【走向高考】2013高三数学一轮总复习 9-5椭圆同步练习 北师大版

1 9 59 5 椭圆椭圆 基 础 巩 固 一 选择题 1 2011 新课标文 4 椭圆 1 的离心率为 x2 16 y2 8 A B 1 3 1 2 C D 3 3 2 2 答案 D 解析 考查椭圆的离心率 这样的题目要注意焦点的位置 e 2 2 4 2 2 2 文 教材改编题 如果方程x2 ky2 2 表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的 取值范围为 A 0 1 B 1 2 C 0 2 D 0 1 答案 A 解析 方程可化为 1 焦点在y轴上 则有 2 即k0 0 k 1 x2 2 y2 2 k 2 k 理 设 0 0 故选 C 1 cos 1 sin 3 2012 长沙调研 中心在原点 焦点在x轴上 若长轴长为 18 且两个焦点恰好 将长轴三等分 则此椭圆的方程是 A 1 B 1 x2 81 y2 72 x2 81 y2 9 C 1 D 1 x2 81 y2 45 x2 81 y2 36 2 答案 A 解析 依题意知 2a 18 a 9 2c 2a c 3 1 3 b2 a2 c2 81 9 72 椭圆方程为 1 x2 81 y2 72 4 2012 新课标理 4 设F1 F2是椭圆E 1 a b 0 的左 右焦点 P为 x2 a2 y2 b2 直线x 上一点 F2PF1是底角为 30 的等腰三角形 则E的离心率为 3a 2 A B 1 2 2 3 C D 3 4 4 5 答案 C 解析 本题考查了椭圆的定义 几何性质及离心率的求法 F2PF1是底角为 30 的等腰三角形 PF2 F2F1 2 a c 2c e 3 2 c a 3 4 注意数形结合思想是解析几何的核心 5 文 2012 长春质检 已知F1 F2是椭圆的两个焦点 过F1且与椭圆长轴垂直的 直线交椭圆于A B两点 若 ABF2是正三角形 则这个椭圆的离心率为 A B 3 3 2 3 C D 2 2 3 2 答案 A 解析 ABF2是正三角形 AF2 2 AF1 又 AF2 AF1 2a且 AF1 F1F2 3 AF1 a 又 F1F2 2c 2 3 2 3a 2c 1 3 e c a 3 3 理 椭圆 y2 1 的两个焦点为F1 F2 过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交 一 x2 4 个交点为P 则 PF2 A B 3 23 3 C D 4 7 2 答案 C 解析 设F1 F2分别为椭圆的左 右焦点 由椭圆的方程可得F1 0 即垂线 3 的方程为x 由Error 得y 由椭圆的定义知 4 3 1 2 PF1 1 2 PF1 PF2 所以 故选 C PF2 7 2 6 文 2012 石家庄一模 已知椭圆 1 的焦点分别是F1 F2 P是椭圆上一 x2 16 y2 25 点 若连接F1 F2 P三点恰好能构成直角三角形 则点P到y轴的距离是 A B 3 16 5 C D 16 3 25 3 答案 A 解析 F1 0 3 F2 0 3 3b 0 上的一点 x2 a2 y2 b2 若 0 tan PF1F2 则此椭圆的离心率为 PF1 PF2 1 2 4 答案 5 3 解析 0 PF1 PF2 PF1 PF2 又 tan PF1F2 令PF2 PF1 x 1 2 1 2 则Error Error e c a 5 3 三 解答题 9 2012 陕西理 19 已知椭圆C1 y2 1 椭圆C2以C1的长轴为短轴 且与 x2 4 C1有相同的离心率 1 求椭圆C2的方程 2 设O为坐标原点 点A B分别在椭圆C1和C2上 2 求直线AB的方程 OB OA 解析 由已知可设椭圆C2的方程为 1 a 2 y2 a2 x2 4 其离心率为 故 则a 4 3 2 a2 4 a 3 2 故椭圆C2的方程为 1 y2 16 x2 4 2 解法一 设A B两点的坐标分别为 xA yA xB yB 由 2及 1 知 O A B三点共线且点A B不在y轴上 OB OA 因此可设直线AB的方程为y kx 将y kx代入 y2 1 中 得 1 4k2 x2 4 x2 4 所以x 2A 4 1 4k2 将y kx代入 1 中 得 4 k2 x2 16 y2 16 x2 4 所以x 2B 16 4 k2 又由 2 得x 4x 即 OB OA 2B2A 16 4 k2 16 1 4k2 解得k 1 故直线AB的方程为y x或y x 解法二 设A B两点的坐标分别为 xA yA xB yB 5 由 2及 1 知 O A B三点共线且点A B不在y轴上 因此可设直线AB的方 OB OA 程为y kx 将y kx代入 y2 1 中 得 1 4k2 x2 4 x2 4 所以x 2A 4 1 4k2 由 2 得x y OB OA 2B 16 1 4k22B 16k2 1 4k2 将x y代入 1 中 得 1 2B2B y2 16 x2 4 4 k2 1 4k2 即 4 k2 1 4k2 解得k 1 故直线AB的方程为y x或y x 能 力 提 升 一 选择题 1 已知椭圆x2 2y2 4 则以 1 1 为中点的弦的长度为 A 3 B 2 23 C D 30 3 3 2 6 答案 C 解析 依题设弦端点A x1 y1 B x2 y2 则x 2y 4 x 2y 4 2 12 12 22 2 x x 2 y y 2 12 22 12 2 此弦斜率k y1 y2 x1 x2 x1 x2 2 y1 y2 1 2 此弦所在直线方程y 1 x 1 1 2 即y x 代入x2 2y2 4 1 2 3 2 整理得 3x2 6x 1 0 x1 x2 x1 x2 2 1 3 AB x1 x2 2 4x1x21 k2 4 4 1 3 1 1 4 30 3 2 已知椭圆的焦点是F1 F2 P是椭圆上的一个动点 如果延长F1P到Q 使得 PQ PF2 那么动点Q的轨迹是 A 圆 B 椭圆 6 C 双曲线的一支 D 抛物线 答案 A 解析 PF1 PF2 2a PQ PF2 PF1 PF2 PF1 PQ 2a 即 F1Q 2a 动点Q到定点F1的距离等于定长 2a 故动点Q的轨迹是圆 二 填空题 3 若椭圆 1 的焦点在x轴上 过点 1 做圆x2 y2 1 的切线 切点分别 x2 a2 y2 b2 1 2 为A B 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程是 答案 1 x2 5 y2 4 解析 由题意可得切点A 1 0 设切点B m n 满足Error 解得B 3 5 4 5 过切点A B的直线方程为 2x y 2 0 令y 0 得x 1 即c 1 令x 0 得y 2 即b 2 a2 b2 c2 5 椭圆方程为 1 x2 5 y2 4 4 已知正方形ABCD 则以A B为焦点 且过C D两点的椭圆的离心率为 答案 1 2 解析 令AB 2 则AC 2 2 椭圆中c 1 2a 2 2 a 1 22 可得e 1 c a 1 2 12 三 解答题 5 设椭圆C 1 a b 0 过点 0 4 离心率为 x2 a2 y2 b2 3 5 1 求C的方程 2 求过点 3 0 且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标 4 5 解析 1 将 0 4 代入C的方程得 1 b 4 16 b2 又e 得 c a 3 5 a2 b2 a2 9 25 7 即 1 a 5 16 a2 9 25 C的方程为 1 x2 25 y2 16 2 过点 3 0 且斜率为 的直线方程为y x 3 4 5 4 5 设直线与C的交点为A x1 y1 B x2 y2 将直线方程y x 3 代入C的方程 得 4 5 1 即x2 3x 8 0 x2 25 x 3 2 25 AB的中点坐标 x x1 x2 2 3 2 x1 x2 6 y y1 y2 2 2 5 6 5 即中点为 2 3 6 5 6 2012 广东文 20 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C1 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 的左焦点为F1 1 0 且点P 0 1 在C1上 1 求椭圆C1的方程 2 设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2 y2 4x相切 求直线l的方程 解析 1 因为椭圆C1的左焦点为F1 1 0 所以c 1 将点P 0 1 代入椭圆方 程 1 得 1 x2 a2 y2 b2 1 b2 即b2 1 所以a2 b2 c2 2 所以椭圆C1的方程为 y2 1 x2 2 2 直线l的斜率显然存在 设直线l的方程为y kx m 由Error 消去y并整理得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 0 因为直线l与椭圆C1相切 所以 1 16k2m2 4 1 2k2 2m2 2 0 整理得 2k2 m2 1 0 由Error 消去y并整理得 k2x2 2km 4 x m2 0 因为直线l与抛物线C2相切 所以 2 2km 4 2 4k2m2 0 8 整理得km 1 综合 解得Error 或Error 所以直线l的方程为y x 或y x 2 22 2 22 7 2012 西安五校一模 已知中心在原点 焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 且 1 2 经过点M 1 3 2 1 求椭圆C的方程 2 是否存在过点P 2 1 的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A B 满足 PA PB 若存在 求出直线l1的方程 若不存在 请说明理由 PM2 解析 1 设椭圆C的方程为 1 a b 0 由题意得Error 解得a2 4 b2 3 x2 a2 y2 b2 故椭圆C的方程为 1 x2 4 y2 3 2 假设存在直线l1且由题意得斜率存在 设满足条件的方程为y k1 x 2 1 代 入椭圆C的方程得 3 4k x2 8k1 2k1 1 x 16k 16k1 8 0 2 12 1 因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A B 设A B两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 所以 8k1 2k1 1 2 4 3 4k 16k 16k1 8 32 6k1 3 0 所以k1 2 12 1 1 2 又x1 x2 x1x2 8k1 2k1 1 3 4k2 1 16k2 1 16k1 8 3 4k2 1 因为 PA