 4 4 P 4 480 改变 可将原题的限制条件加上附加条件为 而乙只能担任该两项工作 那么分配 方法有几种 解法 1 4 2 8 24 192 种 4 4 P 解法 2 192 种 4 4 2 2 1 4 1 1 P PCC 这里表示先由乙和除甲 乙外的 4 人中任选 1 人分担甲不能担任的某两项工 1 2 1 4 1 1 PCC 作 余下的四项工作包括甲在内的 4 人分担 有种 4 4 P 引导学生总结 i i 分清分清 元素元素 与与 位置位置 ii ii 分析元素与位置的特殊情形 满足分析元素与位置的特殊情形 满足 特殊优先 一般在后特殊优先 一般在后 iii iii 判断排列还是组合判断排列还是组合 例 2 已知集合 A 和集合 B 各含 12 个元素 含有 4 个元素 试求同时满足下面 BA 3 的两个条件的集合 C 的个数 1 且 C 中含有 3 个元素 CAB 2 表示空集 AC 分析 由题意知 属于集合 B 而不属于集合 A 元素个数为 12 4 8 因此满足条件 1 2 的集合 C 可分三类 第一类 含 A 中一个元素的集 C 有个 第二类 含 A 中两 2 8 1 12C C 个元素的集 C 有个 第三类 含 A 中三个元素的集 C 有个 故所求集 C 的个数是 1 8 2 12C C3 12 C 1084 2 8 1 12C C 1 8 2 12C C3 12 C 例 3 2 名医生和 4 名护士被分配到两所学校为学生体检 每校分配 1 名医生和 2 名 护士 不同分配方法共有 A 6 种 B 12 种C 18 种 D 24 种 分析 完成分配方案可分两步 先从 2 名医生中各取 1 名分配到两所学校有 C 种 再 1 2 从 4 名护士中各取 2 名分到两所学校有 C种 由乘法原理知分配方案有 12 种 2 2 2 4C 2 2 2 4 1 2 CCC 选 B 引导学生总结 iv iv 合理分类 准确分步 不重不漏合理分类 准确分步 不重不漏 即 解排列组合题的步骤 i i 分清分清 元素元素 与与 位置位置 ii ii 分析元素与位置的特殊情形 满足分析元素与位置的特殊情形 满足 特殊优先 一般在后特殊优先 一般在后 iii iii 判断排列还是组合判断排列还是组合 iv iv 合理分类 准确分步 不重不漏合理分类 准确分步 不重不漏 2 由上可知 解决排列组合问题首先必须分清元素与位置 及是排列问题还是组合问 题 其次 分析求解过程要注意掌握处理排列与组合问题的基本思想 即按元素 或位置 的性质分类或按事件发生过程分步 例 4 在某次乒乓球单打比赛中 原计划每两名选手之间恰好一场比赛 1 场 但有 3 名 选手各比赛了 2 场之后就退出比赛 这样全部比赛只进行了 50 场 那么 上述 3 名选手之 间的比赛场数是多少场 分析 由于 3 名选手之间最多有 3 场比赛 最少有 0 场比赛 所以应分 0 2 3 C 1 2 3 四种情况分类讨论 解 设所有选手为 n 个 4 1 若比赛 0 场 则总的比赛场次为 3 名选手与其余选手比赛 6 场 其余 n 3 名选 手之间比赛场 2 3 n C 则 6 50 2 3 n C 即 n2 5n 82 0 此方程无正整数解 故舍去 2 若比赛 1 场 则总的比赛场次为 3 名选手中有两人之间比赛一场 这两人与其余 选手各赛一场 第三人与其余选手比赛 2 场 其余 n 3 名选手之间比赛场 2 3 n C 则 5 50 2 3 n C 即 n2 5n 84 0 解得 n 12 或 n 7 舍去 3 若比赛 2 场 则总的比赛场次为 4 50 2 3 n C 即 n2 5n 86 0 此方程无正整数解 故舍去 4 若比赛 3 场 则总的比赛场次为 3 50 2 3 n C 即 n2 5n 88 0 此方程无正整数解 故舍去 综上所述 3 名选手之间的比赛的场数是 1 场 在解排列组合问题时的分类分步这一步骤时 我们应按元素的性质进行分类 事情的 发生的连续过程分步 做到分类标准明确 每两类的交集为空集 所有各类的并集为全集 分步层次清楚 从而达到不重不漏 3 课堂练习 1 用数字 0 1 2 3 4 5 组成无重复数字 1 可以组成多少个六位数 2 可以组成多少个四位奇数 3 可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个 4 可以组成多少个能被 3 整除的四位数 5 可以组成多少个大于 324105 的六位数 解 1 从特殊元素 0 入手 0 不能排在十万位 0 有种排法 剩下的 5 个数字可 1 5 P 排在 5 个数位下 有种 故可组成 600 个六位数 5 5 P 1 5 P 5 5 P 5 从特殊位置十万位入手 有种排法 剩下的五个位置有种 故可组成 1 5 P 5 5 P 600 个六位数 1 5 P 5 5 P 六个数字可组成个 六位数 其中包括 0 在十万位的情形 而 0 在最高位上的 6 6 P 六位数 应扣除 有个 故共有 600 个六位数 5 5 P 6 6 P 5 5 P 2 从特殊位置入手 个位上有种排法 首位上有种排法 中间两位上有 1 3 P 1 4 P 种排法 故共有 144 个 2 4 P 1 3 P 1 4 P 2 4 P 从特殊元素入手 可分为两类 含数字 0 的有个 不含有数字 0 的有 1 3 P 1 2 P 2 4 P 个 故共有四位奇数 144 个 1 3 P 3 4 P 1 3 P 1 2 P 2 4 P 1 3 P 3 4 P 间接法 个位是奇数的数共有个 其中不合条件的 0 在首位 有个 故符 3 5 3P 2 4 3P 合条件的四位奇数共有 144 个 3 5 3P 2 4 3P 3 分类 如果有 0 则 0 可排在个位或十位有 2 种 其余 5 个数字可排在二个数位 上有种 所以有个三位数 如果无 0 则 2 4 中可选出 1 个有 2 种 再从其余 2 5 P402 2 5 P 3 个奇数中选出 2 个有种 然后将 3 个数字全排列有种 所以有 2 36 个二位 2 3 C 3 3 P 2 3 C 3 3 P 数 如果无 0 则 2 4 中可选出 2 个有 1 种 再从其余 3 个奇数中选出 1 个有 3 种 然后将 3 个数字全排列有种 所以有个三位数 共有个 3 3 P1831 3 3 P 94183640 三位数共有个 但其中三个数字都不是偶数即均为奇数的有个 故至少含有 2 5 1 5P P 3 3 P 一个偶数的三位数有 94 个 2 5 1 5P P 3 3 P 4 一个整数能被 3 整除的充要条件是它的各位数字之和是 3 的倍数 符合条件的有 5 组数 0 1 2 3 0 2 3 4 0 3 4 5 0 1 3 5 1 2 4 5 前 4 组每组组 成的四位数各有个 后一组组成的四位数有个 故可组成能被 3 整除的四位数有 3 3 1 3P P 4 4 P 个 964 4 4 3 3 1 3 PPP 5 采用间接法 六位数共有个 不大于 324105 的数列如 3240 有 2 个 5 5 5P 321 与 320 有个 31 与 30 有个 324105 1 个 3 3 2P 4 4 2P 2 与 1 有个 所以满足条件的六位数共有 5 5 2P 个 297212222 5 5 4 4 3 3 5 5 PPPP 采用加法 符合条件的是形如 5 和 4 的数有个 5 5 2P 35 和 34 的数有个 325 的数有个 3245 的数有 4 4 2P 3 3 P 个 还有 1 个 324150 故符合条件的六位数共有 2 2 P 6 个 29712222 2 2 3 3 4 4 5 5 PPPP 2 步中有类 一块并排 10 垄的田地中 选择 2 垄分别种植 A B 两种作物 每种作物种植一垄 为 了有利于作物生长 要求 A B 两种作物的间隔不小于 6 垄 则不同的选垄方法共有 种 解 先考虑作物 A 种植在第一垄时 作物 B 有 3 种种植方法 再考虑作物 A 种植在第 二垄时 作物 B 有 2 种种植方法 又当作物 A 种植在第三垄时 作物 B 有 1 种种植方法 而 作物 B 种植的情况与作物 A 相同 所以满足条件的不同选垄方法共有 3 2 1 2 12 种 3 类中有步 6 个不同的小球放人三个不同的盒子中 每个盒子中至少有一个 有几种方法 分析 在本例中 既耍考虑每个盒子到底放几个小球 还要看哪几个小球放人该盒子 既要选小球 又要选盒子 这就是常见的排列组合综合问题 第一步 是将 6 个不同的小球分成三堆 组 这其中涉及组合 分成三堆后 将 这三堆分别放人三只不同的盒子 这是排列问题 因为这三堆小球各不相同 因此本例 可在例 3 的基础上完成 N 540 种 不同的分法 90 3 3 P 第一类 三个盒子内小球的数量分别为 4 1 1 先从 6 个不同的小球中选出 4 个小球 看成一件物品 它和剩下两个小球可看作三件物品 分别放人三个不同的盒子 有种 3 3 4 6P C 第二类 三个盒子内小球的数量分别为 3 2 1 先从 6 个不同的小球中选出 3 个 再 从剩下三个小球中选出 2 个小球 选好后分 别放人三个不同的盒子 有种 3 3 2 3 3 6 PCC 第三类 三个盒子内小球的数量分别为 2 2 2 有种 2 2 2 4 2 6 CCC 共有 540 不同分法 2 2 2 4 2 6 3 3 3 3 3 6 3 3 4 6 CCCPCCPC 三 小结 略 四 布置作业 略 七 七 教学设计说明教学设计说明 如果说 16 4 排列组合综合应用 3 是从内容角度来分类的话 那么 16 4 排列组合综 7 合应用 4 是从解题的过程角度将它分为如下四个步骤 i 分清 元素 与 位置