2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题3 面积问题

用心 爱心 专心1 20122012 年全国中考数学压轴题分类解析汇编年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题专题 3 3 面积问题 面积问题 锦元数学工作室锦元数学工作室 编辑编辑 1 1 20122012 广东佛山广东佛山 1111 分 分 1 按语句作图并回答 作线段 AC AC 4 以 A 为圆心 a 为半径作圆 再 以 C 为圆心 b 为半径作圆 a 4 b 4 圆 A 与圆 C 交于 B D 两点 连接 AB BC CD DA 若能作出满足要求的四边形 ABCD 则 a b 应满足什么条件 2 若 a 2 b 3 求四边形 ABCD 的面积 答案答案 解 1 作图如下 能作出满足要求的四边形 ABCD 则 a b 应满足的条件是 a b 4 2 连接 BD 交 AC 于 E A 与 C 交于 B D AC DB BE DE 设 CE x 则 AE 4 x BC b 3 AB a 2 由勾股定理得 22222 BE3x24x 解得 21 x 8 2 2 213 15 BE3 88 四边形 ABCD 的面积是 13 153 15 2ACBE4 282 答 四边形 ABCD 的面积是 3 15 2 考点考点 作图 复杂作图 相交两圆的性质 勾股定理 分析分析 1 根据题意画出图形 只有两圆相交 才能得出四边形 即可得出答案 2 连接 BD 根据相交两圆的性质得出 DB AC BE DE 设 CE x 则 AE 4 x 根据勾股定理 用心 爱心 专心2 得出关于 x 的方程 求出 x 根据三角形的面积公式求出即可 2 2 20122012 广东广州广东广州 1414 分 分 如图 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 2 33 y xx 3 84 与 y 轴交于点 C 1 求点 A B 的坐标 2 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点 当 ACD 的面积等于 ACB 的面积时 求点 D 的坐标 3 若直线 l 过点 E 4 0 M 为直线 l 上的动点 当以 A B M 为顶点所作的直角三角形有且只有三 个时 求直线 l 的解析式 答案答案 解 1 在中 令 y 0 即 解得 x1 4 x2 2 2 33 y xx 3 84 2 33 xx 3 0 84 点 A 在点 B 的左侧 A B 点的坐标为 A 4 0 B 2 0 2 由得 对称轴为 x 1 2 33 y xx 3 84 在中 令 x 0 得 y 3 2 33 y xx 3 84 OC 3 AB 6 ACB 11 SAB OC6 39 22 在 Rt AOC 中 2222 AC OA OC4 35 设 ACD 中 AC 边上的高为 h 则有AC h 9 解得 h 1 2 18 5 如图 1 在坐标平面内作直线平行于 AC 且到 AC 的距离 h 这样的直线有 2 条 18 5 分别是 L1和 L2 则直线与对称轴 x 1 的两个交点即为所求的点 D 设 L1交 y 轴于 E 过 C 作 CF L1于 F 则 CF h 18 5 18 CFCF9 5 CE 4 sinCEFsinOCA2 5 设直线 AC 的解析式为 y kx b 将 A 4 0 B 0 3 坐标代入 得 用心 爱心 专心3 解得 4k b 0 b 3 3 k 4 b 3 直线 AC 解析式为 3 yx3 4 直线 L1可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位 个长度单位 而形成的 9 2 直线 L1的解析式为 3933 yx3x 4242 则 D1的纵坐标为 D1 4 339 1 424 9 4 同理 直线 AC 向上平移个长度单位得到 L2 可求得 D2 1 9 2 27 4 综上所述 D 点坐标为 D1 4 D2 1 9 4 27 4 3 如图 2 以 AB 为直径作 F 圆心为 F 过 E 点作 F 的切线 这样的切线有 2 条 连接 FM 过 M 作 MN x 轴于点 N A 4 0 B 2 0 F 1 0 F 半径 FM FB 3 又 FE 5 则在 Rt MEF 中 ME sin MFE cos MFE 22 534 4 5 3 5 在 Rt FMN 中 MN MN sin MFE 3 412 55 FN MN cos MFE 3 39 55 则 ON M 点坐标为 4 5 4 5 12 5 直线 l 过 M E 4 0 4 5 12 5 设直线 l 的解析式为 y k1x b1 则有 解得 412 k b 55 4k b 0 3 k 4 b 3 直线 l 的解析式为 y x 3 3 4 同理 可以求得另一条切线的解析式为 y x 3 3 4 综上所述 直线 l 的解析式为 y x 3 或 y x 3 3 4 3 4 用心 爱心 专心4 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的性质 勾股定理 直线平行和平移的性质 直线与圆的位置关系 直线与圆相切的性质 圆周角定理 锐角三角函数定义 分析分析 1 A B 点为抛物线与 x 轴交点 令 y 0 解一元二次方程即可求解 2 根据题意求出 ACD 中 AC 边上的高 设为 h 在坐标平面内 作 AC 的平行线 平行线之 间的距离等于 h 根据等底等高面积相等的原理 则平行线与坐标轴的交点即为所求的 D 点 从一次函 数的观点来看 这样的平行线可以看做是直线 AC 向上或向下平移而形成 因此先求出直线 AC 的解析式 再求出平移距离 即可求得所作平行线的解析式 从而求得 D 点坐标 这样的平行线有两条 3 本问关键是理解 以 A B M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个 的含义 因为过 A B 点作 x 轴的垂线 其与直线 l 的两个交点均可以与 A B 点构成直角三角形 这样已经有符合题意的 两个直角三角形 第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑 以 AB 为直径作圆 当直线与圆相 切时 根据圆周角定理 切点与 A B 点构成直角三角形 从而问题得解 这样的切线有两条 3 3 20122012 广东梅州广东梅州 1111 分 分 如图 矩形 OABC 中 A 6 0 C 0 2 D 0 3 射线 l 过点 D 且与 x 轴平行 点 P Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点 满足 PQO 60 1 点 B 的坐标是 CAO 度 当点 Q 与点 A 重合时 点 P 的坐标为 直接写 出答案 2 设 OA 的中心为 N PQ 与线段 AC 相交于点 M 是否存在点 P 使 AMN 为等腰三角形 若存在 请直 接写出点 P 的横坐标为 m 若不存在 请说明理由 3 设点 P 的横坐标为 x OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S 试求 S 与 x 的函数关系式和相应 的自变量 x 的取值范围 答案答案 解 1 6 2 30 3 3 33 2 存在 m 0 或 m 3 或 m 2 3 3 当 0 x 3 时 用心 爱心 专心5 如图 1 OI x IQ PI tan60 3 OQ OI IQ 3 x 由题意可知直线 l BC OA 可得 EF 3 x EFPEDC31 OQPODO33 3 1 3 此时重叠部分是梯形 其面积为 EFQO 14 34 3 SSEFOQOC3xx4 3 233 当 3 x 5 时 如图 2 HAQEFQOEFQO 2 2 1 SSSSAH AQ 2 4 33313 33 x4 3x3xx 32232 当 5 x 9 时 如图 3 12 SBEOAOC3 12x 23 2 3 x12 3 3 当 x 9 时 如图 4 1118 354 3 SOA AH6 22xx 综上所述 S 与 x 的函数关系式为 2 4 3 x4 3 0 x3 3 313 33 xx3x5 232 S 2 3 x12 3 5x9 3 54 3 x9 x 考点考点 矩形的性质 梯形的性质 锐角三角函数 特殊角的三角函数值 相似三角形的判定和性质 解直角三角形 分析分析 1 由四边形 OABC 是矩形 根据矩形的性质 即可求得点 B 的坐标 四边形 OABC 是矩形 AB OC OA BC A 6 0 C 0 2 点 B 的坐标为 6 2 33 由正切函数 即可求得 CAO 的度数 用心 爱心 专心6 CAO 30 OC2 33 tan CAO OA63 由三角函数的性质 即可求得点 P 的坐标 如图 当点 Q 与点 A 重合时 过点 P 作 PE OA 于 E PQO 60 D 0 3 PE 3 33 0 PE AE3 tan60 OE OA AE 6 3 3 点 P 的坐标为 3 3 3 2 分别从 MN AN AM AN 与 AM MN 去分析求解即可求得答案 情况 MN AN 3 则 AMN MAN 30 MNO 60 PQO 60 即 MQO 60 点 N 与 Q 重合 点 P 与 D 重合 此时 m 0 情况 如图 AM AN 作 MJ x 轴 PI x 轴 MJ MQ sin60 AQ sin600 3 OAIQOIsin603m 2 又 113 MJAM AN 222 解得 m 3 33 3m 22 3 情况 AM NM 此时 M 的横坐标是 4 5 过点 P 作 PK OA 于 K 过点 M 作 MG OA 于 G MG 3 2 00 PK3 3MG1 QK3GQ 2tan603tan60 KG 3 0 5 2 5 AG AN 1 5 OK 2 m 2 1 2 综上所述 点 P 的横坐标为 m 0 或 m 3 或 m 2 3 3 分别从当 0 x 3 时 当 3 x 5 时 当 5 x 9 时 当 x 9 时去分析求解即可求得答案 用心 爱心 专心7 4 4 20122012 广东汕头广东汕头 1212 分 分 如图 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 连接 2 13 y xx9 22 BC AC 1 求 AB 和 OC 的长 2 点 E 从点 A 出发 沿 x 轴向点 B 运动 点 E 与点 A B 不重合 过点 E 作直线 l 平行 BC 交 AC 于 点 D 设 AE 的长为 m ADE 的面积为 s 求 s 关于 m 的函数关系式 并写出自变量 m 的取值范围 3 在 2 的条件下 连接 CE 求 CDE 面积的最大值 此时 求出以点 E 为圆心 与 BC 相切的圆的 面积 结果保留 答案答案 解 1 在中 2 13 y xx9 22 令 x 0 得 y 9 C 0 9 令 y 0 即 解得 x1 3 x2 6 A 3 0 B 6 0 2 13 xx9 0 22 AB 9 OC 9 2 ED BC AED ABC 即 2 AED ABC SAE SAB 2 sm 1 9 9 9 2 s m2 0 m 9 1 2 3 S AEC AE OC m S AED s m2 1 2 9 2 1 2 S EDC S AEC S AED m2 m m 2 1 2 9 2 1 2 9 2 81 8 CDE 的最大面积为 81 8 此时 AE m BE AB AE 9 2 9 2 用心 爱心 专心8 又 22 BC6 9 3 13 过 E 作 EF BC 于 F 则 Rt BEF Rt BCO 得 即 EFBE OCBC 9 EF 2 93 13 27 EF13 26 以 E 点为圆心 与 BC 相切的圆的面积 S E EF2 729 52 考点考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 相似三角形的判定和性质 二次函数的最值 勾股定理 直线与圆相切的性质 分析分析 1 已知抛物线的解析式 当 x 0 可确定 C 点坐标 当 y 0 时 可确定 A B 点的坐标 从而 确定 AB OC 的长 2 直线 l BC 可得出 AED ABC 它们的面积比等于相似比的平方 由此得到关于 s m 的 函数关系式 根据题目条件 点 E 与点 A B 不重合 可确定 m 的取值范围 3 首先用 m 列出 AEC 的面积表达式 AEC AED 的面积差即为 CDE 的面积 由此可得关 于 S CDE关于 m 的函数关系式 根据函数的性质可得到 S CDE的最大面积以及此时 m 的值 过 E 做 BC 的垂线 EF 这个垂线段的长即为与 BC 相切的 E 的半径 可根据相似三角形 BEF BCO 得到的相关比例线段求得该半径的值 由此得解 5 5 20122012 广东深圳广东深圳 9 9 分 分 如图 在平面直角坐标系中 直线 y 2x b b 0 的位置随 b 的不同取l 值而变化 1 已知 M 的圆心坐标为 4 2 半径为 2 当 b 时 直线 y 2x b b 0 经过圆心 M l 当 b 时 直线 y 2x b b 0 与 OM 相切 l 2 若把 M 换成矩形 ABCD 其三个顶点坐标分别为 A 2 0 B 6 0 C 6 2 设直线扫过矩形 ABCD 的面积为 S 当 b 由小到大变化时 请求出 S 与 b 的函数关系式 l 用心 爱心 专心9 答案答案 解 1 10 102 5 2 由 A 2 0 B 6 0 C 6 2 根据矩形的性质 得 D 2 2 如图 当直线 经过 A 2 0 时 b 4 当直线 经过ll D 2 2 时 b 6 当直线 经过 B 6 0 时 b 12 当直线 经过 C 6 2 ll 时 b 14 当 0 b 4 时 直线扫过矩形 ABCD 的面积 S 为 0 l 当 4 b 6 时 直线扫过矩形 ABCD 的面积 S 为 EFA 的面积 如图 1 l 在 y 2x b 中 令 x 2 得 y 4 b 则 E 2 4 b 令 y 0 即 2x b 0 解得 x 则 F 0 1 b 2 1 b 2 AF AE 4 b 1 b2 2 S 2 1111 AF AEb24bb2b 4 2224 当 6 b 12 时 直线扫过矩形 ABCD 的面积 S 为直角梯形l DHGA 的面积 如图 2 在 y 2x b 中 令 y 0 得 x 则 G 0 1 b 2 1 b 2 令 y 2 即 2x b 2 解得 x 则 H 2 1 b1 2 1 b1 2 DH AG AD 2 1 b3 2 1 b2 2 S 11 DH AGADb52b5 22 用心 爱心 专心10 当 12 b 14 时 直线扫过矩形 ABCD 的面积 S 为五边形 DMNBA 的面积 矩形 ABCD 的面l 积 CMN 的面积 如图 2 在 y 2x b 中 令 y 2 即 2x b 2 解得 x 则 M 0 1 b1 2 1 b1 2 令 x 6 得 y 12 b 则 N 6 12 b MC NC 14 b 1 7b 2 S 2 1111 4 2MC NC87b14bb 7b41 2224 当 b 14 时 直线扫过矩形 ABCD 的面积 S 为矩形 ABCD 的面积 面积为民 8 l 综上所述 S 与 b 的函数关系式为 2 2 0 0b4 1 b2b 4 4b6 4 Sb5 6b1 1 b 7b41 12b14 4 8 b14 考点考点 直线平移的性质 相似三角形的判定和性质 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 直 线与圆相切的性质 勾股定理 解一元二次方程 矩形的性质 分析分析 1 直线 y 2x b b 0 经过圆心 M 4 2 2 2 4 b 解得 b 10 如图 作点 M 垂直于直线 y 2x b 于点 P 过点 P 作 PH x 轴 过点 M 作 MH PH 二者交于点 H 设直线 y 2x b 与 x y 轴分别交于点 A B 则由 OAB HMP 得 MHAO1 PHOB2 可设直线 MP 的解析式为 1 1 yxb 2 由 M 4 2 得 解得 直线 MP 的解析式为 1 1 24b 2 1 b0 1 yx 2 联立 y 2x b 和 解得 1 yx 2 21 x b yb 55 P 21 b b 55 用心 爱心 专心11 由 PM 2 勾股定理得 化简得 22 21 b b4 55 4 2 2 4b20b 80 0 解得 b 102 5 2 求出直线 经过点 A B C D 四点时 b 的值 从而分l 0 b 4 4 b 6 6 b 12 12 b 14 b 14 五种情况分别讨论即可 6 6 20122012 广东珠海广东珠海 9 9 分 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 ABDC AB 3 DC 高 CE 2 对角线222 AC BD 交于 H 平行于线段 BD 的两条直线 MN RQ 同时从点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速平移 分别交等 腰梯形 ABCD 的边于 M N 和 R Q 分别交对角线 AC 于 F G 当直线 RQ 到达点 C 时 两直线同时停止移 动 记等腰梯形 ABCD 被直线 MN 扫过的图形面积为 S1 被直线 RQ 扫过的图形面积为 S2 若直线 MN 平移 的速度为 1 单位 秒 直线 RQ 平移的速度为 2 单位 秒 设两直线移动的时间为 x 秒 1 填空 AHB AC 2 若 S2 3S1 求 x 3 设 S2 mS1 求 m 的变化范围 答案答案 解 1 90 4 2 直线移动有两种情况 0 x 及 x 2 3 2 3 2 当 0 x 时 MN BD AMN ARQ 3 2 直线 MN 平移的速度为 1 单位 秒 直线 RQ 平移的速度为 2 单位 秒 AMN 和 ARQ 的相似比为 1 2 S2 4S1 与题设 S2 3S1矛盾 2 2 1 S2 4 S1 当 0 x 时 不存在 x 使 S2 3S1 3 2 用心 爱心 专心12 当 x 2 时 3 2 AB CD ABH CDH CH AH CD AB DH BH 1 3 CH DH AC 1 AH BH 4 1 3 1 4 CG 4 2x AC BD S BCD 4 1 2 1 2 RQ BD CRQ CDB 2 2 CRQ 42x S2 8 2x 1 又 ABCDABD 1111 SABCDCE3 222 28SAB CE3 2 2 26 2222 MN BD AMN ADB 2 2 1 ABD SAFx SAH9 S1 x2 S2 8 8 2 x 2 2 3 S2 3S1 8 8 2 x 2 3 x2 解得 x1 舍去 x2 2 2 3 62 53 x 的值为 2 3 由 2 得 当 0 x 时 m 4 3 2 当 x 2 时 S2 mS1 3 2 2 2 2 2 2 1 88 2xS364812 m 12 36 4 2 Sxx3x x 3 m 是的二次函数 当 x 2 时 即当时 m 随的增大而增大 1 x 3 2 112 2x3 1 x 当 x 时 m 最大 最大值为 4 当 x 2 时 m 最小 最小值为 3 3 2 m 的变化范围为 3 m 4 考点考点 相似三角形的判定和性质 平移的性质 二次函数的最值 等腰梯形的性质 分析分析 1 过点 C 作 CK BD 交 AB 的延长线于 K CD AB 四边形 DBKC 是平行四边形 BK CD CK BD 2 用心 爱心 专心13 AK AB BK 3 2 2 4 2 四边形 ABCD 是等腰梯形 BD AC AC CK AE EK AK 2 CE 1 2 2 CE 是高 K KCE ACE CAE 45 ACK 90 AHB ACK 90 AC AK cos45 2 4 24 2 2 直线移动有两种情况 0 x 及 x 2 然后分别从这两种情况分析求解 当 3 2 3 2 0 x 时 易得 S2 4S1 3S1 当 x 2 时 根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方 3 2 3 2 法 可求得 BCD 与 CRQ 的面积 继而可求得 S2与 S1的值 由 S2 3S1 即可求得 x 的值 3 由 2 可得当 0 x 时 m 4 当 x 2 时 可得 化为关 3 2 3 2 2 2 2 1 88 2xS m 2 S x 3 于的二次函数 利用二次函数的性质求得 m 的变化范围 1 x 2 12 m 36 4 x3 7 7 20122012 贵州贵阳贵州贵阳 1212 分 分 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分 我们把这条直线称 为这个平面图形的一条面积等分线 1 三角形有 条面积等分线 平行四边形有 条面积等分线 2 如图 所示 在矩形中剪去一个小正方形 请画出这个图形的一条面积等分线 3 如图 四边形 ABCD 中 AB 与 CD 不平行 AB CD 且 S ABC S ACD 过点 A 画出四边形 ABCD 的面 积等分线 并写出理由 答案答案 解 1 6 无数 2 这个图形的一条面积等分线如图 用心 爱心 专心14 连接2 个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成 2 个相等的部分 即 OO 为这 个图形的一条面积等分线 3 四边形 ABCD 的面积等分线如图所示 理由如下 过点 B 作 BE AC 交 DC 的延长线于点 E 连接 AE BE AC ABC 和 AEC 的公共边 AC 上的高也相等 S ABC S AEC ACDABCACDAECAEDABCD SSSSSS 边 S ACD S ABC 面积等分线必与 CD 相交 取 DE 中点 F 则直线 AF 即为要求作的四边形 ABCD 的面 积等分线 考点考点 面积及等积变换 平行线之间的距离 三角形的面积 平行四边形的性质 矩形的性质 分析分析 1 读懂面积等分线的定义 不难得出 三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线 过 两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成 2 个相等的部分 从而三角形有 3 条面积等分 线 平行四边形有无数条面积等分线 2 由 1 知 矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线 3 过点 B 作 BE AC 交 DC 的延长线于点 E 连接 AE 根据 ABC 和 AEC 的公共边 AC 上的高 也相等推知 S ABC S AEC 由 割补法 可以求得 ACDABCACDAECAEDABCD SSSSSS 边 8 8 20122012 贵州铜仁贵州铜仁 1414 分 分 如图 已知 直线交 x 轴于点A 交 y 轴于点 B 抛物线yx3 y ax2 bx c 经过 A B C 1 0 三点 1 求抛物线的解析式 用心 爱心 专心15 2 若点 D 的坐标为 1 0 在直线上有一点 P 使 ABO 与 ADP 相似 求出点 Pyx3 的坐标 3 在 2 的条件下 在 x 轴下方的抛物线上 是否存在点 E 使 ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积 如果存在 请求出点 E 的坐标 如果不存在 请说明理由 答案答案 解 1 由题意得 A 3 0 B 0 3 抛物线经过 A B C 三点 把 A 3 0 B 0 3 C 1 0 三点分别代入 y ax2 bx c 得方程组 解得 9a3bc0 c3 abc0 a1 b4 c3 抛物线的解析式为 2 43yxx 2 由题意可得 ABO 为等腰三角形 如图 1 所示 若 ABO AP1D 连接 DP1 则 1 AOOB ADOP DP1 AD 4 P1 1 4 若 ABO ADP2 过点 P2作 P2 M x 轴于 M 连接 DP2 ABO 为等腰三角形 ADP2是等腰三角形 由三线合一可得 DM AM 2 P2M 即点 M 与点 C 重合 P2 1 2 3 不存在 理由如下 用心 爱心 专心16 如图 2 设点 E 则 x y ADE 1 SAD y 2 y 2 当 P1 1 4 时 S四边形 AP1CE S三角形 ACP1 S三角形 ACE 1 AP1CEACPACE SSS 11 242 y 4y 22 边 24yy 4y 点 E 在 x 轴下方 代入得 即 4y 2 434xx 2 x4x70 4 2 4 7 12 0 此方程无解 当 P1 1 4 时 在 x 轴下方的抛物线上 不存在点 E 使 ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积 当 P2 1 2 时 21 世纪教育网2 2 AC PAC E四边形AP2C E SSSy DD 22yy 2y 点 E 在 x 轴下方 代入得 即 2y 2 432xx 2 x4x50 4 2 4 5 4 当 t 时 S 有最大值为 2 3 3 2 考点考点 二次函数综合题 动点问题 曲线上点的坐标与方程的关系 对称的性质 线段中垂线的性质 含 300角的直角三角形的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 点到直线的距离 二次函数的 最值 分析分析 1 抛物线的解析式中 令 x 0 能确定抛物线与 y 轴的交点坐标 即 B 点坐标 令 y 0 能 确定抛物线与 x 轴的交点坐标 即 A C 的坐标 2 由 1 的结果 利用待定系数法可求出直线 AB 的解析式 3 欲求出反比例函数的解析式 需要先得到 D 点的坐标 已知 A B 的坐标 易判断出 OAB 是含 300角的直角三角形 结合 O D 关于直线 AB 对称 可得出 OD 的长 结合 DOA 的值 应用三角函 数即可得到 D 点的坐标 4 首先用 t 列出 AQ AP 的表达式 从而可得到点 P 到 x 轴的距离 以 OQ 为底 P 到 x 轴的 距离为高 可得到关于 S t 的函数关系式 根据函数的性质即可得到 S 的最大值及此时 t 的值 11 11 20122012 江苏宿迁江苏宿迁 1212 分 分 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 已知直线 l1 y x 与直线 l2 y x 6 1 2 相交于点 M 直线 l2与 x 轴相较于点 N 1 求 M N 的坐标 2 在矩形 ABCD 中 已知 AB 1 BC 2 边 AB 在 x 轴上 矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以每秒 1 个 单位长度的速度移动 设矩形 ABCD 与 OMN 的重叠部分的面积为 S 移动的时间为 t 从点 B 与点 O 重合时 开始计时 到点 A 与点 N 重合时计时结束 直接写出 S 与自变量 t 之间的函数关系式 不需要给出解答 过程 3 在 2 的条件下 当 t 为何值时 S 的值最大 并求出最大值 用心 爱心 专心21 答案答案 解 1 解得 M 的坐标为 4 2 1 y x 2 yx6 x 4 y2 在 y x 6 中令 y 0 得 x 6 N 的坐标为 6 0 2 S 与自变量 t 之间的函数关系式为 2 2 2 1 t0t1 4 11 t1t4 24 31349 S t t4t5 424 13 t 5t6 2 149 t7t 6t7 22 3 当 0 t 1 时 S 的最大值为 此时 t 1 1 4 当 1 t 4 时 S 的最大值为 此时 t 4 7 4 当 4 t 5 时 2 2 3134931311 S t t t 424436 S 的最大值为 此时 t 11 6 13 3 当 5 t 6 时 S 随 t 的增大而减小 最大值不超过 3 2 当 6 t 7 时 S 随 t 的增大而减小 最大值不超过 1 2 综上所述 当 t 时 S 的值最大 最大值为 13 3 11 6 考点考点 一次函数综合题 平移问题 直线上点的坐标与方程的关系 一次函数和二次函数的最值 分析分析 1 联立两直线方程即可求得 M 的坐标 在 y x 6 中令 y 0 即可求得 N 的坐标 用心 爱心 专心22 2 先求各关键位置 自变量 t 的情况 起始位置时 t 0 当点 A 与点 O 重合时 如图 1 t 1 当点 C 与点 M 重合时 如图 2 t 4 当点 D 与点 M 重合时 如图 3 t 5 当点 B 与点 N 重合时 如图 4 t 6 结束位置时 点 A 与 点 N 重合 t 7 当 0 t 1 时 矩形 ABCD 与 OMN 的重叠部分的面积为一三角形面积 不含 t 0 三角 形的底为 t 高为 1 t 2 2 1 11 S t t t 2 24 当 1 t 4 时 矩形 ABCD 与 OMN 的重叠部分的面积为一梯形面积 梯形的上底为 下底为 高为 1 1 t1 2 1 t 2 1 1111 S t1 t1 t 2 2224 当 4 t 5 时 矩形 ABCD 与 OMN 的重叠部分的面积为两梯形面积的和 第一个梯形的 上底为 下底为 2 高为 第二个梯形的上底为 t 6 下底为 2 高为 1 t1 2 4t1 5t t4 2 1 1131349 S t1 25t t 6 2t4 t t 2 22424 当 5 t 6 时 矩形 ABCD 与 OMN 的重叠部分的面积为一梯形面积 梯形的上底为 6 t 下底为 7 t 高为 1 113 S 6t 7t 1 t 22 当 6 t 7 时 矩形 ABCD 与 OMN 的重叠部分的面积为一三角形面积 不含 t 7 三角 形的底为 7 t 高为 7 t 2 1149 S 7t7t t7t 222 3 分别讨论各分段函数的最大值而得所求 28 12 12 20122012 四川内江四川内江 1212 分 分 如图 14 已知点 A 1 0 B 4 0 点 C 在 y 轴的正半轴上 且 ACB 900 抛物线经过 A B C 三点 其顶点为 M 2 yaxbxc 1 求抛物线的解析式 2 yaxbxc 2 试判断直线 CM 与以 AB 为直径的圆的位置关系 并加以证明 用心 爱心 专心23 3 在抛物线上是否存在点 N 使得 如果存在 那么这样的点有几个 如果不存在 请说明理 BCN S4 由 答案答案 解 1 Rt ACB 中 OC AB AO 1 BO 4 ACO ABO OC2 OA OB 4 COAO OBCO OC 2 点 C 0 2 抛物线经过 A B 两点 2 yaxbxc 设抛物线的解析式为 将 C 点代入上式 得 ya x 1x4 解得 2a 0 1 04 1 a 2 抛物线的解析式 即 1 yx 1x4 2 2 13 yx x 2 22 2 直线 CM 与以 AB 为直径的圆相切 理由如下 如图 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D 连接 CD 由于 A B 关于抛物线的对称轴对称 则点 D 为 Rt ABC 斜边 AB 的中点 CD AB 1 2 由 1 知 2 2 131325 yx x 2 x 22228 则点 M ME 325 28 259 2 88 而 CE OD OC 2 ME CE OD OC 3 2 又 MEC COD 90 COD CEM CME CDO CME CDM CDO CDM 90 DCM 90 CD 是 D 的半径 直线 CM 与以 AB 为直径的圆相切 用心 爱心 专心24 3 由 B 4 0 C 0 2 得 BC 2 5 则 BCN 114 5 SBC h2 5h4h 225 过点 B 作 BF BC 且使 BF h 过 F 作直线 l BC 交 x 轴于 G 4 5 h 5 Rt BFG 中 sin BGF sin CBO 5 5 BG BF sin BGF 4 55 4 55 G 0 0 或 8 0 易知直线 BC y x 2 则可设直线 l y x b 1 2 1 2 将 G 点坐标代入 得 b 0 或 b 4 则 直线 l y x 或 y x 4 1 2 1 2 联立抛物线的解析式 得 或 2 1 y x 2 13 y x x2 22 2 1 y x4 2 13 y xx2 22 解得或或 x2 2 2 y12 x22 2 y1 2 x2 y3 抛物线上存在点 N 使得 这样的点有 3 个 BCN S4 123 N 22 21 2N 22 21 2N 2 3 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 相似三角形的判定和性质 二 次函数的性质 直线与的位置关系 平行线的性质 分析分析 1 Rt ACB 中 OC AB 利用相似三角形能求出 OC 的长 即可确定 C 点坐标 再利用待定系 数法能求出该抛物线的解析式 2 证明 CM 垂直于过点 C 的半径即可 3 先求出线段 BC 的长 根据 BCN 的面积 可求出 BC 边上的高 那么做直线 l 且直线 l 与 直线 BC 的长度正好等于 BC 边上的高 那么直线 l 与抛物线的交点即为符合条件的 N 点 13 13 20122012 四川广元四川广元 9 9 分 分 如图 AB 是 O 的直径 C 是 AB 延长线上一点 CD 与 O 相切于点 E AD CD 1 求证 AE 平分 DAC 用心 爱心 专心25 2 若 AB 3 ABE 60 求 AD 的长 求出图中阴影部分的面积 答案答案 解 1 证明 连接 OE CD 是 O 的切线 OE CD AD CD AD OE DAE AEO OA OE EAO AEO DAE EAO AE 平分 DAC 2 AB 是 O 的直径 AEB 90 ABE 60 EAO 30 DAE EAO 30 AB 3 在 Rt ABE 中 33 313 AEAB cos303BEAB 2222 在 Rt ADE 中 DAE 30 AE 3 3 2 3 339 ADAE cos30 224 EAO AEO 30 0000 AOE180EAOAEO1803030120 OA OB AOEBOEABE 1 SS S 2 AOEABEAOEAOE 1 SSSS S 2 阴 2 3 120 1 1 3 3 339 32 3602 222416 考点考点 切线的性质 平行的判定和性质 圆周角定理 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 三 角形内角和定理 扇形面积的计算 分析分析 1 连接 OE 由切线的性质可知 OE CD 再根据 AD CD 可知 AD OE 故 DAE AEO 再由 OA OE 可知 EAO AEO 故 DAE EAO 故可得出结论 2 根据 ABE 60 求出 EAO 的度数 进而得出 DAE 的度数 再根据锐角三角函数的定 用心 爱心 专心26 义求出 AE 及 BE 的长 在 Rt ADE 中利用锐角三角函数的定义即可得出 AD 的长 由三角形内角和定理求出 AOE 的度数 再根据 OA OB 可知求 AOEBOEABE 1 SS S 2 出 AOE 的面积 由即可得出结论 AOEAOE SSS 阴 14 14 20122012 山东菏泽山东菏泽 1010 分 分 如图 在平面直角坐标系中放置一直角三角板 其顶点为 A 0 1 B 2 0 O 0 0 将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90 得到 A B O 1 一抛物线经过点 A B B 求该抛物线的解析式 2 设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点 是否存在点 P 使四边形 PB A B 的面积是 A B O 面积 4 倍 若存在 请求出 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 在 2 的条件下 试指出四边形 PB A B 是哪种形状的四边形 并写出四边形 PB A B 的两条 性质 答案答案 解 1 A B O 是由 ABO 绕原点 O 逆时针旋转 900得到的 且 A 0 1 B 2 0 O 0 0 A 1 0 B 0 2 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxc a 抛物线经过点 A B B 解之得 0 2 042 abc c abc 1 1 2 a b c 满足条件的抛物线的解析式为 2 2yxx 2 P 为第一象限内抛物线上的一动点 设 则 P 点坐标满足 P x y0 0 xy 2 2yxx 用心 爱心 专心27 连接 PB PO PB B OA B O OB PB A B SSSS PP四边形 111 1 2 2 2 222 xy 22 2 123xxxxx 假设四边形 PB A B 的面积是 A B O 面积的 4 倍 则 即 解之得 此时 2 234xx 2 210 xx 1x 2 1122y P 1 2 存在点 P 1 2 使四边形 PB A B 的面积是 A B O 面积的 4 倍 3 四边形 PB A B 为等腰梯形 它的性质有 等腰梯形同一底上的两个内角相等 等腰梯形对角线相等 等腰梯形上底与下底平行 等腰梯形两腰相等 答案不唯一 上面性质中的任意 2 个均可 考点考点 二次函数综合题 旋转的性质 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 等腰梯形的判定 和性质 分析分析 1 利用旋转的性质得出 A 1 0 B 0 2 再利用待定系数法求二次函数解析式即 可 2 利用 S四边形 PB A B S B OA S PB O S POB 再假设四边形 PB A B 的面积是 A B O 面 积的 4 倍 得出一元二次方程 得出 P 点坐标即可 3 利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PB A B 为等腰梯形 利用等腰梯形性质得出 答案即可 15 15 20122012 山东枣庄山东枣庄 1010 分 分 如图 在平面直角坐标 xOy 中 一次函数的图象与反比例 ykxb k0 函数的图象交于二 四象限内的 A B 两点 与 x 轴交于 C 点 点 B 的坐标为 6 线 m ym0 x n 段 OA 5 E 为 x 轴上一点 且 sin AOE 4 5 1 求该反比例函数和一次函数的解析式 用心 爱心 专心28 2 求 AOC 的面积 答案答案 解 1 过点 A 作 AD x 轴于 D 点 如图 sin AOE OA 5 sin AOE 4 5 ADAD4 OA55 AD 4 DO 2222 AOAD543 而点 A 在第二象限 点 A 的坐标为 3 4 将 A 3 4 代入 得 m 12 m y x 所求的反比例函数的解析式为 12 y x 将 B 6 n 代入 得 n 2 12 y x 将 A 3 4 和 B 6 2 分别代入 得ykxb 解得 3kb4 6kb2 2 k 3 b2 所求的一次函数的解析式为 2 yx2 3 2 在中 令 即 解得 2 yx2 3 y0 2 x20 3 x3 C 点坐标为 0 3 即 OC 3 AOC 11 SAD OC4 36 22 考点考点 反比例函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 锐角三角函数定义 勾股定理 分析分析 1 过点 A 作 AD x 轴于 D 点 由 sin AOE OA 5 根据正弦的定义可求出 AD 再根据勾 4 5 股定理得到 DO 即得到 A 点坐标 3 4 把 A 3 4 代入 即可确定反比例函数的解析式 m y x 将 B 6 n 代入 确定点 B 点坐标 然后把 A 点和 B 点坐标代入 即可确定一次函数函数的ykxb 解析式 2 先令 求出 C 点坐标 得到 OC 的长 然后根据三角形的面积公式计算 AOC 的面积y0 即可 用心 爱心 专心29 16 16 20122012 浙江金华浙江金华 1212 分 分 在 ABC 中 ABC 45 tan ACB 如图 把 ABC 的一边 BC 放置 在 x 轴上 有 OB 14 OC AC 与 y 轴交于点 E 21 世纪教育网 1 求 AC 所在直线的函数解析式 2 过点 O 作 OG AC 垂足为 G 求 OEG 的面积 3 已知点 F 10 0 在 ABC 的边上取两点 P Q 是否存在以 O P Q 为顶点的三角形与 OFP 全等 且这两个三角形在 OP 的异侧 若存在 请求出所有符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 在 Rt OCE 中 OE OCtan OCE 点 E 0 103 342 34 35 2 34 设直线 AC 的函数解析式为 y kx 有 解得 k 2 34 10 34 k 2 340 3 3 5 直线 AC 的函数解析式为 y 3 x 2 34 5 2 在 Rt OGE 中 tan EOG tan OCE EG3 GO5 设 EG 3t OG 5t 得 t 2 22 OE EG OG 34t2 34 34t EG 6 OG 10 OEG 11 SOG EG 106 30 22 3 存在 当点 Q 在 AC 上时 点 Q 即为点 G 如图 1 作 FOQ 的角平分线交 CE 于点 P1 由 OP1F OP1Q 则有 P1F x 轴 由于点 P1在直线 AC 上 当 x 10 时 y 3 102 342 346 5 点 P1 10 2 346 当点 Q 在 AB 上时 如图 2 有 OQ OF 作 FOQ 的角平分线交 CE 于点 P2 过点 Q 作 QH OB 于点 H 设 OH a 用心 爱心 专心30 则 BH QH 14 a 在 Rt OQH 中 a2 14 a 2 100 解得 a1 6 a2 8 Q 6 8 或 Q 8 6 连接 QF 交 OP2于点 M 当 Q 6 8 时 则点 M 2 4 当 Q 8 6 时 则点 M 1 3 设直线 OP2的解析式为 y kx 则 2k 4 k 2 y 2x 解方程组 得 y 2x 3 y x2 34 5 10 34 x 13 20 34 y 13 P2 10 3420 34 1313 当 Q 8 6 时 则点 M 1 3 同理可求 P2 5 3415 34 99 综上所述 满足条件的 P 点坐标为 10 或 或 2 346 10 3420 34 1313 5 3415 34 99 考点考点 一次函数综合题 待定系数法 直线上点的坐标与方程的关系 勾股定理 锐角三角函数定义 全等三角形的判定和应用 分析分析 1 根据三角函数求 E 点坐标 运用待定系数法求解 2 在 Rt OGE 中 运用三角函数和勾股定理求 EG OG 的长度 再计算面积 3 分两种情况讨论求解 点 Q 在 AC 上 点 Q 在 AB 上 求直线 OP 与直线 AC 的交点坐标即 可 17 17 20122012 广西柳州广西柳州 1212 分 分 如图 在 ABC 中 AB 2 AC BC 5 1 以 AB 所在的直线为 x 轴 AB 的垂直平分线为 y 轴 建立直角坐标系如图 请你分别写出 A B C 三点的坐标 2 求过 A B C 三点且以 C 为顶点的抛物线的解析式 3 若 D 为抛物线上的一动点 当 D 点坐标为何值时 S ABD S ABC 1 2 4 如果将 2 中的抛物线向右平移 且与 x 轴交于点 A B 与 y 轴交于点 C 当平移多少个单 位时 点 C 同时在以 A B 为直径的圆上 解答过程如果有需要时 请参看阅读材料 用心 爱心 专心31 附 阅读材料 一元二次方程常用的解法有配方法 公式法和因式分解法 对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一 元 二次方程求解 如解方程 y4 4y2 3 0 解 令 y2 x x 0 则原方程变为 x2 4x 3 0 解得 x1 1 x2 3 当 x1 1 时 即 y2 1 y1 1 y2 1 当 x2 3 即 y2 3 y3 3 y4 3 所以 原方程的解是 y1 1 y2 1 y3 3 y4 3 再如 可设 用同样的方法也可求解 22 x2x2 2 yx2 答案答案 解 1 AB 的垂直平分线为 y 轴 OA OB AB 2 1 1 2 1 2 A 的坐标是 1 0 B 的坐标是 1 0 在 Rt OBC 中 C 的坐标为 0 2 OCBCOB512 2 222 2 设抛物线的解析式是 y ax2 b 根据题意得