2018年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)

2018 年河南省开封市高考数学一模试卷 文科 年河南省开封市高考数学一模试卷 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 设集合 A 1 3 5 7 B x 2 x 5 则 A B 的真子集个数为 A 2 个B 3 个C 4 个 D 8 个 2 5 分 复数在复平面内对应的点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3 5 分 已知向量 m 1 1 m 2 则 m 2 是 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4 5 分 在 ABC 中 a 2 b B 则 A A B C D 或 5 5 分 若 则 sin2 A B C D 6 5 分 如图的茎叶图表示的是甲 乙两人在 5 次综合测评中的成绩 其中 一个数字被污损 则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 A B C D 7 5 分 已知曲线 1 a 0 b 0 为等轴双曲线 且焦点到渐近线 的距离为 则该双曲线的方程为 A B x2 y2 1C D x2 y2 2 8 5 分 我国古代名著 庄子 天下篇 中有一句名言 一尺之棰 日取其半 万世不竭 其意思为 一尺的木棍 每天截取一半 永远都截不完 现将该木 棍依此规律截取 如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的 长度 单位 尺 则 处可分别填入的是 A B C D 9 5 分 如图 在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O1 O2 这两个球 相外切 且球 O1与正方体共顶点 A 的三个面相切 球 O2与正方体共顶点 B1的 三个面相切 则两球在正方体的面 AA1C1C 上的正投影是 A B C D 10 5 分 函数 y xln x 的图象大致是 A B C D 11 5 分 抛物线 M y2 4x 的准线与 x 轴交于点 A 点 F 为焦点 若抛物线 M 上一点 P 满足 PA PF 则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为 参考数据 2 24 A B C D 12 5 分 已知函数 若函数 F x f x 3 的所有零点依次记为 x1 x2 x3 xn 且 x1 x2 x3 xn 则 x1 2x2 2x3 2xn 1 xn A B 445 C 455 D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 5 分 则 f f 2 的值为 14 5 分 已知函数 f x ax3 bx 1 的图象在点 1 f 1 处的切线方程为 4x y 1 0 则 a b 15 5 分 设 x y 满足约束条件 且 x y Z 则 z 3x 5y 的最大 值为 16 5 分 一个棱长为 5 的正四面体 棱长都相等的三棱锥 纸盒内放一个小 正四面体 若小正四面体在纸盒内可以任意转动 则小正四面体的棱长的最大 值为 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 已知正项等比数列 an 满足 a3a9 4a52 a2 1 求 an 的通项公式 记 bn 2nan 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 18 12 分 如图 1 在矩形 ABCD 中 AD 2AB 4 E 是 AD 的中点 将 ABE 沿 BE 折起使 A 到点 P 的位置 平面 PEB 平面 BCDE 如图 2 求证 PB 平面 PEC 求三棱锥 D PEC 的高 19 12 分 近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇 2017 年双 11 期 间 某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币 与此同时 相关管理部门推出 了针对电商的商品和服务的评价体系 现从评价系统中选出 200 次成功交易 并对其评价进行统计 对商品的好评率为 0 6 对服务的好评率为 0 75 其中对 商品和服务都做出好评的交易为 80 次 完成下面的 2 2 列联表 并回答是否有 99 的把握 认为商品好评与 服务好评有关 对服务好评对服务不满意合计 对商品好评 对商品不满意 合计200 若针对商品的好评率 采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次 交易 并从中选择两次交易进行客户回访 求至少有一次好评的概率 附 P K2 k 0 150 100 050 020 0100 0050 001 5 k2 07 2 2 70 6 3 8415 02 4 6 6357 87910 82 8 其中 n a b c d 20 12 分 给定椭圆 C 1 a b 0 称圆心在原点 O 半径为 的圆是椭圆 C 的 准圆 已知椭圆 C 的离心率 其 准圆 的方程 为 x2 y2 4 I 求椭圆 C 的方程 II 点 P 是椭圆 C 的 准圆 上的动点 过点 P 作椭圆的切线 l1 l2交 准圆 于 点 M N 本资料收集自千人本资料收集自千人 QQ 群 群 高中数学资源大全高中数学资源大全 1 当点 P 为 准圆 与 y 轴正半轴的交点时 求直线 l1 l2的方程 并证明 l1 l2 2 求证 线段 MN 的长为定值 21 12 分 已知函数 f x t 1 xex g x tx 1 ex 当 t 1 时 讨论 f x 的单调性 f x g x 在 0 上恒成立 求 t 的取值范围 选修选修 4 4 极坐标与参数方程 极坐标与参数方程 22 10 分 已知直线 l 3x y 6 0 在以坐标原点 O 为极点 x 轴正半轴为 极轴的极坐标系中 曲线 C 4sin 0 将直线 l 写成参数方程 t 为参数 0 的形式 并求曲线 C 的直角坐标方程 过曲线 C 上任意一点 P 作倾斜角为 30 的直线 交 l 于点 A 求 AP 的最 值 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知关于 x 的不等式 x 1 2x 1 3 的解集为 x m x n I 求实数 m n 的值 II 设 a b c 均为正数 且 a b c n m 求 的最小值 2018 年河南省开封市高考数学一模试卷 文科 年河南省开封市高考数学一模试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 设集合 A 1 3 5 7 B x 2 x 5 则 A B 的真子集个数为 A 2 个B 3 个C 4 个 D 8 个 解答 解 集合 A 1 3 5 7 B x 2 x 5 则 A B 3 5 A B 的真子集是 3 5 共 3 个 故选 B 2 5 分 复数在复平面内对应的点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解答 解 复数在复平面内对应的点的坐标为 在第四象限 故选 D 3 5 分 已知向量 m 1 1 m 2 则 m 2 是 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解答 解 m 1 1 m 2 m m 1 2 0 由 m m 1 2 0 解得 m 1 或 m 2 m 2 是 的充分不必要条件 故选 A 4 5 分 在 ABC 中 a 2 b B 则 A A B C D 或 解答 解 在 ABC 中 a 2 b B 由正弦定理可得 sinA A A 或 故选 D 5 5 分 若 则 sin2 A B C D 解答 解 sin2 cos cos2 2 1 1 1 2 故选 C 6 5 分 如图的茎叶图表示的是甲 乙两人在 5 次综合测评中的成绩 其中 一个数字被污损 则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 A B C D 解答 解 茎叶图表示的是甲 乙两人在 5 次综合测评中的成绩 其中一个 数字被污损 甲的平均成绩为 88 89 90 91 92 90 乙的平均成绩超过甲的平均成绩 设数字被污损为 x 83 83 87 90 x 99 450 x 8 x 9 乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 p 故选 A 7 5 分 已知曲线 1 a 0 b 0 为等轴双曲线 且焦点到渐近线 的距离为 则该双曲线的方程为 A B x2 y2 1C D x2 y2 2 解答 解 根据题意 若曲线 1 a 0 b 0 为等轴双曲线 则 a2 b2 c a 即焦点的坐标为 a 0 其渐近线方程为 x y 0 若焦点到渐近线的距离为 则有 a 则双曲线的标准方程为 1 即 x2 y2 2 故选 D 8 5 分 我国古代名著 庄子 天下篇 中有一句名言 一尺之棰 日取其半 万世不竭 其意思为 一尺的木棍 每天截取一半 永远都截不完 现将该木 棍依此规律截取 如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的 长度 单位 尺 则 处可分别填入的是 A B C D 解答 解 由题意可得 由图可知第一次剩下 第二次剩下 由此得 出第 7 次剩下 可得 为 i 7 s i i 1 故选 D 9 5 分 如图 在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O1 O2 这两个球 相外切 且球 O1与正方体共顶点 A 的三个面相切 球 O2与正方体共顶点 B1的 三个面相切 则两球在正方体的面 AA1C1C 上的正投影是 A B C D 解答 解 由题意可以判断出两球在正方体的面 AA1C1C 上的正投影与正方形 相切 排除 C D 把其中一个球扩大为与正方体相切 则另一个球被挡住一部 分 由于两球不等 所以排除 A B 正确 故选 B 10 5 分 函数 y xln x 的图象大致是 A B C D 解答 解 函数 f x xln x 可得 f x f x f x 是奇函数 其图象关于原点对称 排除 A D 当 x 0 时 f x 0 故排除 B 又 f x lnx 1 令 f x 0 得 x 得出函数 f x 在 上是 增函数 故选 C 11 5 分 抛物线 M y2 4x 的准线与 x 轴交于点 A 点 F 为焦点 若抛物线 M 上一点 P 满足 PA PF 则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为 参考数据 2 24 A B C D 解答 解 由题意 A 1 0 F 1 0 点 P 在以 AF 为直径的圆 x2 y2 1 上 设点 P 的横坐标为 m 联立圆与抛物线的方程得 x2 4x 1 0 m 0 m 2 点 P 的横坐标为 2 PF m 1 1 圆 F 的方程为 x 1 2 y2 1 2 令 x 0 可得 y EF 2 2 故选 D 12 5 分 已知函数 若函数 F x f x 3 的所有零点依次记为 x1 x2 x3 xn 且 x1 x2 x3 xn 则 x1 2x2 2x3 2xn 1 xn A B 445 C 455 D 解答 解 函数 令 2x k 得 x k Z 即 f x 的对称轴方程为 x k Z f x 的最小正周期为 T 0 x 当 k 0 时 可得第一根对称轴 x 当 k 30 时 可得 x f x 在 0 上有 31 条对称轴 根据正弦函数的性质可知 函数与 y 3 的交点有 31 个点 即 x1 x2关于对称 x2 x3关于对称 即 x1 x2 2 x2 x3 2 xn 1 xn 2 将以上各式相加得 x1 2x2 2x3 2x28 2x29 2x30 x31 2 2 5 8 89 455 则 x1 2x2 2x3 2xn 1 xn x1 x2 x2 x3 x3 xn 1 xn 1 xn 2 455 故选 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 5 分 则 f f 2 的值为 2 解答 解 由题意 自变量为 2 故内层函数 f 2 log3 22 1 1 2 故有 f 1 2 e1 1 2 即 f f 2 f 1 2 e1 1 2 故答案为 2 14 5 分 已知函数 f x ax3 bx 1 的图象在点 1 f 1 处的切线方程为 4x y 1 0 则 a b 2 解答 解 函数 f x ax3 bx 1 的导数为 f x 3ax2 b f x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程为 4x y 1 0 可得 3a b 4 f 1 3 a b 1 解得 a 1 b 1 则 a b 2 故答案为 2 15 5 分 设 x y 满足约束条件 且 x y Z 则 z 3x 5y 的最大 值为 13 解答 解 由约束条件作出可行域如图 作出直线 3x 5y 0 x y Z 平移直线 3x 5y 0 至 1 2 时 目标函数 z 3x 5y 的最大值为 13 故答案为 13 16 5 分 一个棱长为 5 的正四面体 棱长都相等的三棱锥 纸盒内放一个小 正四面体 若小正四面体在纸盒内可以任意转动 则小正四面体的棱长的最大 值为 解答 解 在此纸盒内放一个小正四面体 若小正四面体在纸盒内可以任 意转动 小正四面体的外接球是纸盒的内切球 设正四面体的棱长为 a 则内切球的半径为a 外接球的半径是a 纸盒的内切球半径是 设小正四面体的棱长是 x 则 x 解得 x 小正四面体的棱长的最大值为 故答案为 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 已知正项等比数列 an 满足 a3a9 4a52 a2 1 求 an 的通项公式 记 bn 2nan 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 解答 解 正项等比数列 an 满足 a3a9 4a52 a2 1 则 解得 所以 由于 则 n 2n 1 所以 n 2n 1 则 n 2n 得 即 18 12 分 如图 1 在矩形 ABCD 中 AD 2AB 4 E 是 AD 的中点 将 ABE 沿 BE 折起使 A 到点 P 的位置 平面 PEB 平面 BCDE 如图 2 求证 PB 平面 PEC 求三棱锥 D PEC 的高 解答 解 证明 AD 2AB E 为线段 AD 的中点 AB AE 取 BE 中点 O 连接 PO 则 PO BE 又平面 PEB 平面 BCDE 平面 PEB 平面 BCDE BE PO 平面 BCDE 则 PO EC 在矩形 ABCD 中 AD 2AB E 为 AD 的中点 BE EC 则 EC 平面 PBE EC PB 又 PB PE 且 PE EC E PB 平面 PEC 以 OB 所在直线为 x 轴 以平行于 EC 所在直线为 y 轴 以 OP 所在直线 为 z 轴建立空间直角坐标系 PB PE 2 则 B 0 0 E 0 0 P 0 0 D 2 0 C 2 0 0 2 cos EPC 可得 sin EPC 可得 S EPC sin EPC 2 2 2 VP ECD VD EPC 设三棱锥 D PEC 的高为 h 则可得 S ECD OP S EPC h 可得 2 h 解得 三棱锥 D PEC 的高 h 1 19 12 分 近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇 2017 年双 11 期 间 某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币 与此同时 相关管理部门推出 了针对电商的商品和服务的评价体系 现从评价系统中选出 200 次成功交易 并对其评价进行统计 对商品的好评率为 0 6 对服务的好评率为 0 75 其中对 商品和服务都做出好评的交易为 80 次 完成下面的 2 2 列联表 并回答是否有 99 的把握 认为商品好评与 服务好评有关 对服务好评对服务不满意合计 对商品好评 对商品不满意 合计200 若针对商品的好评率 采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次 交易 并从中选择两次交易进行客户回访 求至少有一次好评的概率 附 P K2 k 0 150 100 050 02 5 0 0100 0050 001 k2 07 2 2 70 6 3 8415 02 4 6 6357 87910 82 8 其中 n a b c d 解答 解 根据题意 对商品好评次数为 200 0 6 120 对服务好评次数为 200 0 75 150 填写 2 2 列联表如下 对服务好评对服务不满意合计 对商品好评8040120 对商品不满意701080 合计15050200 计算 K2 11 11 6 635 有 99 的把握认为商品好评与服务好评有关 根据分层抽样原理 从这 200 次交易中取出 5 次交易 抽取商品好评次数为 120 3 不满意次数为 2 分别记为 a b c D E 从中选择两次交易 基本事件为 ab ac aD aE bc bD bE cD cE DE 共 10 种 至少有一次好评的事件为 ab ac aD aE bc bD bE cD cE 共 9 种 故所求的概率为 P 20 12 分 给定椭圆 C 1 a b 0 称圆心在原点 O 半径为 的圆是椭圆 C 的 准圆 已知椭圆 C 的离心率 其 准圆 的方程 为 x2 y2 4 I 求椭圆 C 的方程 II 点 P 是椭圆 C 的 准圆 上的动点 过点 P 作椭圆的切线 l1 l2交 准圆 于 点 M N 1 当点 P 为 准圆 与 y 轴正半轴的交点时 求直线 l1 l2的方程 并证明 l1 l2 2 求证 线段 MN 的长为定值 解答 解 I 由准圆方程为 x2 y2 4 则 a2 b2 4 椭圆的离心率 e 解得 a b 1 椭圆的标准方程 证明 1 准圆 x2 y2 4 与 y 轴正半轴的交点为 P 0 2 设过点 P 0 2 且与椭圆相切的直线为 y kx 2 联立 整理得 1 3k2 x2 12kx 9 0 直线 y kx 2 与椭圆相切 144k2 4 9 1 3k2 0 解得 k 1 l1 l2方程为 y x 2 y x 2 1 1 1 则 l1 l2 2 当直线 l1 l2中有一条斜率不存在时 不妨设直线 l1斜率不存在 则 l1 x 当 l1 x 时 l1与准圆交于点 1 1 此时 l2为 y 1 或 y 1 显然直线 l1 l2垂直 同理可证当 l1 x 时 直线 l1 l2垂直 当 l1 l2斜率存在时 设点 P x0 y0 其中 x02 y02 4 设经过点 P x0 y0 与椭圆相切的直线为 y t x x0 y0 由得 1 3t2 x2 6t y0 tx0 x 3 y0 tx0 2 3 0 由 0 化简整理得 3 x02 t2 2x0y0t 1 y02 0 x02 y02 4 有 3 x02 t2 2x0y0t x02 3 0 设 l1 l2的斜率分别为 t1 t2 l1 l2与椭圆相切 t1 t2满足上述方程 3 x02 t2 2x0y0t x02 3 0 t1 t2 1 即 l1 l2垂直 综合 知 l1 l2经过点 P x0 y0 又分别交其准圆于点 M N 且 l1 l2 垂直 线段 MN 为准圆 x2 y2 4 的直径 MN 4 线段 MN 的长为定值 21 12 分 已知函数 f x t 1 xex g x tx 1 ex 当 t 1 时 讨论 f x 的单调性 f x g x 在 0 上恒成立 求 t 的取值范围 解答 解 由 f x t 1 xex 得 f x t 1 x 1 ex 若 t 1 则 x 1 时 f x 0 f x 递减 x 1 时 f x 0 f x 递 增 若 t 1 则 x 1 时 f x 0 f x 递增 x 1 时 f x 0 f x 递 减 故 t 1 时 f x 在 1 递减 在 1 递增 t 1 时 f x 在 1 递增 在 1 递减 2 f x g x 在 0 上恒成立 即 t 1 xex tx 1 ex 0 对 x