七年级数学上册 有理数的乘方教案 北师大版

用心 爱心 专心1 有理数的乘方有理数的乘方 教学设计教学设计 教学设计思想 本节内容是在学生学习了有理数的乘法运算后引入的 旨在简化相同因数的积的形式 同 时也是为以后学习数的开方 二次根式等有关内容打基础的 故本节内容具有承前启后的重要 作用 引入课题时 教师给学生创设问题情境 鼓励学生积极参与 可以调动学生积极性 讲 解时把课堂时间还给学生 把思维空间让给学生 教师创设数学情景让学生去自主的学 不把 有理数的乘方的 计算方法 硬塞给学生 课时安排 2 课时 第一课时 教学目标 知识与技能 1 在现实背景中感受有理数乘方的意义 2 能进行有理数的乘方运算 过程与方法 通过实际背景感受乘方的意义 探索乘方运算的方法 发展观察 分析 比较 归纳 概 括的能力 情感与价值观 积极参加数学学习活动 增强自主学习 合作学习意识 教学重点 有理数乘方的意义 教学难点 1 理解有理数乘方的意义上有困难 2 合理进行乘方运算 教学方法 讲练结合 合作探究 教具准备 细胞分裂示意图 用心 爱心 专心2 投影片四张 第一张 练习 记作 2 10 1 A 第二张 例 1 记作 2 10 1 B 第三张 例 2 记作 2 10 1 C 第四张 法则 记作 2 10 1 D 教学过程 创设情景问题 引入课题 师 我们知道 每个生物体都是由细胞组成 动物由动物细胞组成 植物由植物细胞组 成 活的细胞和生物体一样 也经过生长 衰老 死亡几个阶段 细胞本身的繁殖是以细胞分 裂方式进行的 大家来观察一幅某种细胞分裂示意图 出示 细胞分裂示意图 这种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个 想一想 经过 5 小时 这种细胞由 1 个能分裂成多少个 生 1 个细胞 30 分钟后分裂成 2 个 1 个时分裂成 4 个 1 5 小时后分裂成 8 个 2 小 时后分裂成 16 个 5 小时后 这种细胞由 1 个能分裂成 1024 个 师 对 1 个细胞 30 分钟后分裂成 2 个 这是第一次分裂 1 小时后分裂成 4 个 可以 写成 2 2 这是第二次分裂 1 5 小时后分裂成 8 个 可写成 2 2 2 这是第三次分裂 2 小时后分裂成 16 个 也可写成 2 2 2 2 这是第四次分裂 依次类推 想一想 5 小时要 分裂多少次 生甲 5 小时要分裂 10 次 生乙 老师 我知道了 经过一次细胞分裂 1 个可分裂成 2 个 经过二次分裂 1 个 可分裂成 2 2 个 经过三次分裂 1 个可分裂成 2 2 2 个 这样依次类推 经过十次这样 的分裂 1 个便可分裂成 用心 爱心 专心3 210 22222 个 即 1024 个 师 乙同学分析得很好 经过十次分裂后 1 个细胞可以分裂成 210 22222 个 1024 个 但 10 个 2 相乘写起来挺麻烦的 为了简便 可将 210 22222 个 记为 210 210表示有 10 个 2 相乘 我们把这种运算叫乘方 今天我 们就来探讨有理数的乘方 讲授新课 师 在小学中 我们把a a记作a2 读作a的平方 或a的二次方 想一想 a a表 示什么 生 表示边长为a的正方形面积 师 对 还把a a a记作a3 读作a的立方 或a的三次方 那a a a表示什么 生 表示棱长为a的正方体的体积 师 很好 刚才我们又把 210 22222 个 记作 210 一般地 我们有 n个相同的因数a相乘 记作an 即 n an aaaaa 个 这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方 Power 乘方的结果叫做幂 Power 在an 中 a叫做底数 Base numBer n叫做指数 exponent an读作a的n次方 an看作是a 的n次方的结果时 也可读作a的n次幂 在这儿需要注意 乘方是一种运算 幂是乘方运算的结果 如 在 94中 底数是 9 指数是 4 94读作 9 的 4 次方 或 9 的 4 次幂 下面我们做一练习来熟悉这些概念 出示投影片 2 10 A 口答 1 填空 1 1 12的底数是 指数是 2 3 11表示 个 相乘 3 2 1 5的指数是 底数是 用心 爱心 专心4 4 7 54的指数是 底数是 生 1 12的底数是 1 指数是 12 3 11表示 11 个 3 相乘 2 1 5的指数是 5 底数是 2 1 7 54的指数是 4 底数是 7 5 师 很好 那 5 的底数是什么 指数是什么 生 5 的底数是 5 没有指数 师 对吗 师 在这里需要注意 一个数可以看成这个数本身的一次方 如 5 就是 51 指数 1 通 常省略不写 大家也可以这样理解 指数就是指相乘的因数的个数 指数是 1 就是指只有一 个因数 an就是n个a相乘 所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算 下面通过例题来熟悉有理数的乘方运算 出示投影片 2 10 B 例 1 计算 1 53 2 3 4 3 2 1 3 分析 乘方就是几个相同因数的积的运算 所以可用有理数的乘法运算来进行乘方运算 解 1 53 5 5 5 125 2 3 4 3 3 3 3 81 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 8 1 注意 1 当底数是负数或分数时 书写时一定要先用小括号将底数括上 再在其右上 角写指数 如 3 4不能写成 34 2 1 3不能写成 2 1 3 2 在不会引起误解的情况下 乘号也可以用 表示 例如 3 3 3 3 3 可写成 3 3 3 3 3 接下来 我们做一练习来熟悉有理数的乘方运算 出示投影片 2 10 C 用心 爱心 专心5 1 计算 1 1 10 2 1 7 3 83 4 5 3 5 0 1 3 6 2 1 4 2 计算 1 102 103 104 2 10 2 10 3 10 4 生 解 1 10 1 1 7 1 83 512 5 3 125 0 1 3 0 001 2 1 4 16 1 102 100 103 1000 104 10000 10 2 100 10 3 1000 10 4 10000 师 很好 大家都注意了底数是负数的乘方的表示 下面我们来观察刚才练习题的结果 你能发现什么规律 可互相交流 生 正数的任何次幂都是正数 负数的偶次幂是正数 负数的奇次幂是负数 师 对 大家从计算结果中 归纳出乘方运算的符号法则 出示投影片 2 10 D 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 很好 大家再想一想 0 的任何次幂等于多少 1 的任何次幂等于多少 以 10 为底数的幂 有何特点 生 由有理数的乘法可以得到 0 的任何非零次幂等于 0 1 的任何次幂等于 1 10 的几次幂 在 1 的后面有几个 0 师 这位同学总结得非常正确 下面 我们通过课堂练习进一步熟悉有理数乘方的概念 及其运算 课堂练习 课本 P73 随堂练习 1 1 在 74中 底数是 指数是 2 在 3 1 5中 底数是 指数是 用心 爱心 专心6 答案 1 7 4 2 3 1 5 2 计算 1 3 3 2 1 5 2 3 7 1 2 解 1 3 3 3 3 3 27 2 1 5 2 1 5 1 5 2 25 3 7 1 2 7 1 7 1 49 1 3 一个数的平方为 16 这个数可能是几 一个数的平方可能是零吗 答案 一个数的平方为 16 这个数是 4 或 4 一个数的平方可能是零 0 的平方是 0 4 看课本 P72 73 5 试一试 设n为正整数 计算 1 1 2n 2 1 2n 1 分析 n为正整数时 2n表示偶数 2n 1 表示是奇数 所以由乘方的符号法则 即可得 出 解 1 2n 1 1 2n 1 1 课时小结 本节课主要学习了有理数的乘方的意义 有关概念及其有理数乘方运算 通过本节的学习 要明确乘方和加 减 乘 除一样 是一种运算 是求n个相同因数的乘积的运算 乘方实质 是一种特殊的乘法运算 幂与和 差 积 商一样 是乘方运算的结果 乘方运算与加减乘除 的运算步骤一样 先确定符号 再计算绝对值 课后作业 一 课本 P74习题 2 13 2 3 3 1 米长的小棒 第一次截去一半 第二次截去剩下的一半 如此截下去 第七次后剩下 的小棒有多长 解 第七次后剩下的小棒有 2 1 7 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 128 1 米 二 预习内容 课本 P75 准备一张白纸 用心 爱心 专心7 活动与探究 1 如果 a 1 b 2 2 0 求 a b 39 a34的值 过程 让学生通过讨论 探索知道 任何一个数的绝对值是一个非负数 任何一个数的平 方也是一个非负数 两个非负数的和等于 0 则这两个数都为 0 这样 a b即可解出 结果 因为 a 1 B 2 2 0 所以a 1 0 b 2 0 即a 1 b 2 因此 a b 39 a34 1 2 39 1 34 1 1 2 2 用计算器补充完整下表 3132333435363738 392781 从表中你发现 3 的方幂的个位数有何规律 3225的个位数是什么数字 为什么 过程 让学生用计算器填完表后 认真观察 找出规律 根据规律 确定 3225的个位数 字 结果 3132333435363738 39278124372921876561 从表中发现 3 的方幂的个位数呈周期性变化 变化周期是 4 因为 225 56 4 1 所以 3225的个位数是 3 板书设计 2 10 1 有理数的乘方 一 一 乘方 n an aaaaa 个 二 例 1 例 2 用心 爱心 专心8 三 乘方的符号法则 四 课堂练习 五 课时小结 六 课后作业 第二课时 教学目标 知识与技能 1 准确进行有理数的乘方运算 2 通过实例感受当底数大于 1 时 乘方的运算结果增长得很快 过程与方法 感受有理数的乘方与实际问题之间的联系 发展把数学知识与实际问题联系的能力 情感与价值观 1 通过折纸活动 激发学生学习的兴趣 2 通过活动来提高动脑 动手的能力 体会数学与现实生活的联系 教学重点 正确地进行有理数的乘方运算 教学难点 有理数乘方的意义的进一步理解 教学方法 讲练相结合 合作探究 教具准备 投影片二张 第一张 练习 记作 2 10 A 第二张 例题 记作 2 10 B 教学过程 复习回顾 引入课题 用心 爱心 专心9 师 上节课我们探讨了有理数乘方的意义 谁来叙述什么是有理数的乘方 生 求 n 个相同因数的积的运算叫乘方 师 对 n 个相同的因数 a 相乘 可记作 an 即 n an aaaaa 个 注意 这里的 a 可以是正数 负数 也可以是 0 在乘方运算中 我们还知道了底数 指数 幂的概念 能用示意图表示幂 底数 指数之 间的关系吗 生 能 师 很好 底数就是指相同的因数 指数是指相同因数的个数 幂就是乘方的结果 下面我们做一做练习进一步熟悉有理数乘方的意义及其有关概念 出示投影片 2 10 A 1 填空 1 310的意义是 个 3 相乘 2 平方等于 1 的数是 绝对值等于 1 的数是 3 一个数的 15 次幂是负数 那么这个数的 1999 次幂是 4 2 6中指数是 底数是 5 平方等于 64 1 的数是 立方得 64 1 的数是 2 计算 1 3 1 3 2 5 4 答案 1 1 10 2 1 1 3 负数 4 6 2 5 8 1 4 1 2 1 27 1 2 625 师 大家做得很好 我们这节课继续学习有理数的乘方 讲授新课 师 大家拿出准备好的白纸 我们来共同搞个折纸活动 我们每人手里拿的白纸的厚度大约是 0 1 毫米 将它对折 1 次后 厚度应为多少 用心 爱心 专心10 注意 要一边折 一边想 生 对折 1 次后 厚度应为 2 0 1 毫米 师 好 那对折 2 次后 厚度为多少毫米呢 生 对折 2 次后 厚度为 0 4 毫米 师 对 那对折 3 次呢 生 对折 3 次后 厚度为 0 8 毫米 师 想一想 对折 10 次后 厚度应为多少毫米呢 生 老师 我知道了 上节课谈到细胞分裂时 说 1 个细胞分裂成 2 个 经过分裂 10 次后 1 个细胞就可分裂成 1024 个 那一张纸经过对折 10 次后 那厚度就应该是一张纸厚度 的 1024 倍 即 0 1 1024 102 4 毫米 师 这位同学能把新旧知识联系起来很好 大家要学习这种 温故而知新 的方法 以 便于掌握更多知识 对折 10 次后 可知其厚度 那对折 20 次后 厚度为多少毫米 假如每层楼平均高度为 3 米 这张纸对折 20 次后有多少层楼高 大家可以先估算 猜测一下结果 生甲 这张纸对折 20 次后 厚度大约有 100 多米 约有 30 多层楼高 生乙 不对 哪有那么高 大约只有 20 多层吧 同学们讨论得非常激烈 师 好了 到底谁估算得差不多呢 我们来验证 一张纸对折 20 次后 厚度到底有多 少毫米呢 生 一张纸对折 20 次后 厚度应该为 0 1 220 毫米 师 对 对折 1 次后 其厚度为 0 1 2 毫米 对折 2 次后 其厚度为 0 1 22毫 米 对折 20 次后 其厚度为 0 1 220毫米 那有多少米呢 来计算一下 生 0 1 20 2 0 1 220 222 个 0 1 210 222 个 210 222 个 0 1 1024 1024 104857 6 毫米 104 8576 米 师 对 1 张薄薄的纸对折 20 次后竟有 100 多米高 它有多少层楼高呢 讨论一下 生 大约有 35 层楼高 师 很好 当一张纸对折 20 次后 其厚度比 30 层楼还要高 由此可以看出 乘方运算 用心 爱心 专心11 在现实生活中运用较广 因而我们要理解 掌握有理数乘方的意义及其运算 下面我们看一例题 出示投影片 2 10 B 例 1 计算 1 3 2 2 2 3 3 3 2 3 4 4 32 分析 1 3 2表示 3 2的相反数 即 3 2 3 3 2 2 3表示 2 3的相反数 即 2 3 2 2 2 3 3 2 3表示 3 2 3的相反数 即 3 2 3 3 2 3 2 3 2 4 4 32 表示 32除以 4 的商的相反数 解 1 3 2 3 3 9 2 2 3 2 2 2 8 8 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 27 8 27 8 4 4 9 4 32 注意 1 8 是表示 8 的相反数 因为 8 的相反数是 8 所以 8 8 2 32 3 2 3 2有区别 32表示 32的相反数 底数是 3 3 2的 底数是 3 3 2表示 3 2的相反数 底数是 3 3 3 2 3与 3 23 有区别 3 2 3的底数是 3 2 最后结果是幂 而 3 23 的结果 是商 且分子的底数是 2 4 由 2 3 可知 在乘方运算中 当底数是负数或分数时 一定要把整个负数 连同符号 或分数用小括号括起来 师 好 下面我们通过练习来掌握有理数的乘方运算 用心 爱心 专心12 课堂练习 1 计算 学生上黑板板演 1 2 3 2 2 2 3 2 3 53 4 3 42 解 1 2 3 2 4 9 2 2 3 2 4 9 3 53 125 4 3 16 3 42 2 试一试 一个数的平方与它的绝对值相比较 能够确定它们之间的大小关系吗 答案 设这个数为 x 1 当 x 1 0 时 x2 x 即 当这个数为 1 或 0 时 这个数的平方与这个数的绝 对值相等 2 当 x 1 或 x 1 时 x2 x 即 这个数大于 1 或小于 1 时 这个数的平方 大于它的绝对值 3 当 1 x 0 0 x 1 时 x2 x 即 这个数在大于 1 小于 1 且不等于 0 时 这个数的平方小于它的绝对值 3 读一读 棋盘上的学问 古时候 在某个王国里有一位聪明的大臣 他发明了国际象棋 献给了国王 国王从此迷 上了下棋 为了对聪明的大臣表示感谢 国王答应满足这个大臣的一个要求 大臣说 就在 这个棋盘上放一些米粒吧 第 1 格放 1 粒米 第 2 格放 2 粒米 第 3 格放 4 粒米 然后是 8 粒 16 粒 32 粒 一直到第 64 格 你真傻 就要这么一点米粒 国王哈哈大笑 大 臣说 就怕您的国库里没有这么多米 你认为国王的国库里有这么多米吗 分析 第 1 格放 1 粒米 第 2