【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 10.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理配套练习

1 第十章第十章 计数原理 概率 随机变量及其分布 统计计数原理 概率 随机变量及其分布 统计 第第 1 1 讲讲 分类加法计数原理与分布乘法计数原理分类加法计数原理与分布乘法计数原理 随堂演练巩固 1 在所有两位数中 个位数字小于十位数字的两位数的个数是 A 45B 44 C 43D 42 答案 A 解析 个位数字小于十位数字的两位数共有 9 8 7 6 5 4 3 2 1 45 个 2 已知 2 3 7 31 24 4 则可表示不同的值的个数是 x y x y A 2B 3 C 6D 9 答案 D 解析 用分步乘法计数原理 第一步选 x 有 3 种方法 第二步选 y 也有 3 种方法 共有种方法 3 39 3 一生产过程有 4 道工序 每道工序需要安排一人照看 现从甲 乙 丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道 工序 第一道工序只能从甲 乙两工人中安排 1 人 第四道工序只能从甲 丙两工人中安排 1 人 则不同的 安排方案共有 A 24 种B 36 种 C 48 种D 72 种 答案 B 解析 分两类 1 第一道工序安排甲时有种 1 1 4 312 2 第一道工序不安排甲时有种 共有 12 24 36 种 1 2 4 324 4 从 6 个人中选 4 个人分别到巴黎 伦敦 悉尼 莫斯科四个城市游览 要求每个城市至少有一人游览 每人 只游览一个城市 且这 6 个人中 甲 乙两人不去巴黎游览 则不同的选择方案共有 A 300 种B 240 种C 144 种D 96 种 答案 B 解析 能去巴黎的有 4 个人 能去剩下三个城市的依次有 5 个人 4 个人 3 个人 所以不同的选择方案有 3 240 种 4 5 4 5 用 5 种不同的颜色给图中的 A B C D 四个区域涂色 规定一个区域只涂一种颜色 相邻的区域颜色不同 则 有 种不同的涂色方案 答案 180 解析 先分类 第一类 D 与 A 不同色 则分四步完成 第一步涂 A 有 5 种方法 第二步涂 B 有 4 种 方法 第三步涂 C 有 3 种方法 第四步涂 D 有 2 种方 法 由分步乘法计数原理共有 2 120 种 5 4 3 第二类 D 与 A 同色 分三步完成 第一步涂 D 与 A 有 5 种方法 第二步涂 B 有 4 种方法 第三步涂 C 有 3 种 2 方法 由分步乘法计数原理共有种 5 4 360 所以共有涂色方案 120 60 180 种 课后作业夯基 基础巩固 1 有三本不同的书 一个人去借 至少借一本的方法有 A 3 种B 6 种C 7 种D 9 种 答案 C 解析 分三类 第一类 借 1 本书 有 3 种借法 第二类 借 2 本书 有 3 种借法 第三类 借 3 本书 有 1 种借 法 所以 由分类加法计数原理 共有借法 3 3 1 7 种 2 有不同颜色的四件上衣与三件不同颜色的长裤 如果一条长裤与一件上衣配成一套 则不同的配套种数为 A 7B 64C 12D 81 答案 C 解析 由分步乘法计数原理有配套方法种 4 312 3 如图 在的方格 每个方格都是正方形 中 共有正 方形 3 4 A 12 个B 14 个 C 18 个D 20 个 答案 D 解析 将所有正方形分成 3 类 边长为 1 的正方形共有 12 个 边长为 2 的正方形共有 6 个 边长为 3 的正 方形共有 2 个 所以共有正方形 12 6 2 20 个 4 从 1 到 10 的正整数中 任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是 A 10B 15C 20D 25 答案 D 解析 当且仅当偶数加上奇数时和为奇数 从而不同情形有种 5 525 5 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目 每个工程队承建 1 项 其中甲工程队不能承建 1 号 子项 目 则不同的承建方案共有 A 4 种B 96 种C 16 种D 24 种 答案 B 解析 分五步完成 第一步 甲工程队选承建项目 有 4 种方法 第二步 第二个工程队选承建项目 有 4 种方法 第三步 第三个工程队选承建项目 有 3 种方法 第四步 第四个工程队选承建项目 有 2 种方法 3 第五步 第五个工程队选承建项目 有 1 种方法 共有种方法 4 4 3 2 196 6 有一个圆被两相交弦分成四块 现在用 5 种不同颜料给这四块涂色 要求共边两块的颜色互异 每块只涂一 色 共有涂色方法种数是 A 240B 250C 260D 180 答案 C 解析 如图所示 分别用 a b c d 表示这四块区域 a 与 c 可同色也可不同色 可先考虑给 a c 两块涂色 可分两类 给 a c 涂同种颜色共 5 种涂法 再给 b 涂色有 4 种涂法 最后给 d 涂色也有 4 种涂法 由分步乘法计数原理 知 此时共有种涂法 5 4 480 给 a c 涂不同颜色共有种涂法 再给 b 涂色有 3 种涂法 最后给 d 涂色也有 3 种涂法 此时共有 5 420 种涂法 故由分类加法计数原理知 共有 种 涂法 20 3 3180 5 4 4 20 3 3260 7 2012 辽宁大连月考 如图 A B C D 为四个村庄 要修筑三条公路 将这四个村庄连接起来 则不同的修 筑方案共有 A 8 种B 12 种C 16 种D 20 种 答案 C 解析 修筑方案可分为两类 一类是 折线型 用三条公路把四个村庄连在一条曲线上 如图 1 A B C D 有A 种方案 另一类是 星型 以某一个村庄为中心 用三条公路发散状连接其他三个村庄 1 2 4 4 如图 2 A B A C A D 有 4 种方案 故共有 12 4 16 种方案 8 设集合 A 1 2 3 4 5 则方程表示焦点位于 y 轴上的椭圆有个 a bA 2 2 1 y x ab 答案 10 解析 分四类 第一类 b 5 时 有 4 个 第二类 b 4 时 有 3 个 第三类 b 3 时 有 2 个 第四类 b 2 时 有 1 个 4 根据分类加法计数原理 共有 4 3 2 1 10 个 9 某学校组织 3 名同学去 4 个工厂进行社会实践活动 其中工厂 A 必须有同学去实践 每个同学去哪个工厂可 自行选择 则不同的分配方案共有种 用数字作答 答案 37 解析 方法一 直接法 1 有 1 名同学去 A 工厂 则共有 3 27 种分配方案 2 有 2 名同学去 A3 3 工厂 则共有种分配方案 3 有 3 名 同学去 A 工厂 则有 1 种 分配方案 故共有3 39 27 9 1 37 种 方法二 间接法 自由选择去 4 个工厂有种方法 工厂 A 不去 自由选择其余 3 个工厂有种方法 故不同 3 4 3 3 的分配方案有种 33 4337 10 如果一条直线与一个平面垂直 那么 称此直线与平面构成一个 正交线面对 在一个正方体中 由两个 顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 正交线面对 的个数是 答案 36 解析 若 正交线面对 中的平面为正方体的某一面 则过其四个顶点的垂线与该面是 正交线面对 而这样的 正交线面对 有个 若 正交线面对 中的平面为正方体的某一对角面 则过正方6 424 体必有两条面对角线与该平面垂直 因而这样的 正交线面对 有 12 个 因而共有6 2 24 12 36 个 11 已知集合 A 集合 B 其中3 4 j 1 2 均为实数 1234 a a a a 12 b b 1 2 ij a b i 1 从集合 A 到集合 B 能构成多少个不同的映射 2 能构成多少个以集合 A 为定义域 以集合 B 为值域的不同函数 解 1 因为集合 A 中的每个元素3 4 与集合 B 中元素的对应方法都有 2 种 由分步乘法计 1 2 i a i 数原理 构成 B 的映射有个 A 4 2 2 2 2216 2 在 1 的映射中 a a a 均对应同一元素或的情形构不成以集合 A 为定义域 以集合 1 a 2 3 41 b 2 b B 为值域的函数 这样的映射有 2 个 所以 构成以集合 A 为定义域 以集合 B 为值域的函数有 16 2 14 个 12 用 0 1 2 3 4 5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000 大的 4 位偶数 解 完成这件事可分为 3 类 第一类是用 0 作结尾的比 2 000 大的 4 位偶数 它可以分三步去完成 第一步 选取千位上的数字 只有 2 3 4 5 可以选择 有 4 种选法 第二步 选取百位上的数字 除 0 和千位上已选定的数字以外 还有 4 个数字可供选 择 有 4 种选法 第三步 选取十位上的数字 还有 3 种选法 依据分步乘法计数原理 这类数的个数有 4 48 个 4 3 第二类是用 2 作结尾的比 2 000 大的 4 位偶数 它可以分三步去完成 第一步 选取千位上的数字 除去 2 1 0 只有 3 个数字可以选择 有 3 种选法 第二步 选取百位上的数字 在去掉已经确定的首尾两数字之后 还有 4 个数字可供选择 有 4 种选法 第三步 选取十位上的数字 还有 3 种选法 依据分步乘法计数原理 这类数 的个数有 个 3 4 336 第三类是用 4 作结尾的比 2 000 大的 4 位偶数 其步骤同第二类 这类数的个数为个 综3 4 336 5 上可知 符合题设条件的四位数共有 48 36 36 120 个 13 已知集合 M 3 2 1 0 1 2 若则 a b cM 1 可以表示多少个不同的二次函数 2 yaxbxc 可以表示多少个图象开口向上的二次函数 2 2 yaxbxc 解 1 a 的取值有 5 种情况 b 的取值有 6 种情况 c 的取值有 6 种情况 因此可以表 2 yaxbxc 示 6 180 个不同的二次函数 5 6 的开口向上时 a 的取值有 2 种情况 b c 的取值均有 6 种情况 因此 2 2 yaxbxc 可以表示个图象开口向上的二次函数 2 yaxbxc 2 6 672 14 如图 从 A 地到 B 地有 3 条不同的道路 从 B 地到 C 地有 4 条不同的道路 从 A 地不经 B 地直接到 C 地有 2 条 不同的道路 1 从 A 地到 C 地共有多少种不同的走法 2 从 A 地到 C 地再回到 A 地有多少种不同的走法 3 从 A 地到 C 地再回到 A 地 但回来时要走与去时不同的道路 有多少种走法 解 1 从 A 地到 C 地的走