【高考调研】（新课标）河北省衡水重点中学2014高考数学 课时作业讲解81 理

1 课时作业课时作业 八十一八十一 第二次作业 1 2010 新课标全国卷 某种种子每粒发芽的概率都为 0 9 现播种了 1 000 粒 对 于没有发芽的种子 每粒需再补种 2 粒 补种的种子数记为X 则X的数学期望为 A 100 B 200 C 300D 400 答案 B 解析 记 不发芽的种子数为 则 B 1 000 0 1 所以E 1 000 0 1 100 而X 2 故E X E 2 2E 200 故选 B 2 2013 岳阳联考 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为a 得 2 分的概率为 b 不得分的概率为c a b c 0 1 已知他投篮一次得分的数学期望为 2 不计其他得 分情况 则ab的最大值为 A B 1 48 1 24 C D 1 12 1 6 答案 D 解析 设投篮得分为随机变量X 则X的分布列为 X320 Pabc E X 3a 2b 2 2 所以ab 3a 2b 1 6 当且仅当 3a 2b时 等号成立 3 随机变量 的分布列如下 1 01 Pabc 其中a b c成等差数列 若E 则D 的值是 1 3 A B 1 3 2 3 C D 5 9 7 9 答案 C 解析 a b c成等差数列 2b a c 又a b c 1 且E 1 a 1 c c a 联立三式得a b c D 1 1 3 1 6 1 3 1 2 1 3 2 2 0 2 1 2 1 6 1 3 1 3 1 3 1 2 5 9 4 设一次试验成功的概率为p 进行 100 次独立重复试验 当p 时 成功次 数的标准差的值最大 其最大值为 答案 25 1 2 解析 D 100p 1 p 100 2 25 p 1 p 2 当且仅当p 1 p 即p 时 D 最大为 25 1 2 5 某保险公司新开设了一项保险业务 若在一年内事件E发生 该公司要赔偿a元 设一年内事件E发生的概率为p 为使公司收益的期望值等于a的 10 公司应要求投保人 交的保险金为 元 答案 0 1 p a 解析 设要求投保人交x元 公司的收益额 作为随机变量 则p x 1 p p x a p 故E x 1 p x a p x ap x ap 0 1a x 0 1 p a 6 2012 沈阳模拟 设l为平面上过点 0 1 的直线 l的斜率等可能地取 2 2 0 2 用X表示坐标原点到l的距离 则随机变量X的数学期望E X 3 5 2 5 232 答案 4 7 解析 当l的斜率为 时 直线方程为 2x y 1 0 此时d1 k 时 22 1 33 d2 k 时 d3 k 0 时 d4 1 由等可能性事件的概率可得分布列如下 1 2 5 2 2 3 X 1 3 1 2 2 3 1 P 2 7 2 7 2 7 1 7 E X 1 1 3 2 7 1 2 2 7 2 3 2 7 1 7 4 7 7 某制药厂新研制出一种抗感冒药 经临床试验疗效显著 但由于每位患者的身体素 质不同 可能有少数患者服用后会出现轻微不良反应 甲 乙 丙三位患者均服用了此抗 感冒药 若他们出现轻微不良反应的概率分别是 1 5 1 3 1 4 3 1 求恰好有一人出现轻微不良反应的概率 2 求至多有两人出现轻微不良反应的概率 3 设出现轻微不良反应的人数为 求 的分布列和数学期望 解析 1 患者甲出现轻微不良反应 患者乙 丙没有出现轻微不良反应的概率为 患者乙出现轻微不良反应 患者甲 丙没有出现轻微不良反应的概率为 1 5 2 3 3 4 1 10 患者丙出现轻微不良反应 患者甲 乙没有出现轻微不良反应的概率为 4 5 1 3 3 4 1 5 所以 恰好有一人出现轻微不良反应的概率为P1 4 5 2 3 1 4 2 15 1 10 1 5 2 15 13 30 2 有两人出现轻微不良反应的概率P2 1 5 1 3 3 4 4 5 1 3 1 4 1 5 2 3 1 4 1 20 1 15 1 30 3 20 三人均没有出现轻微不良反应的概率P0 所以 至多有两人出现轻微不 4 5 2 3 3 4 2 5 良反应的概率为 2 5 13 30 3 20 59 60 3 依题意知 的可能取值为 0 1 2 3 由 1 2 得 P 0 P 1 P 2 P 3 1 2 5 13 30 3 20 2 5 13 30 3 20 1 60 于是 的分布列为 0123 P 2 5 13 30 3 20 1 60 的数学期望E 0 1 2 3 2 5 13 30 3 20 1 60 47 60 8 某校举行一次以 我为教育发展做什么 为主题的演讲比赛 比赛分为初赛 复赛 决赛三个阶段 已知某选手通过初赛 复赛 决赛的概率分别为 且各阶段通过与否 2 3 1 3 1 4 相互独立 1 求该选手在复赛阶段被淘汰的概率 2 设该选手比赛的次数为 求 的分布列和数学期望 解析 1 记 该选手通过初赛 为事件A 该选手通过复赛 为事件B 该选手通 过决赛 为事件C 则P A P B P C 2 3 1 3 1 4 所以所求的概率P P A P A P 1 BB 2 3 1 3 4 9 4 2 依题意知 的可能取值为 1 2 3 P 1 P 1 A 2 3 1 3 P 2 P A P A P 1 BB 2 3 1 3 4 9 P 3 P AB P A P B 2 3 1 3 2 9 的分布列为 123 P 1 3 4 9 2 9 的数学期望E 1 2 3 1 3 4 9 2 9 17 9 9 2013 吉林实验中学一模 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩 按成绩分组 第 1 组 75 80 第 2 组 80 85 第 3 组 85 90 第 4 组 95 100 得到的频率分布直方图如图所示 1 分别求第 3 4 5 组的频率 2 若该校决定在笔试成绩高的第 3 4 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面 试 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组 求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的 概率 学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官D的面试 第 4 组中有 名学 生被考官D面试 求 的分布列和数学期望 解析 1 第三组的频率为 0 06 5 0 3 第四组的频率为 0 04 5 0 2 第五组的频率为 0 02 5 0 1 2 设M 学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 则 P M C 1 28 C 3 30 1 145 P i i 0 1 2 的分布列为 Ci2C2 i4 C2 6 5 012 P 2 5 8 15 1 15 E 8 15 2 15 2 3 10 2012 福建理 受轿车在保修期内维修费等因素的影响 企业生产每辆轿车的利 润与该轿车首次出现故障的时间有关 某轿车制造厂生产甲 乙两种品牌轿车 保修期均 为 2 年 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆 统计数据如下 品牌甲乙 首次出现故障时间 x 年 0 x 11202 轿车数量 辆 2345545 每辆利润 万元 1231 82 9 将频率视为概率 解答下列问题 1 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 求其首次出现故障发生在保修期内的概 率 2 若该厂生产的轿车均能售出 记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1 生产一辆乙品 牌轿车的利润为X2 分别求X1 X2的分布列 3 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 由于资金限制 只能生产其中一种品牌的 轿车 若从经济效益的角度考虑 你认为应生产哪种品牌的轿车 说明理由 解析 1 设 甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内 为事件A 则P A 2 3 50 1 10 2 依题意得 X1的分布列为 X1123 P 1 25 3 50 9 10 X2的分布列为 X21 82 9 P 1 10 9 10 6 3 由 2 得 E X1 1 2 3 2 86 万元 1 25 3 50 9 10 E X2 1 8 2 9 2 79 万元 1 10 9 10 因为E X1 E X2 所以应生产甲品牌轿车 11 2012 陕西 某银行柜台设有一个服务窗口 假设顾客办理业务所需的时间互相 独立 且都是整数分钟 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下 办理业务所需的时间 分 12345 频率 0 10 40 30 10 1 从第一个顾客开始办理业务时计时 1 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率 2 X表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数 求X的分布列及数学期望 解析 设Y表示顾客办理业务所需的时间 用频率估计概率 得Y的分布列如下 Y12345 P0 10 40 30 10 1 1 A表示事件 第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务 则事件A对应三种情形 第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟 所以P A P Y 1 P Y 3 P Y 3 P Y 1 P Y 2 P Y 2 0 1 0 3 0 3 0 1 0 4 0 4 0 22 2 方法一 X所有可能的取值为 0 1 2 X 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟 所以P X 0 P Y 2 0 5 X 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间 超过 1 分钟 或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟 所以P X 1 P Y 1 P Y 1 P Y 2 0 1 0 9 0 4 0 49 X 2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟 所以P X 2 P Y 1 P Y 1 0 1 0 1 0 01 所以X的分布列为 X012 P0 50 490 01 E X 0 0 5 1 0 49 2 0 01 0 51 方法二 X的所有可能取值为 0 1 2 7 X 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟 所以P X 0 P Y 2 0 5 X 2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟 所以P X 2 P Y 1 P Y 1 0 1 0 1 0 01 P X 1 1 P X 0 P X 2 0 49 所以X的分布列为 X012 P0 50 490 01 E X 0 0 5 1 0 49 2 0 01 0 51 1 某项试验的成功率是失败率的 2 倍 用随机变量 描述 1 次试验的成功次数 则 P 1 等于 A 0B 1 2 C D 1 3 2 3 答案 D 解析 设失败率为p 则成功率为 2p 分布列为 01 Pp2p 由p 2p 1 得p 2p 1 3 2 3 2 2012 衡水调研卷 设 是一个离散型随机变量 其分布列为 1 01 P 1 2 1 2q q2 则q的值为 A 1B 1 2 2 C 1 D 1 2 2 2 2 答案 D 解析 由分布列的性质 有 Error 解得q 1 2 2 8 或由 1 2q 0 q 可排除 A B C 1 2 3 2012 安徽 某单位招聘面试 每次从试题库中随机调用一道试题 若调用的是A 类型试题 则使用后该试题回库 并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库 此次调 题工作结束 若调用的是B类型试题 则使用后该试题回库 此次调题工作结束 试题库 中现有n m道试题 其中有n道A类型试题和m道B类型试题 以X表示两次调题工作完 成后 试题库中A类型试题的数量 1 求X n 2 的概率 2 设m n 求X的分布列和均值 数学期望 解析 以Ai表示第i次调题调用到A类型试题 i 1 2 1 P X n 2 P A1A2 n m n n 1 m n 2 n n 1 m n m n 2 2 X的可能取值为n n 1 n 2 P X n P A1A2 n n n n n n 1 4 P X n 1 P A1 P A2 A2A1 n n n n 1 n n 2 n n n n n n 1 2 P X n 2 P A1A2 n n n n 1 n n 2 1 4 从而X的分布列是 Xn n 1n 2 P 1 4 1 2 1 4 E X n n 1 n 2 n 1 1 4 1 2 1 4 4 2012 四川 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 A和B 系统 A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p 1 10 1 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 求p的值 49 50 2 设系统A在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求 的概率 分布列及数学期望E 解析 1 设 至少有一个系统不发生故障 为事件C 那么 1 P 1 p 解得p C 1 10 49 50 1 5 2 由题意 P 0 C 3 0 3 1 10 1 1 000 9 P 1 C 2 1 1 3 1 10 1 10 27 1 000 P 2 C 1 2 2 3 1 10 1 10 243 1 000 P 3 C 1 3 3 3 1 10 729 1 000 所以 随机变量 的概率分布列为 0123 P 1 1 000 27 1 000 243 1 000 729 1 000 故随机变量 的数学期望 E 0 1 2 3 1 1 000 27 1 000 243 1 000 729 1 000 27 10 5 2012 陕西 某银行柜台设有一个服务窗口 假设顾客办理业务所需的时间互相独 立 且都是整数分钟 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下 办理业务所需的时间 分 12345 频率 0 10 40 30 10 1 从第一个顾客开始办理业务时计时 1 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率 2 X表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数 求X的分布列及数学期望 解析 设Y表示顾客办理业务所需的时间 用频率估计概率 得Y的分布列如下 Y12345 P0 10 40 30 10 1 1 A表示事件 第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务 则事件A对应三种情形 第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为