高中数学 平面向量知识点与习题 新人教A版必修4

专心 爱心 用心1 平面向量 必修 4 第第 2 2 章章 平面向量平面向量 2 1 向量的概念及其表示 重难点 理解并掌握向量 零向量 单位向量 相等向量 共线向量的概念 会表 示向量 掌握平行向量 相等向量和共线向量的区别和联系 考纲要求 了解向量的实际背景 理解平面向量的概念及向量相等的含义 理解向量的几何表示 经典例题 下列命题正确的是 A 与 共线 与 共线 则 与 c 也共线 B 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C 向量 与 不共线 则 与 都是非零向量 D 有相同起点的两个非零向量不平行 当堂练习 1 下列各量中是向量的是 A 密度 B 体积 C 重力 D 质量 2 下列说法中正确的是 A 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B 长度相等的向量叫相等向量 C 零向量的长度为零 D 共线向量是在一条直线上的向量 3 设 O 是正方形 ABCD 的中心 则向量AO OB CO OD 是 A 平行向量 B 有相同终点的向量 C 相等的向量 D 模都相同的向量 4 下列结论中 正确的是 A 零向量只有大小没有方向 B 对任一向量a a 0 总是成立的 C AB BA D AB 与线段 BA 的长度不相等 5 若四边形 ABCD 是矩形 则下列命题中不正确的是 A AB与CD共线 B AC与BD相等 C AD 与 CB是相反向量 D AB与CD模相等 6 已知 O 是正方形 ABCD 对角线的交点 在以 O A B C D 这 5 点中任意一点为 专心 爱心 用心2 起点 另一点为终点的所有向量中 1 与BC 相等的向量有 2 与OB 长度相等的向量有 3 与DA 共线的向量有 7 在 平行向量一定相等 不相等的向量一定不平行 共线向量一定相等 相等向量一定共线 长度相等的向量是相等向量 平行于同一个向量的两个向 量是共线向量中 不正确的命题是 并 对你的判断举例说 明 8 如图 O 是正方形 ABCD 对角线的交点 四边形 OAED OCFB 都是正方形 在图中所示的向量中 1 与AO 相等的向量有 2 写出与AO 共线的向有 3 写出与AO 的模相等的有 4 向量AO 与CO 是否相等 答 9 O 是正六边形 ABCDE 的中心 且OA a OB b AB c 在 以 A B C D E O 为端点的向量中 1 与a相等的向量有 2 与b相等的向量有 3 与c相等的向量有 10 在如图所示的向量a b c d e中 小正方形的边长为 1 是否存在 1 是共线向量的有 2 是相反向量的为 3 相等向量的的 4 模相等的向量 11 如图 ABC 中 D E F 分别是边 BC AB CA 的中点 在以 A B C D E F 为端点的有向线段中所表示的向量 中 A BCD E F AB C E D F O O AB C DE F 专心 爱心 用心3 1 与向量FE 共线的有 2 与向量DF 的模相等的有 3 与向量ED 相等的有 12 如图 中国象棋的半个棋盘上有一只 马 开始下棋时 它位于 A 点 这只 马 第一步有几种可能的走法 试在图中画出来 若它位于图中的 P 点 这只 马 第一步有几种可能的走法 它能否从点 A 走到与它相邻的 B 它能否从一交叉 点出发 走到棋盘上的其它任何一个交叉点 必修 4 第 2 章 平面向量 2 2 向量的线性运算 重难点 灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题 利用交换律和结合律进行向量运算 灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个 向量的差 以及求两个向量的差的问题 理解实数与向量的积的定义掌握实数与向 量的积的运算律体会两向量共线的充要条件 考纲要求 掌握向量加法 减法的运算 并理解其几何意义 掌握向量数乘的运算及其意义 理解两个向量共线的含义 了解向量线性运算的性质及其几何意义 经典例题 如图 已知点 D E F 分别是 ABC 三边 AB BC CA 的中点 求证 0EAFBDC 当堂练习 1 a b为非零向量 且 a bab 则 A a与b方向相同 B a b 专心 爱心 用心4 C a b D a与b方向相反 2 设 ABCDBCDAa 而b是一非零向量 则下列各结论 a b a ba a bb a bab 其中正确的是 A B C D 3 3 在 ABC 中 D E F 分别 BC CA AB 的中点 点 M 是 ABC 的重心 则 MCMBMA 等于 A OB MD4 C MF4 D ME4 4 已知向量 ba与 反向 下列等式中成立的是 A baba B baba C baba D baba 5 若a bc 化简3 2 2 3 2 abbcab A a B b C c D 以上都不对 6 已知四边形 ABCD 是菱形 点 P 在对角线 AC 上 不包括端点 A C 则AP A 0 1 ABAD B 2 0 2 ABBC C 0 1 ABAD D 2 0 2 ABBC 7 已知 3 OAa 3 OBb AOB 60 则 ab 8 当非零向量a和b满足条件 时 使得 ba 平分a和b间的夹角 9 如图 D E F 分别是 ABC 边 AB BC CA 上的 中点 则等式 F E D C B A 专心 爱心 用心5 FDDAAF0 FDDEEF0 DEDABE0 ADBEAF0 10 若向量x y 满足 23 32xyaxyb a b为已知向量 则 x y 11 一汽车向北行驶 3 km 然后向北偏东 60 方向行驶 3 km 求汽车的位移 12 如图在正六边形 ABCDEF 中 已知 AB a AF b 试用a b表示向量 BC CD AD BE 必修 4 第 2 章 平面向量 2 3 平面向量的基本定理及坐标表示 重难点 对平面向量基本定理的理解与应用 掌握平面向量的坐标表示及其运算 考纲要求 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法 减法于数乘运算 专心 爱心 用心6 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 经典例题 已知点 0 2 1 2 6 2 A xBxCx Dx 求实数x的值 使向量AB 与CD 共线 当向量AB 与CD 共线时 点 A B C D 是否在一条直线上 当堂练习 1 若向量 a 1 1 b 1 1 c 1 2 则 c 等于 A 2 1 a 2 3 bB 2 1 a 2 3 b C 2 3 a 2 1 b D 2 3 a 2 1 b 2 若向量 a x 2 3 与向量 b 1 y 2 相等 则 A x 1 y 3B x 3 y 1C x 1 y 5D x 5 y 1 3 已知向量 cos sin 4 3 ba 且a b 则 tan A 4 3 B 4 3 C 3 4 D 3 4 4 已知 ABCD 的两条对角线交于点 E 设 1 eAB 2 eAD 用 21 e e 来表示 ED的表达式 A 21 2 1 2 1 ee B 21 2 1 2 1 ee C 21 2 1 2 1 ee D 21 2 1 2 1 ee 5 已知两点 P 6 3 点 P 3 7 分有向线段 21P P 所成的比为 则 的值为 专心 爱心 用心7 A 4 1 8 B 4 1 8 C 4 1 8 D 4 8 1 6 下列各组向量中 2 1 1 e 5 3 1 e 3 2 1 e 7 5 2 e 10 6 2 e 4 3 2 1 2 e 有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底 正 确的判断是 A B C D 7 若向量a 2 m 与b m 8 的方向相反 则 m 的值是 8 已知a 2 3 b 5 6 则 a b a b 9 设a 2 9 b 6 c 1 若a b c 则 10 ABC 的顶点 A 2 3 B 4 2 和重心 G 2 1 则 C 点坐标为 11 已知向量 e1 e2 不共线 1 若AB e1 e2 BC 2e1 e2 CD 3e1 e2 求证 A B D 三点共线 2 若向量 e1 e2 与 e1 e2 共线 求实数 的值 12 如果向量AB i 2j BC i mj 其中 i j 分别是 x 轴 y 轴正方向上的单位 向量 试确定实数 m 的值使 A B C 三点共线 必修 4 第 2 章 平面向量 专心 爱心 用心8 2 4 平面向量的数量积 重难点 理解平面向量的数量积的概念 对平面向量的数量积的重要性质的理解 考纲要求 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 了解平面向量数量积于向量投影的关系 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 经典例题 在 ABC 中 设 1 3 2kACAB 且 ABC 是直角三角形 求 k的值 当堂练习 1 已知a 3 0 b 5 5 则a 与b 的夹角为 A 450 B 600 C 1350 D 1200 2 已知a 1 2 b 5 8 c 2 3 则a b c 的值为 A 34 B 34 68 C 68 D 34 68 3 已知a 2 3 b 4 7 则向量a 在b 方向上的投影为 A 13 B 5 13 C 5 65 D 65 4 已知a 3 1 b 1 2 向量c 满足a c 7 且b c 则c 的坐标是 A 2 1 B 2 1 C 2 1 D 2 1 5 有下面四个关系式 1 0 0 0 2 a b c a b c 3 a b b a 4 0a 0 其中正确的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 6 已知a m 2 m 3 b 2m 1 m 2 且a 与b 的夹角大于 90 则实数 m 专心 爱心 用心9 A m 2 或 m 4 3 B 4 3 m 2 C m 2 D m 2 且 m 4 3 7 已知点 A 1 0 B 3 1 C 2 0 则向量BC与CA的夹角是 8 已知a 1 1 b 2 1 如果 baba 则实数 9 若 a 2 b 2 a 与b 的夹角为 45 要使 kb a 与a 垂直 则 k 10 已知a b 2i 8 j a b 8i 16 j 那么a b 11 已知 2a b 4 3 a 2b 3 4 求a b 的值 12 已知点 A 1 2 和 B 4 1 试推断能否在 y 轴上找到一点 C 使 ACB 900 若能 求点 C 的坐标 若不能 说明理由 必修 4 第 2 章 平面向量 2 5 平面向量的应用 重难点 通过向量在几何 物理学中的应用能提高解决实际问题的能力 考纲要求 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题 经典例题 如下图 无弹性的细绳 OA OB 的一端分别固定在 A B 处 同质量的细 绳OC下端系着一个称盘 且使得OB OC 试分析 OA OB OC 三根绳子受力的 大小 判断哪根绳受力最大 专心 爱心 用心10 当堂练习 1 已知 A B C 为三个不共线的点 P 为 ABC 所在平面内一点 若 ABPCPBPA 则点 P 与 ABC 的位置关系是 A 点 P 在 ABC 内部 B 点 P 在 ABC 外部 C 点 P 在直线 AB 上 D 点 P 在 AC 边上 2 已知三点 A 1 2 B 4 1 C 0 1 则 ABC 的形状为 A 正三角形 B 钝角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰锐角三角形 3 当两人提起重量为 G 的旅行包时 夹角为 两人用力都为 F 若 F G 则 的值为 A 300 B 600 C 900 D 1200 4 某人顺风匀速行走速度大小为 a 方向与风速相同 此时风速大小为 v 则此人 实际感到的风速为 A v a B a v C v a D v 5 一艘船以 5km h 的速度向垂直于对岸方向行驶 船的实际航行方向与水流方向成 300 角 则水流速度为 km h 6 两个粒子 a b 从同一粒子源发射出来 在某一时刻 以粒子源为原点 它们的 位移分别为 Sa 3 4 Sb 4 3 1 此时粒子 b 相对于粒子 a 的位移 2 求 S 在 Sa 方向上的投影 7 如图 点 P 是线段 AB 上的一点 且 AP PB m n 点 O 是直线 AB 外一点 设 OA a OB b 试用 m na b 的运算式表示向量OP 专心 爱心 用心11 G C O B A G E D CB A b a O P B A 8 如图 ABC 中 D E 分别是 BC AC 的中点 设 AD 与 BE 相交于 G 求证 AG GD BG GE 2 1 9 如图 O 是 ABC 外任一点 若 1 3 OGOAOBOC 求证 G 是 ABC 重 心 即三条边上中线的交点 10 一只渔船在航行中遇险 发出求救警报 在遇险地西南方向 10mile 处有一只货 船收到警报立即侦察 发现遇险渔船沿南偏东 750 以 9mile h 的速度向前航行 货 船以 21mile h 的速度前往营救 并在最短时间内与渔船靠近 求货的位移 必修 4 第 2 章 平面向量 750 A B C 东 北 450 专心 爱心 用心12 2 6 平面向量单元测试 1 在矩形 ABCD 中 O 是对角线的交点 若 OCeDCeBC则 21 3 5 A 35 2 1 21 ee B 35 2 1 21 ee C 53 2 1 12 ee D 35 2 1 12 ee 2 对于菱形 ABCD 给出下列各式 BCAB BCAB BCADCDAB 4 22 ABBDAC 2 其中正确的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 在 ABCD 中 设 dBDcACbADaAB 则下列等式中不正确的是 A cba B dba C dab D bac 4 已知向量 ba与 反向 下列等式中成立的是 A baba B baba C baba D baba 5 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 1 0 3 0 1 5 则第四 个点的坐标为 A 1 5 或 5 5 B 1 5 或 3 5 C 5 5 或 3 5 D 1 5 或 3 5 或 5 5 6 与向量 5 12 d 平行的单位向量为 A 5 13 12 B 13 5 13 12 C 13 5 13 12 或 13 5 13 12 D 13 5 13 12 7 若 32041 ba 5 4 ba 则 ba与 的数量积为 A 10 3 B 10 3 C 10 2 D 10 专心 爱心 用心13 8 若将向量 1 2 a 围绕原点按逆时针旋转4 得到向量b 则b的坐标为 A 2 23 2 2 B 2 23 2 2 C 2 2 2 23 D 2 2 2 23 9 设 k R 下列向量中 与向量 1 1 Q 一定不平行的向量是 A kkb B kkc C 1 1 22 kkd D 1 1 22 kke 10 已知 12 10 ba 且 1 3 36 5 ab A 则 ba与 的夹角为 A 60 B 120 C 135 D 150 11 非零向量 bababa 满足 则 ba 的夹角为 12 在四边形 ABCD 中 若 bababADaAB 且 则四边形 ABCD 的形 状是 13 已知 2 3 a 1 2 b 若 baba 与 平行 则 14 已知e为单位向量 a 4 ea与 的夹角为 3 2 则 ea在 方向上的投影为 15 已知非零向量 ba 满足 baba 求证 ba 16 已知在 ABC 中 3 2 AB 1 kAC 且 ABC 中 C 为直角 求 k 的值 专心 爱心 用心14 17 设 21 e e 是两个不共线的向量 212121 2 3 2eeCDeeCBekeAB 若 A B D 三点共线 求 k 的值 18 已知 2 a 3 b ba与 的夹角为 60o bac35 bkad 3 当当实数 k为何值时 c d dc 19 如图 ABCD 为正方形 P 是对角线 DB 上一点 PECF 为矩形 求证 PA EF PA EF 20 如图 矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O 点 P 是圆周上任意一点 求证 PA2 PB2 PC2 PD2 8r2 专心 爱心 用心15 参考答案 第 2 章 平面向量 2 1 向量的概念及其表示 经典例题 解 由于零向量与任一向量都共线 所以 A 不正确 由于数学中研究的向量是自由 向量 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上 而此时就构不成四边形 根本 不可能是一个平行四边形的四个顶点 所以 B 不正确 向量的平行只要方向相同或 相反即可 与起点是否相同无关 所以 不正确 对于 C 其条件以否定形式给出 所以可从其逆否命题来入手考虑 假若 与 不都是非零向量 即 与 至少有一 个是零向量 而由零向量与任一向量都共线 可有 与 共线 不符合已知条件 所以有 与 都是非零向量 所以应选 C 当堂练习 1 C 2 C 3 D 4 C 5 B 6 1 AD 2 DOCOAOBOODOCOA 专心 爱心 用心16 3 CBBCAD 7 8 1 BF 2 BFCODE 3 CFBFCOBODODEAE 4 不相等 9 1 CBDO 2 DCEO 3 EDOC 10 1 da 2 da 3 不存在 4 da c 11 1 CBBCCDDCDBBD 2 CEECEAAE 3 AFFB 12 3 种 8 种 可以 转化为相邻两个中的互跳 2 2 向量的线性运算 经典例题 证明 连结 DE EF FD 因为 D E F 分别是 ABC 三边的中点 所以四边形 ADEF为平行四边形 由向量加法的平行四边形法则 得EDEFEA 1 同 理在平行四边形BEFD中 FD FEFB 2 在平行四边形CFDE在中 DFDEDC 3 将 1 2 3 相加 得 EAFBDCEDEFFDFEDEDF EFFEEDDEFDDF 0 当堂练习 1 C 2 D 3 A 4 C 5 D 6 A 7 3 8 ba 9 10 1 da 2 da 3 不存在 4 da c 专心 爱心 用心17 11 北偏东 30 方向 大小为3 3km 12 baAFABBOABAOBC bAFCD baBCAD 22 bAFBE22 2 3 平面向量的基本定理及坐标表示 经典例题 解 1 1 ABx 4 CDx ABCD 2 4 2xx 2 由已知得 22 1 BCx x 当2x 时 2 1 BC 2 1 AB AB 和 BC 不平行 此时 A B C D 不在一条直线上 当 2x 时 6 3 BC 2 1 AB AB BC 此时 A B C 三点共线 又 ABCD A B C D 四点在一条直线上 综上 当 2x 时 A B C D 四点在一条直线上 当堂练习 1 B 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 4 8 3 58 10 9 3 15 10 8 4 11 解析 1 BD BC CD 2e1 8e2 3 e1 e2 e1 5e2 AB BD与AB共线 又直线 BD 与 AB 有公共点 B A B D 三点共线 2 e1 e2 与 e1 e2 共线 存在实数 k 使 e1 e2 e1 e2 化简得 e1 k e2 0 e1 e2 不共线 由平面向量的基本定理可知 且 解得 故 专心 爱心 用心18 12 解法一 A B C 三点共线即AB BC共线 存在实数 使得AB BC 即 i 2j i mj 于是 2 1 m 即 m 2 时 A B C 三点共线 解法二 依题意知 i 1 0 j 0 1 则AB 1 0 2 0 1 1 2 BC 1 0 m 0 1 1 m 而AB BC共线 故当 m 2 时 A B C 三点共线 2 4 平面向量的数量积 经典例题 解 若 900 A 则 ACAB 于是 0312 k 解得 3 2 k 若 900 B 则 BCAB 又 3 1 kABACBC 故得 03312 k 解得 3 11 k 若 900 C 则 BCAC 故 0311 kk 解得 2 133 k 所求k的值为 3 2 或 3 11 或 2 133 当堂练习 专心 爱心 用心19 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7 450 8 2 51 9 2 10 63 11 a 1 2 b 2 1 a b 0 12 令 C 0 y 则AC 1 y 2 1 4 yCB 因为 ACB 900 所以AC CB 0 即 4 y 2 1 y 0 y2 y 2 0 此方程无实 数解 所以这样的点