江苏省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（3） 函数与导数

1 江苏省各地市江苏省各地市 20132013 年高考数学年高考数学 最新联考试题分类汇编 最新联考试题分类汇编 3 3 函数函数 与导数与导数 一 填空题一 填空题 11 江苏省苏锡常镇四市 江苏省苏锡常镇四市 20132013 年年 3 3 月高三教学情况调研月高三教学情况调研 在平面直角坐标系中 xOy 函数的图像与轴的交点为 为函数图像上的任意一点 1 0 A x ye yBP x ye 则的最小值 OP AB A 答案 1 13 江苏省苏锡常镇四市 江苏省苏锡常镇四市 20132013 年年 3 3 月高三教学情况调研月高三教学情况调研 已知函数 则 123 1234 xxxx f x xxxx 55 2 2 22 ff 答案 8 4 4 江苏省南通市 江苏省南通市 20132013 届高三第二次调研 届高三第二次调研 设f x 是定义在 R R 上的奇函数 当x 0 时 f x x ex e 为自然对数的底数 则的值为 ln6f 答案 1 ln6 6 10 10 江苏省南通市 江苏省南通市 20132013 届高三第二次调研 届高三第二次调研 函数的所有 1 sin 1 13 f xxxx 零点之和为 答案 4 2 13 13 江苏省南通市 江苏省南通市 20132013 届高三第二次调研 届高三第二次调研 设实数x1 x2 x3 x4 x5均不小于 1 且 x1 x2 x3 x4 x5 729 则 max x1x2 x2x3 x3x4 x4x5 的最小值是 答案 9 12 江苏省无锡市江苏省无锡市 20132013 年年 2 2 月高三质量检测月高三质量检测 当 0 x 时 不等式 8x logax恒成立 3 1 则实数a的取值范围是 答案 1 3 3 13 江苏省无锡市江苏省无锡市 20132013 年年 2 2 月高三质量检测月高三质量检测 已知函数f x x2 若x f b 则 f a f b 填 或 0 所以f x 在区间上只能是单调增函 f 数 3 分 由 x 3 m 3 x2 9 0 在区间 上恒成立 所以m 3 f 故m的取值范围是 3 6 分 2 当m 3 时 f x 在 1 2 上是增函数 所以 f x max f 2 8 m 3 18 4 解得m 0 函数 记 是函数的 2111 1 ln 2 f xaxxbx abbb F xfx fx f x 导函数 且当x 1 时 取得极小值 2 F x 1 求函数的单调增区间 F x 2 证明 22 n nn F xF xn N 解 1 由题 11111 2 1 00 2 F xfxaxaaxxb abbbxbx 于是 若 则 与有极小值矛盾 所以 2 11 F xa b x 0a 0F x F x0a 令 并考虑到 知仅当时 取得极小值 0F x 0 x 1 x a F x 所以解得 4 分 1 1 1 1 2 a a b 1ab 故 由 得 所以的单调增区间为 1 0 F xxx x 0F x 1x F x 1 8 18 江苏省扬州市江苏省扬州市 20132013 年年 3 3 月高三第二次调研月高三第二次调研 本小题满分 16 分 如图 实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成 圆 P 和圆 Q 的半径都是 2km 点 P 在圆 Q 上 现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边形活 动场地 1 如图甲 要建的活动场地为 RST 求场地的最大面积 2 如图乙 要建的活动场地为等腰梯形 ABCD 求场地的最大面积 第 17 题甲 D A C B Q P N M R S M N PQ T 第 17 题乙 9 AD 必须切圆 Q 于 P 再设 BPA 则有 11 22sin222sin 2 4 sinsincos 0 222 ABCD S 四边形 令 cossinsin y 则 若 sin sincoscoscos y 1coscos2 2 0 y 1 cos 23 又时 时 函数在处取 0 3 0 y 32 0 y cossinsin y 3 到极大值也是最大值 故时 场地面积取得最大值为 km2 3 3 3 19 江苏省扬州市江苏省扬州市 20132013 年年 3 3 月高三第二次调研月高三第二次调研 本小题满分 16 分 设定义在区间 x1 x2 上的函数 y f x 的图象为 C M 是 C 上的任意一点 O 为坐标 原点 设向量 x y 当实数 满足 x OA 11 xf x 22 OBxf x OM x1 1 x2时 记向量 1 定义 函数 y f x 在区间 x1 x2 上ON OA OB 可在标准 k 下线性近似 是指 k 恒成立 其中 k 是一个确定的正数 MN 1 设函数 f x x2在区间 0 1 上可在标准 k 下线性近似 求 k 的取值范围 2 求证 函数在区间上可在标准 k 下线性近似 参 lng xx 1 ee mm m R 1 8 考数据 e 2 718 ln e 1 0 541 10 令 其中 于是 11 ln e ee m mm h xxmx 1 ee mm xm R 1 11 ee mm h x x 列表如下 xem em em 1 em em 1 em em 1 em em 1 em 1 h x 0 h x 0 增 1 ee mm h 减 0 则 且在处取得最大值 又0 123MN h x 1 ee mm x 1 e2 ee ln e1 e1 mm h 从而命题成立 1 8 17 江苏省无锡市江苏省无锡市 20132013 年年 2 2 月高三质量检测月高三质量检测 本题满分 15 分 某超市在开业 30 天内日接待顾客人数 万人 与时间t 天 的函数关系近似满足 f t 1 顾客人均消费额 元 与时间t 天 的函数关系近似满足g t 4 t 84 t 20 求该超市日销售额y 万元 与时间t 天 的函数关系式 求该超市日销售额的最小值 17 解 由题日销售额 y f t g t 1 84 t 20 4 t t N N 1 f 4 t t 64 1 t 20 1 f 4 t 60 t 20 t 30 5 分 当 1 t 20 且t N N 时 y t 68 2 68 100 256 t t 256 t 当且仅当t 即t 16 时取等号 9 分 256 t 当 20 t 30 且t N N 时 y t 56 在区间 20 30 上递减 240 t 11 t 30 时 ymin 34 13 分 100 34 综上 第 30 天该超市日销售额最小 最小值为 34 万元 15 分 20 江苏省无锡市江苏省无锡市 20132013 年年 2 2 月高三质量检测月高三质量检测 本题满分 16 分 设函数f x x2 a 1 x lnx a R R a 2 当a 0 时 求函数f x 的极值 当a 0 时 讨论函数f x 的单调性 若对任意a 2 3 及任意x1 x2 1 2 恒有m ln2 f x1 f x2 a2 1 2 成立 求实数m的取值范围 由 a 2 3 时 f x 在区间 1 2 上递减 由条件m ln2 f x1 f x2 max f 1 f 2 1 ln2 对任意 a2 1 2 a 2 a 2 3 成立 m 1 对任意a 2 3 成立 m 对任意a 2 3 成立 a2 1 2 a 2 a 2 a2 1 由g a g a 0 对a 2 3 恒成立 g a 在a 2 3 上 a 2 a2 1 a 2 2 3 a2 1 2 递增 12 g a g 3 m 16 分 1 8 1 8 5 常州市 2013 届高三期末 第八届中国花博会将于 2013 年 9 月在常州举办 展览园指 挥中心所用地块 的形状是大小一定的矩形ABCD a b为常数且满足BCa CDb 组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区 点E Fba AEF 分别在线段AB AD上 且该直角三角形AEF的周长为 如图 设 2lb AEx 的面积为 AEFS 1 求关于的函数关系式 Sx 2 试确定点E的位置 使得直角三角形地 块的面积最大 并求出的最大值 AEFSS 6 连云港市 2013 届高三期末 连云港市 2013 届高三期末 某单位决定对本单位职工 实行年医疗费用报销制度 拟制定年医疗总费用在 2 万元至 10 万元 包括 2 万元和 10 万元 的报销方案 该方案要求同时具备下列三个条件 报销的医疗费用y 万元 随医疗总费用 x 万元 增加而增加 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的 50 报销的医疗费用不 得超过 8 万元 1 请你分析该单位能否采用函数模型y 0 05 x2 4x 8 作为报销方案 2 若该单位决定采用函数模型y x 2lnx a a为常数 作为报销方案 请你确定整数a的 值 参考数据 ln2 0 69 ln10 2 3 解解 1 函数y 0 05 x2 4x 8 在 2 10 上是增函数 满足条件 2 分 当x 10 时 y有最大值 7 4 万元 小于 8 万元 满足条件 4 分 但当x 3 时 y 0 得x 4 x 2 2 x 1 2 4 x 2x g x 在 0 4 上增函数 在 4 10 上是减函数 a g 4 2ln4 2 4ln2 2 10 分 由条件 得f 10 10 2ln10 a 8 解得a 2ln10 2 12 分 另一方面 由x 2lnx a x 得a 2lnx在x 2 10 上恒成立 a 2ln2 综上所述 a的取值范围为 4ln2 2 2ln2 所以满足条件的整数a的值为 1 14 分 当 3a 时 函数 g x 在区间 3 10 上单调递减 故它的值域为 309 114 aa 由 309 114 aa 3 10 得 30 3 11 9 10 4 a a 解得3 31a 故3 31a 7 分 当 3a 时 在区间 3 10 上有 33 33 11 xaa g x xx 显然不合题意 14 8 分 综上所述 实数a的取值范围是3 31a 9 分 当 111ab 且 时 因 min 1 2h xha 矛盾 不合题意 14 分 当 1ba 时 h x 在区间 a b 上递增 所以 h aa h bb 此时无解 15 分 综上所述 所求整数 a b的值为2 2ab 16 分 8 南通市 2013 届高三期末 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方 形薄板 其周长为 4 米 这种薄板须沿其对角线折叠后使用 如图所示 为长方形薄板 沿AC折叠后 交DC于点P 当 ADP ABCD ABAD AB 的面积最大时最节能 凹多边形的面积最大时制冷效果最好 ACB PD 1 设AB x米 用x表示图中DP的长度 并写出x的取值范围 2 若要求最节能 应怎样设计薄板的长和宽 3 若要求制冷效果最好 应怎样设计薄板的长和宽 A B CD 第 17 题 B P 15 9 徐州 淮安 宿迁市 2013 届高三期末 已知函数 1 0 ln 2 aaaxxaxf x 1 求函数在点处的切线方程 xf 0 0 f 2 求函数单调区间 xf 3 若存在 使得是自然对数的底数 求实数 1 1 21 xxeexfxf 1 21 的取值范围 a 因为函数 2 ln 0 1 x f xaxxa aa 所以 2 分 ln2ln x fxaaxa 0 0 f 又因为 所以函数在点处的切线方程为 4 分 0 1f f x 0 0 f1y 由 ln2ln2 1 ln xx fxaaxaxaa 16 因为当时 总有在上是增函数 8 分0 1aa fx R 又 所以不等式的解集为 0 0 f 0fx 0 故函数的单调增区间为 10 分 f x 0 所以 当时 即 函数在1a 1 0 e1ff lne1aa lnyaa 上是增函数 解得 当时 即 1 a ea 01a 1 0 e1ff 函数在上是减函数 解得 1 lne1a a 1 lnya a 0 1 a 1 0 e a 综上可知 所求的取值范围为 16 分a 1 0 e e a 10 泰州市 2013 届高三期末 已知函数 f x x a a b 为常数 2 xb 17 1 若 a 求证 函数 f x 存在极大值和极小值b 2 设 1 中 f x 取得极大值 极小值时自变量的分别为 令点 A 12 x x 11 xf x B 如果直线 AB 的斜率为 求函数 f x 和的公共递减区间的长度 22 xf x 1 2 fx 3 若对于一切 恒成立 求实数 m a b 满足的条件 f xmfx xR 当a0 b 0 若曲线 y f x 与曲线 y g x 在它们的交点 P 2 c 处有相同的切线 P 为切点 求 a b 的值 令 h x f x g x 若函数 h x 的单调递减区间为 求 23 ab 1 函数 h x 在区间 一 1 上的最大值 M a 2 若 h x 3 在 x 2 0 上恒成立 求 a 的取值范围 19 12 扬州市 2013 届高三期末 已知 函数R R 图象上相异两点0a 3 f xaxbx x 处的切线分别为 A B 12 l l 且 1 l 2 l 20 1 判断函数的奇偶性 并判断是否关于原点对称 f x A B 2 若直线都与垂直 求实数的取值范围 12 l lABb 解 1 2 2 分分 xfbxaxxbxaxf 33 为奇函数 3 3 分分 xf 设且 又 5 5 分分 2211 yxByxA 21 xx baxxf 2 3 在两个相异点处的切线分别为 且 xf A B 12 l l 1 l 2 l 22 111222 330kfxaxbkfxaxb a 又 6 6 分分 又为奇函数 2 2 2 1 xx 21 xx 21 xx f x 点关于原点对称 7 7 分分 BA 2 由 1 知 8 8 分分 1111 yxByxA bax x y kAB 2 1 1 1 又在A处的切线的斜率 直线都与垂直 xf baxxfk 2 11 3 12 l lAB 9 9 分分 22 11 1 31 AB kkaxbaxb 令 即方程有非负实根 10 10 分分0 2 1 axt0143 22 bbtt 又 综上 14 14 分分 30 2 b 2 1 2 1 0 3 b tt 00 3 4 b b 3 b 14 南京市 盐城市 2013 届高三期末 近年来 某企业每年消耗电费约 24