2012年高考数学二轮复习 专题06 不等式精品资料（教师版）

1 20122012 届高考数学二轮复习资料届高考数学二轮复习资料 专题六专题六 不等式 教师版 不等式 教师版 考纲解读考纲解读 了解现实世界和日常生活中的不等关系 了解不等式 组 的实际背景 会从实际情境 中抽象出一元二次不等式模型 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元 二次方程的联系 会解一元二次不等式 对给定的一元二次不等式 会设计求解的程序框图 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域 表示二元一次不等式组 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解 决 了解基本不等式的证明过程 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 学会运用数形 结合 分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题 形成良好的思维品质 培养判 断推理和逻辑思维能力 从近几年高考题目来看 不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现 且多与集合 简易逻辑 函数知识相结合 难度较低 考点预测考点预测 本章知识的高考命题热点有以下两个方面 1 均值不等式是历年高考的重点考查内容 考查方式多样 在客观题中出现 一般只 有一个选择或填空 考查直接 难度较低 在解答题中出现 其应用范围几乎涉及高中数 学的所有章节 且常考常新 难度较高 2 不等式证明也是高考的一个重点内容 且多以解答题的一个分支出现 常与函数 导数 数列 解析几何等知识结合 题目往往非常灵活 难度高 线性规划问题是近几年 高考的一个新热点 在考题种主要以选择 填空形式出现 当然 也可以实际问题进行考 查 考查了优化思想在解决问题的广泛应用 体现了数学的应用价值 从而形成解决简单 实际问题的能力 进一步考查了考生的数学应用意识 3 预计在 2012 年高考中 对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法 仍会继续渗透在其他知识中进行考查 对不等式的应用 突出渗透数学思想方法和不等式 知识的综合应用 特别是求最值问题 不等式证明问题 将继续强调考查逻辑推理能力 尤其是不等式与函数 数列 三角 解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中 高档 题中 要点梳理要点梳理 1 不等式的性质与证明 1 不等式的基本性质 2 均值不等式 应用时要特别注意定理成立的三个条件 一正二 定三相等 三者缺一不可 3 一元二次不等式 二元一次不等式组 简单的一元高次不等式 4 比较法证明 作差比较与作商比较法 5 分析法与综合法证明 2 不等式的解法 1 简单的一元高次不等式的解法 数轴标根法 2 分式不等式解法 3 不等式的实际应用题的解题步骤 审题 建立不等式模型 解数 学问题 写出答案 对于不等式的应用题有两类 一类是建立不等式 解不等式 一类是建立函数式 求最大值 或最小值 3 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 考点在线考点在线 2 考点一考点一 不等式的性质不等式的性质 例例 1 1 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 6 6 若为实数 则 是 的 a b01ab 1 b a A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 即不充分也不必要条件 答案答案 D 解析解析 则 不充分 11 2 0 1 42 abab 111 24 b a 1 b a 则 不必要条件 故选 D 1 1 2 ba 1 b a 11 2 4 b a 01ab 名师点睛名师点睛 本题考查不等式的性质与充分必要条件 可利用作差比较法 也可用特殊值代法 备考提示备考提示 不等式的性质是高考考查的热点之一 几乎年年必考 不等式的性质经常 与充分必要条件结合在一起综合考查 熟练不等式的各项性质是解答好本题的关键 练习练习 1 1 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 5 5 下面四个条件中 使成立的充分而不必要的ab 条件是 A B C D 1ab 1ab 22 ab 33 ab 答案答案 A 解析解析 1ab 10abab 故选 A 1ababab 反之不能推出 名师点睛名师点睛 本小题先用 1 的代换 再展开后 应用均值不等式 备考提示备考提示 熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键 3 练习练习 2 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1414 已知 且满足 则 xy 的最大值为 x yR 1 34 xy 答案 3 解析 因为 所以 解得 故 xy 的最大值为 3 12 343 4 xyx y 1 124 xy 3xy 考点三考点三 解不等式解不等式 高考要求掌握简单不等式的解法 解不等式是研究函数和方法的重要工具 是求函数的 定义域 值域 最值 单调性 求反函数和参数的取值范围的重要手段 不等式的变形 是研究数学的基本手段之一 它渗透到高中数学的每个角落中 如函数 方程 集合 数 列 平面向量 三角函数 解析几何 立体几何 概率与统计 导数等 其基本思想是转 化思想 转化的方法是 超越式 分式 整式 高次 整式 低次 一次 或二次 不等式 其中准确熟练求解一元二次 一次 不等式是解其他不等式的基础 解一元高次 不等式的有效方法是序轴法 此外 要重视数形结合 分类讨论思想的运用 不等式的解法是高考必考内容 直接考查主要以选择题 填空题为主 这类题小巧灵 活 常考常新 但有时也以解答题形式出现 主要考查含参数的不等式的解法 间接考查则 更多 常以工具作用出现在函数 数列 三角函数 导数 解析几何 平面向量等问题之 中 考查时重点考查一元二次不等式 分式不等式 含绝对值不等式 但偶尔也会涉及无理 不等式 指数和对数不等式的解法 例例 3 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 9 9 设函数 f x 则满足 f x 2 的 x 1xxlog 1 1x 2 2 x 1 的取值范围是 A 1 2 B 0 2 C 1 D 0 答案答案 D 解析解析 不等式等价于或解不等式组 可得或 1 1 22 x x 2 1 1 log2 x x 01x 1x 即 故选 D 0 x 名师点睛名师点睛 本题考查不等式的解法 包含指数与对数不等式 备考提示备考提示 不等式的解法是高考的热点问题之一 要熟练一元二次不等式 包括含有 参数的 简单的分式不等式 指数与对数不等式 练习练习 3 2011 年高考广东卷文科 5 不等式的解集是 2 210 xx A B 1 1 2 1 C D 1 2 1 1 2 答案答案 D 4 解析解析 由题得所以选 D 2 1 10 1 12 012 2 xxxxxx或 考点四考点四 线性规划线性规划 线性规划是高考热点之一 考查内容设计最优解 最值 区域面积与形状等 通常通过画可 行域 移线 数形结合等方法解决问题 例例 4 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 6 6 设变量 x y 满足 则的最大值和最小 xy1 xy1 x xy 值分别为 A 1 1 B 2 2 C 1 2 D 2 1 答案答案 B 解析解析 三条直线的交点分别为 0 1 0 1 1 0 分别1 1 0 xyxyx 代入 得最大值为 2 最小值为 2 故选 B xy 名师点睛名师点睛 本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题 属中等题 备考提示备考提示 线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时 可以不画图 直接将交点坐 标求出代入计算即可 练习练习 4 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 7 7 设变量 x y 满足约束条件 则目标 250 20 0 xy xy x 函数的最大值为 231zxy A 11 B 10 C 9 D 8 5 答案 B 解析 画出平面区域表示的可行域如图所示 当直线 平移至点 A 3 1 时 目标函数231zxy 取得最大值为 10 故选 B 231zxy 考点五考点五 不等式的证明不等式的证明 高考要求掌握分析法 综合法 比较法证明简单的不等式 不等式证明是高中数学的重 要内容 同时也是高中数学的难点 加之题型广泛 涉及面广 证法灵活 因而备受命题 者的青睐 成为高考的热点问题 但由于在高考时 涉及到不等式证明的问题往往出现在压 轴题上 其综合性强 思维量大 因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题 现在的高 5 考没有单独命制不等式证明的试题 而是把它与函数 数列 导数 解析几何 立体几何 概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题 重在考查逻辑思维能力 以及常用的不等 式证明方法 基本方法 比较法 综合法 分析法 常用方法 放缩法 换元法 求导法 反 证法 数学归纳法等 例例 5 5 已知 a b R 且 a b 1 求证 2 25 22 22 ba 证法一 比较法 作差消 b 化为 a 的二次函数 也可用分析法 综合法 反证法 实质与比较法相同 证法二 放缩法 1ab 左边 2 22 22 222 2 ab ab 2125 4 22 ab 右边 证法三 均值换元法 1ab 所以可设ta 2 1 tb 2 1 左边 22 22 11 22 2 2 22 abtt 22 2 552525 2 2222 ttt 右边 当且仅当 t 0 时 等号成立 证法四 判别式法 设 y a 2 2 b 2 2 由 a b 1 有1322 3 2 222 aaaay 所以01322 2 yaa 因为Ra 所以0 13 244 y 即 2 25 y 故 2 25 22 22 ba 名师点睛名师点睛 形如 a b 1 结构式的条件 一般可以采用均值换元 注意体验不等式证明方 法的灵活性和各种证明方法间的内在联系 备考提示备考提示 证明不等式的方法有许多 关键是靠平常的善于总结 5 已知 求证 1 0 0 yxyx 44 yx 8 1 解析解析 1 0 0 yxyx 22 yx xy2 两边同加上得 22 yx 2 22 yx 1 2 yx 又 两边同加上得 44 yx 22 2yx 44 yx 2 44 yx 222 yx 4 1 44 yx 8 1 考题回放考题回放 6 1 2011 年高考山东卷理科 4 不等式的解集为 5 3 10 xx A 5 7 B 4 6 C D 5 7 4 6 答案 D 解析 则因 1111abab ab bbaa 或 2 1111 1 ababab ab babaab 为所以 即于是所以01ab 2 1 0 ab ab 11 0ab ba 11 0ab ba 成立 充分条件 11 ab ba 或 反之成立 即则 11 ab ba 或 1111 00 abab ab bbaa 或 11 ab ba 故 不必要条件 故选 A 2 1 0 ab ab 0ab 3 2009 年高考山东卷文科第年高考山东卷文科第 5 题 题 在 R 上定义运算 则满足e2ababab e 的实数的取值范围为 2 0 xx ex A B C D 0 2 2 1 2 1 1 2 答案答案 B 解析解析 由题意知 解得 2 2 2 2220 xxx xxxxx e21x 故选 B 4 4 2011 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 5 5 已知则 2 log 3 6 a 4 log 3 2 b 4 log 3 6 c A B C D abc acb bac cab 7 答案 B B 解析 因为 都小于 1 且大于 0 故排除 C D 又因为都是以 4 为底的对数 1a b c b c 真数大 函数值也大 所以 故选 B bc 5 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 4 4 函数的定义域是 1 lg 1 1 f xx x A B C D 1 1 1 1 1 答案答案 C 解析解析 由题得 所以选 C 函数的定义域为 且 11 1 11 01 01 xx x x 6 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 6 6 已知平面直角坐标系上的区域由不等式组 xOy D 给定 若为上的动点 点的坐标为 则 02 2 2 x y xy M x y DA 2 1 的最大值为 zOM OA A 3B 4 C D 3 24 2 答案答案 B 8 解析解析 由题得不等式组对应的平面区域 D 是如图所示的直角梯形 OABC cos3 cos3 zOM OAOMOAAOMOMAOMON 所以就是求的最大值 表示 ON ON 数形结合观察得当点 M 在点 B 的地方时 才最大 ON 所 22 2 2 3612 4cos2 3236 AOMAOM AA 2 在中 OA 2 1 3 OB 2 6 AB 2 1 1 以 所以选择 B 42 3 2 63 max z 7 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 10 10 若 a 0 b 0 且函数 f x 4x3 ax2 2bx 2 在处有极值 1x 则的最大值等于 ab A 2 B 3 C 6 D 9 答案 D 解析 所以在处有极值 所以 2 1222fxxaxb f x1x 即 又 所以 即 所以 1 12220fab 6ab 0 0ab 2abab 26ab 当且仅当时等号成立 所以的最大值为 9 选 D 9ab 3ab ab 9 当时 7 5 x y max 450 7350 54900z 当时 越往下的临界值越小 故选 C 6 6 x y max 450 6350 64800z 9 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 3 3 1 1 xx 是的 A 充分不必要条件 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 A 解析 因 1 1 xx 反之 1 11 xxx 或 不一定有 1 x 10 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 8 8 直线与不等式组表示平面区域的公共点有 0 0 2 4320 x y xy xy A 0 个B 1 个 C 2 个D 无数个 答案 B 解析 画出可行域 如图示 可得 B 0 2 A 2 4 C 5 0 D 0 E 0 10 故由图知有唯一交点 故选 B 20 3 11 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 13 13 函数的定义域是 2 1 6 y xx 10 答案 3 2 解析 由可得 即 所以 2 60 xx 2 60 xx 320 xx 32x 12 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 15 15 对于 不等式的解集为 xR 1028xx 答案 0 xx 解析 两种方法 方法一 分三段 当 x2 时 x 10 x 2 x 2 8 0 x 综上 方法二 用绝对值的几何意义 可以看成到两点 10 和 2 的距离差大于等于 8 的所有点的 集合 画出数轴线 找到 0 到 10 的距离为10 到 2 的距离为2 1 d 2 d8 21 dd 并当 x 往右移动 距离差会大于 8 所以满足条件的 x 的范围是 0 x 13 13 20112011 年高考海南卷文科年高考海南卷文科 14 14 若变量满足约束条件 则 x y 329 69 xy xy 的最小值为 2zxy 答案 6 解析 画出不等式组表示的平面区域 平移目标函数表示的直线 不难求出最小值为 6 14 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 16 16 若实数满足 则的最大值是 x y 22 1xyxy xy 答案 2 3 3 解析 22222 1 1 1 2 xy xyxyxyxyxy 2 3 3 xy 15 15 2011 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 12 12 已知 则的最小值为 22 loglog1ab 39 ab 11 解析 设坐标原点的直线方程为 则由解得交点坐标为 0 ykx k 2 ykx y x 即为 P Q 两点 所以线段 PQ 长为 2 2 k k k 2 2 k k k 当且仅当时等号成立 故线段 PQ 长的最小值是 4 22 222 224kk kk 1k 高考冲策演练高考冲策演练 一 选择题 一 选择题 1 20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 7 7 设集合 则实数 a 的取值范围是 Ax x a 0 是 0 成立的 x 32 x A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 非充分非必要条件 D 充要条件 9 20102010 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 6 6 a 0 是 0 的 a A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 10 20102010 年高考全国年高考全国 卷文科卷文科 7 7 已知函数 若且 lg f xx ab f af b 则的取值范围是 ab 14 A B C D 1 1 2 2 答案 C 解析 1 因为 f a f b 所以 lga lgb 所以 a b 舍去 或 所以 a b 1 b a 1 a a 又 0 a b 所以 0 a 1f 1 1 1 2 即 a b 的取值范围是 2 解析 2 由 0 a b 且f a f b 得 利用线性规划得 化为求 01