2012年中考数学押轴题备考复习测试题35

用心 爱心 专心1 开放型问题开放型问题 1 2011 湖北荆州 19 7 分 本题满分 7 分 如图 P 是矩形 ABCD 下方一点 将 绕 P 点顺时针旋转后恰好 D 点与 A 点重合 得到 连接 EB 问是PCD 0 60PEA ABE 什么特殊三角形 请说明理由 D C B P E A 解题思路 根据旋转及矩形的性质可知 AE CD AB 可得等腰 进一步由旋ABE 转角是 猜想此三角形可能是等边三角形 0 60 答案 解 ABE 是等边三角形 理由如下 1 分 由旋转得 PAE PDC CD AE PD PA 1 2 3 分 DPA 60 PDA 是等边三角形 4 分 3 PAD 60 由矩形 ABCD 知 CD AB CDA DAB 90 1 4 2 30 6 分 AE CD AB EAB 2 4 60 ABE 为等边三角形 7 分 点评 此类试题是猜想与证明两部分组成 解答时 首先是猜想结论 即同学们根据 自己学过的知识经过严格合理地推理 得出一个正确的判断 然后证明 就是根据题目的 要求 把从题设到推出某个结论的过程完整地叙述出来 2 2011 湖北襄阳 25 10 分 如图 9 点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点 不与点 A B 重合 连接 PO 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90 得到线段 PE PE 交边 BC 于 点 F 连接 BE DF 用心 爱心 专心2 1 求证 ADP EPB 2 求 CBE 的度数 3 当的值等于多少时 PFD BFP 并说明理由 AP AB 解题思路 解决 1 2 两问 由旋转发现 DPE 90 DP PE 进而构造全等 三角形是关键 3 可由 PFD BFP 产生比例线段 再结合 ADP BPF 思考 答案 1 证明 四边形 ABCD 是正方形 A PBC 90 AB AD ADP APD 90 DPE 90 APD EPB 90 ADP EPB 2 如下图 过 E 点作 EG AB 的延长线于点 G 则 EGP A 90 又 ADP EPB PD PE PAD EGP EG AP AD AB PG AP EG BG CBE EBG 45 3 法 1 当 时 PFD BFP AP AB 1 2 ADP FPB A PBF ADP BPF 设 AD AB a 则 AP PB a BF BP a 1 2 AP AD 1 4 PD a PF a 22 ADAP 5 2 22 PBBF 5 4 PB PD BF PF 5 5 又 DPF PBF 90 PFD BFP 法 2 假设 PFD BFP 则 PD PF PB BF 用心 爱心 专心3 ADP FPB A PBF ADP BPF PD PF AP BF PB BF AP BF PB AP 时 PFD BFP AP AB 1 2 点评 本题属于直线形几何综合问题 主要考查了正方形 全等三角形 相似三角 形 勾股定理等知识 1 问简单基础 学生普遍会做 2 问由 E 点作 AB 的垂线是较 为简捷的思路 3 是条件开放探究性问题 解决时需要 执果索因 从后向前思 考 难度较大 25 2011 四川乐山 25 12 分 如图 14 1 在直角 ABC 中 ACB 90 CD AB 垂 足为 D 点 E 在 AC 上 BE 交 CD 于点 G EF BE 交 AB 于点 F 若 AC mBC CE nEA m n 为实数 试探究线段 EF 与 EG 的数量关系 1 如图 14 2 当 m 1 n 1 时 EF 与 EG 的数量关系是 证明 2 如图 14 3 当 m 1 n 为任意实数时 EF 与 EG 的数量关系是 证明如图 14 1 当 m n 均为任意实数时 EF 与 EG 的数量关系是 写出关系式 不必证明 解题思路 添加辅助线 构建新的直角三角形 推理证明三角形相似 利用相似关系 列比例式推出 EF 与 EG 的数量关系 答案 1 相等 如 14 2 当 m 1 n 1 时 ACB 是等腰直角三角形 E 为 AC 中点 作 EM AB EN CD 垂足分别为 M N EM EN 为中位线 EFM ENG EF EG 2 EF EG 1 n 作 EM AB EN CD 垂足分别为 M N m 1 ACB 是等腰直角三 角形 EFM ENG EF EG EM EN AE EC EF EG AE nAE 1 n 点评 本题是属于图形演变 规律探索性题目 找准基础图形 作出辅助线 确定三角 形全等或相似关系 列出关系式 是解题的关键 本题难度较大 用心 爱心 专心4 24 2011 湖北随州 24 14 分 如图所示 过点 F 0 1 的直线 y kx b 与抛物线 交于 M x1 y1 和 N x2 y2 两点 其中 x1 0 x2 0 2 1 4 yx 求 b 的值 求 x1 x2的值 分别过 M N 作直线 l y 1 的垂线 垂足分别是 M1 N1 判断 M1FN1的形状 并 证明你的结论 对于过点 F 的任意直线 MN 是否存在一条定直线 m 使 m 与以 MN 为直径的圆相 切 如果有 请法度出这条直线 m 的解析式 如果没有 请说明理由 用心 爱心 专心5 F M N N1M1F1 O y x l 第 24 题 图 思路分析 1 将 F 0 1 代入直线解析式 y kx b 即可求出 b 1 2 因为 M x1 y1 和 N x2 y2 是两个图象的交点 所以它满足两个函数解析式 即满足 这样就得到方程 然后根据根与系数关系即可得到 2 1 1 4 ykx yx 2 1 10 4 xkx 的值 12 x xA 3 通过分析图形的特点 可利用三角形相似证明 M1FN1是直角三角形 由 F1M1 F1N1 x1 x2 4 FF1 2 所以 F1M1 F1N1 F1F2 所以 所以可证明 Rt 111 111 FFF N FMFF M1FF1 Rt N1FF1 由此可得 M1F1F M1FN1 90 即 M1FN1是直角三角形 4 证明圆心 P 到直线 y 1 的距离等于圆的半径 即证明 PQ MN 然后利用梯形的中 1 2 位线定理证明即可 答案 解 b 1 显然和是方程组的两组解 解方程组消元得 1 1 xx yy 2 2 xx yy 2 1 1 4 ykx yx 依据 根与系数关系 得 4 2 1 10 4 xkx 12 x xA 用心 爱心 专心6 F M N N1M1F1 O y x l 第 24 题解答用图 P Q M1FN1是直角三角形 理由如下 由题知 M1的横坐标为 x1 N1的横坐标为 x2 设 M1N1交 y 轴于 F1 则 F1M1 F1N1 x1 x2 4 而 FF1 2 所以 F1M1 F1N1 F1F2 另有 M1F1F FF1N1 90 易证 Rt M1FF1 Rt N1FF1 得 M1FF1 FN1F1 故 M1FN1 M1FF1 F1FN1 FN1F1 F1FN1 90 所以 M1FN1是直 角三角形 存在 该直线为 y 1 理由如下 直线 y 1 即为直线 M1N1 如图 设 N 点横坐标为 m 则 N 点纵坐标为 计算知 NN1 NF 2 1 4 m 2 1 1 4 m 得 NN1 NF 222 1 1 4 mm 2 1 1 4 m 同理 MM1 MF 那么 MN MM1 NN1 作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ 由中位线性质知 PQ MM1 NN1 1 2 MN 即圆心到直线 y 1 的距离等于圆的半径 所以 y 1 总与该圆相切 1 2 点评 本题考查二次函数的综合应用 二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型 要 特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点 难度较大 25 2011 湖南永州 25 10 分 探究问题 方法感悟 如图 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别为 DC BC 边上的点 且满足 EAF 45 连接 EF 求证 DE BF EF 感悟解题方法 并完成下列填空 将 ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABG 此时 AB 与 AD 重合 由旋转可得 用心 爱心 专心7 AB AD BG DE 1 2 ABG D 90 ABG ABF 90 90 180 因此 点 G B F 在同一条直线上 EAF 45 2 3 BAD EAF 90 45 45 1 2 1 3 45 即 GAF 又 AG AE AF AF GAF EF 故 DE BF EF 3 2 1 G E F D C B A 第 25 题 方法迁移 如图 将沿斜边翻折得到 ADC 点 E F 分别为 DC BC 边上的点 且ABCRt EAF DAB 试猜想 DE BF EF 之间有何数量关系 并证明你的猜想 2 1 E F D C B A 第 25 题 问题拓展 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD E F 分别为 DC BC 上的点 满足 试DABEAF 2 1 猜想当 B 与 D 满足什么关系时 可使得 DE BF EF 请直接写出你的猜想 不必说明理 由 用心 爱心 专心8 E F D C B A 第 25 题 解题思路 1 由四边形 ABCD 是正方形 知 BAD 90 由 EAF 45 得 1 3 45 所以 GAF EAF 由 SAS 可证 GAF EAF 再由全等三角形的对应 边相等得结论 2 类比 1 的解法 运用轴对称和旋转的知识可证 DE BF EF 3 类 比猜想 DE BF EF 答案 EAF EAF GF DE BF EF 理由如下 假设 BAD 的度数为 将 ADE 绕点 A 顺时针旋转得到 ABG 此时 AB 与 AD 重合 m m 由旋转可得 AB AD BG DE 1 2 ABG D 90 ABG ABF 90 90 180 因此 点 G B F 在同一条直线上 EAF 2 3 BAD EAF m 2 1 mmm 2 1 2 1 1 2 1 3 m 2 1 即 GAF EAF 又 AG AE AF AF GAF EAF GF EF 又 GF BG BF DE BF DE BF EF 用心 爱心 专心9 3 2 1 G E F D C B A 第 25 题 解得图 当 B 与 D 互补时 可使得 DE BF EF 点评 每份试卷的压轴题一般较难 综合考查了学生探究能力 知识迁移能力 创新 能力 分析问题解决问题的能力 本题综合了探究 阅读理解 知识迁移 知识升华等过程 逐步引申 既考查了问题 还降低了学生对难题的畏惧心理 是一道很好的压轴题 25 2011 湖南长沙 25 10 分 使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点 例 如 对于函数y x 1 令y 0 可得x 1 我们说 1 是函数y x 1 的零点 已知函数y x2 2mx 2 m 3 m为常数 1 当m 0 时 求该函数的零点 2 证明 无论m取何值 该函数总有两个零点 3 设函数的两个零点分别为和 且 此时函数与x轴的交点分别 1 x 2 x 12 111 4xx 为A B 点A在点B左侧 点M在直线y x 10 上 当MA MB最小时 求直线AM的解析 式 解题思路 1 根据题目定义 m 0 时 令 y 0 把函数关系式转化为关于 x 的一元 二次方程 解此方程求出 x 的值即为函数零点值 2 令y 0 得到关于 x 的一元二次方 程 x2 2mx 2 m 3 0 运用判别式进行推理即可 3 和是函数y x2 2mx 1 x 2 x 2 m 3 m为常数 零点 且满足 根据根与系数关系进一步求出 m 值 于是 12 111 4xx 得到一个具体二次函数解析式y x2 2x 8 求出与 x 轴交点坐标 答案 解 1 当m 0 时 y x2 6 令y 0 x2 6 0 解得x 或x 66 即m 0 时 求该函数的零点为 66 用心 爱心 专心10 2 证明 令y 0 则x2 2mx 2 m 3 0 由于b2 4ac 2m 2 4 1 2 m 3 4m2 8m 24 4 m2 2m 1 1 24 4 m 1 2 20 因为无论m为何值 4 m 1 2 0 所以 4 m 1 2 20 0 即 无论 m 取何值 一元二次方程x2 2mx 2 m 3 0 一定有两个不相等的实数根 因此无论 m 取何值 函数y x2 2mx 2 m 3 m为常数 总有两个零点 3 设函数的两个零点分别为和 则和是一元二次方程x2 2mx 2 m 3 0 1 x 2 x 1 x 2 x 的两个根 所以 2m 2 m 3 1 x 2 x 1 x 2 x 则 12 1212 11xx xxx x 2 2 3 3 mm mm 又 所以 12 111 4xx 3 m m 1 4 解此分式方程 得m 1 经检验 m 1 是 的根 3 m m 1 4 所以y x2 2x 8 此函数与x轴的交点坐标为A 2 0 B 4 0 设直线y x 10 与x轴交与点 D 10 0 与y轴交于点 F 0 10 过点A作直线 y x 10 的垂线 垂足为点E 延长AE到点A 使AE A E 连接A B 交y x 10 于点 M 则此时MA MB最小 易知OA ON 2 OC 10 AN NC 8 NE 4 2