【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 8-8曲线与方程 理 新人教A版

1 8 88 8 曲线与方程曲线与方程 理理 基础巩固强化 1 若点P到直线y 2 的距离比它到点A 0 1 的距离大 1 则点P的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 D 解析 由条件知 点P到直线y 1 的距离与它到点A 0 1 的距离相等 P点轨 迹是以A为焦点 直线y 1 为准线的抛物线 2 已知椭圆的焦点为F1 F2 P是椭圆上一个动点 延长F1P到点Q 使 PQ PF2 则动点Q的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线一支 D 抛物线 答案 A 解析 QF1 PF1 PQ PF1 PF2 2a 动点Q的轨迹是以F1为圆心 2a为半径的圆 3 过椭圆 1 内一点R 1 0 作动弦MN 则弦MN中点P的轨迹是 x2 9 y2 4 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 B 解析 设M x1 y1 N x2 y2 P x y 则 4x 9y 36 4x 9y 36 2 12 12 22 2 相减得 4 x1 x2 x1 x2 9 y1 y2 y1 y2 0 将x1 x2 2x y1 y2 2y 代入可知轨迹为椭圆 y1 y2 x1 x2 y x 1 4 高 12m 和 16m 的两根旗杆笔直地竖在水平地面上 且相距 50m 则地面上观察两旗 杆顶端仰角相等的点的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 A 解析 本题是解析几何问题 假设长度为 12m 16m 的两旗杆的底部分别为A B 地 面上的观察点为P 以AB的中点为原点 直线AB为x轴建立平面直角坐标系 则 A B的坐标分别为A 25 0 B 25 0 设P x y 且PA b PB a tan b a 12 b 16 a 3 4 2 x 25 2 y2 3 4 x 25 2 y2 化简得方程为圆的方程 所以轨迹为圆 故选 A 5 平面 的斜线AB交 于点B 过定点A的动直线l与AB垂直 且交 于点C 则动点C的轨迹是 A 一条直线 B 一个圆 C 一个椭圆 D 双曲线的一支 答案 A 解析 过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面 内 直线 l与 的交点C也是平面 的公共点 点C的轨迹是平面 的交线 6 2012 长沙一中月考 方程 2x 3y 1 1 0 表示的曲线是 x 3 A 两条直线 B 两条射线 C 两条线段 D 一条直线和一条射线 答案 D 解析 原方程化为 Error 或 1 0 x 3 2x 3y 1 0 x 3 或x 4 故选 D 7 2011 聊城月考 过点P 1 1 且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x y轴交于 A B两点 则AB中点M的轨迹方程为 答案 x y 1 0 解析 设l1 y 1 k x 1 则l2 y 1 x 1 l1与x轴交点A 1 0 1 k 1 k l2与y轴交点B 0 1 设AB中点M x y 则Error 消去k得 x y 1 0 1 k 8 2011 宿迁模拟 已知两条直线l1 2x 3y 2 0 和l2 3x 2y 3 0 有一动圆 圆心和半径都动 与l1 l2都相交 且l1 l2被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24 则圆心 的轨迹方程是 答案 x 1 2 y2 65 3 解析 设圆心P x y 动圆半径为r P到l1 l2的距离分别为d1 d2 由题意知d 169 r2 d 144 d d 25 即 25 2 12 22 22 1 3x 2y 3 2 13 2x 3y 2 2 13 整理得 x 1 2 y2 65 9 2011 北京理 14 曲线C是平面内与两个定点F1 1 0 和F2 1 0 的距离的积等 于常数a2 a 1 的点的轨迹 给出下列三个结论 曲线C过坐标原点 曲线C关于坐标原点对称 若点P在曲线C上 则 F1PF2的面积不大于a2 1 2 其中 所有正确结论的序号是 答案 解析 由 PF1 PF2 a2得 a2 a 1 将原点O 0 0 代入等式不成立 故 错 x 1 2 y2 x 1 2 y2 将 x y 代入方程中 方程不变 故曲线C关于原点对称 故 正确 设 F1PF2 则S F1PF2 PF1 PF2 sin a2sin a2 故 正确 1 2 1 2 1 2 10 2011 新课标全国理 20 在平面直角坐标系中xOy中 已知点A 0 1 B点 在直线y 3 上 M点满足 M点的轨迹为曲线C MB OA MA AB MB BA 1 求C的方程 2 P为C上的动点 l为C在P点处的切线 求O点到l距离的最小值 解析 1 设M x y 由已知得B x 3 又A 0 1 所以 x 1 y MA 0 3 y x 2 MB AB 再由题意可知 0 MA MB AB 即 x 4 2y x 2 0 所以曲线C的方程为y x2 2 1 4 2 设P x0 y0 为曲线C y x2 2 上一点 1 4 因为y x 所以l的斜率为x0 1 2 1 2 因此直线l的方程为y y0 x0 x x0 1 2 4 即x0 x 2y 2y0 x 0 2 0 所以O点到l的距离d 又y0 x 2 2y0 x2 0 x2 0 4 1 4 2 0 所以d 2 1 2x2 0 4 x2 0 4 1 2 x2 0 4 4 x2 0 4 当x0 0 时取等号 所以O点到l距离的最小值为 2 能力拓展提升 11 在一张矩形纸片上 画有一个圆 圆心为O 和一个定点F F在圆外 在圆上任取一 点M 将纸片折叠使点M与点F重合 得到折痕CD 设直线CD与直线OM交于点P 则点P 的轨迹为 A 双曲线 B 椭圆 C 圆 D 抛物线 答案 A 解析 由OP交 O于M可知 PO PF PO PM OM AC 5 M点轨迹是以A C为焦点 长轴长为 5 的椭圆 a c 1 则b2 a2 c2 5 2 21 4 椭圆的标准方程是 1 4x2 25 4y2 21 14 2011 北京模拟 ABC的顶点A 5 0 B 5 0 ABC的内切圆圆心在直线 x 3 上 则顶点C的轨迹方程是 答案 1 x 3 x2 9 y2 16 解析 如图 CA CB AE BF AD BD 63 x2 9 y2 16 15 2011 西安模拟 已知定点A 0 1 点B在圆F x2 y 1 2 16 上运动 F 为圆心 线段AB的垂直平分线交BF于P 1 求动点P的轨迹E的方程 若曲线Q x2 2ax y2 a2 1 被轨迹E包围着 求实数 a的最小值 2 已知M 2 0 N 2 0 动点G在圆F内 且满足 MG NG OG 2 O为坐标原 点 求 的取值范围 MG NG 解析 1 由题意得 PA PB PA PF PB PF 4 AF 2 动点P的轨迹E是以A F为焦点的椭圆 设该椭圆的方程为 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 则 2a 4 2c 2 即a 2 c 1 故b2 a2 c2 3 动点P的轨迹E的方程为 1 y2 4 x2 3 6 x2 2ax y2 a2 1 即 x a 2 y2 1 曲线Q是圆心为 a 0 半径为 1 的圆 而轨迹E为焦点在y轴上的椭圆 其左 右顶点分别为 0 0 33 若曲线Q被轨迹E包围着 则 1 a 1 33 a的最小值为 1 3 2 设G x y 由 MG NG OG 2得 x2 y2 x 2 2 y2 x 2 2 y2 化简得x2 y2 2 即x2 y2 2 x 2 y x 2 y MG NG x2 y2 4 2 y2 1 点G在圆F x2 y 1 2 16 内 x2 y 1 2 16 0 y 1 2 16 3 y 5 0 y2 25 2 2 y2 1 48 的取值范围是 2 48 MG NG 16 已知直线l y kx b 曲线M y x2 2 1 若k 1 且直线与曲线恰有三个公共点时 求实数b的取值 2 若b 1 直线与曲线M的交点依次为A B C D四点 求 AB CD 的取值范 围 解析 1 分两种情况 1 当 x 时 Error 有唯一解 22 即x2 x b 2 0 在 内有一解 22 由 1 4b 8 0 得b 符合 9 4 2 直线过点 0 得 0 b 得b 222 2 由Error 得x2 kx 3 0 则有 AD 且 k k2 1 k2 12 2 2 2 2 由Error 得x2 kx 1 0 则有 BC 且k R R k2 1 k2 4 所以 AB CD AD BC k2 1 k2 12 k2 1 k2 4 8k2 1 k2 12 k2 4 7 且 k 8 1 11 k2 1 1 3 k2 1 2 2 2 2 令t k2 则 0 t 1 2 则y 0 t OF 又 OM 为 O的半径为定值 故点P的轨迹是以F O为焦点的椭圆 3 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 点P在侧面BCC1B1及其边界上运动 并且总保持 AP BD1 则动点P的轨迹是 A 线段B1C B 线段BC1 C BB1中点与CC1中点连成的线段 D BC中点与B1C1中点连成的线段 答案 A 解析 设P1 P2为P的轨迹上两点 则AP1 BD1 AP2 BD1 AP1 AP2 A 直线AP1与AP2确定一个平面 与面BCC1B1交于直线P1P2 且知BD1 平面 P1P2 BD1 9 又 BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1 P1P2 BC1 而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂 直 P点的轨迹为B1C 4 2011 青岛模拟 圆O x2 y2 16 A 2 0 B 2 0 为两个定点 直线l是圆O 的一条切线 若经过A B两点的抛物线以直线l为准线 则抛物线焦点的轨迹是 A 双曲线 B 椭圆 C 抛物线 D 圆 答案 B 解析 设抛物线的焦点为F 因为A B在抛物线上 所以由抛物线的定义知 A B到F的距离AF BF分别等于A B到准线l的距离 AM BN 过O作OP l 由于l是圆O的一条切线 所以四边形AMNB是直角梯形 OP是中位线 故有 AF BF AM BN 2 OP 8 4 AB 根据椭圆的定义知 焦点F的轨迹是一个椭圆 5 已知A B分别是直线y x和y x上的两个动点 线段AB的长为 2 P 3 3 3 33 是AB的中点 则动点P的轨迹C的方程为 10 答案 y2 1 x2 9 解析 设P x y A x1 y1 B x2 y2 P是线段AB的中点 Error A B分别是直线y x和y x上的点 3 3 3 3 y1 x1和y2 x2 3 3 3 3 代入 中得 Error 又 2 x1 x2 2 y1 y2 2 12 AB 3 12y2 x2 12 动点P的轨迹C的方程为 y2 1 4 3 x2 9 6 2011 苏州模拟 已知 1 m 0 n 0 当mn取得最小值时 直线 1 m 2 n y x