极坐标与参数方程教案

1 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 教学目标教学目标 1 知识目标 1 掌握极坐标的意义 会把极坐标转化一般方程 2 掌握参数方程与一般方程的转化 2 能力目标 通过对公式的应用 提高学生分析问题和解决问题的能力 多方面考虑 事物 培养他们的创新精神和思维严谨性 3 情感目标 培养学生数形结合是思想方法 教学重点教学重点 1 极坐标的与一般坐标的转化 2 参数方程和一般方程的转化 3 几何证明的整体思路 教学难点教学难点 极坐标意义和直角坐标的转化 考点分析考点分析 坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考 一般是 5 分的比较容易的 题 知识相对比较独立 与其他章节联系不大 容易拿分 根据不同的几何问题可以建立不 同的坐标系 坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它 们位置关系的数据确立 有些问题用极坐标系解答比较简单 而有些问题如果我们引入一个 参数就可以使问题容易入手解答 计算简便 高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程 参数方程以及极坐标方程 参数方程与普通方程间的相互转化 并用极坐标方程 参数方程 研究有关的距离问题 交点问题和位置关系的判定 基本要点基本要点 一 极坐标和参数方程 一 极坐标和参数方程 1 极坐标系的概念 极坐标系的概念 在平面内取一个定点 叫做极点极点 自极点 引一条射线 叫做极轴极轴 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建 立了一个极坐标系极坐标系 2 点 点 M 的极坐标 的极坐标 设 M 是平面内一点 极点 与点 M 的距离叫做点 M 的极径极径 记OM 为 以极轴 x 为始边 射线 OM 为终边的 XOM 叫做点 M 的极角极角 记为 有序数对 叫做点点 M 的极坐标的极坐标 记为 M 极坐标与表示同一个 Zk 2k 2 点 极点 O 的坐标为 R 0 3 极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标的互化 4 圆的极坐标方程 圆的极坐标方程 在极坐标系中 以极点为圆心 r 为半径的圆的极坐标方程是 r 在极坐标系中 以 a 0 为圆心 a 为半径的圆的极坐标方程是 0 a C 2acos 在极坐标系中 以 a 0 为圆心 a 为半径的圆的极坐标方程是 2 a C 2asin 5 参数方程的概念 参数方程的概念 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标 x y 都是某个变数 t 的函数 并且对于 t 的每一个允许值 由这个方程所确定的点 M x y 都在这条曲 t gy t fx 线上 那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程参数方程 联系变数 x y 的变数 t 叫做参变数参变数 简 称参数参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程普通方程 6 圆的参数方程可表示为 222 r by ax rsinby rcosax 为参数 椭圆 a b 0 的参数方程可表示为 1 b y a x 2 2 2 2 bsiny acosx 为参数 抛物线的参数方程可表示为 2pxy2 t 2pty 2ptx 2 为参数 经过点 倾斜角为的直线 l 的参数方程可表示为 t 为参 y x M ooO tsinyy tcosxx o o 数 0 x x y tan siny cosx yx 222 3 典型例题典型例题 题型一 极坐标与直角坐标的互化和应用题型一 极坐标与直角坐标的互化和应用 例例 1 1 1 点 M 的极坐标化为直角坐标为 B 3 2 5 A B C D 2 35 2 5 2 35 2 5 2 35 2 5 2 35 2 5 2 点 M 的直角坐标为化为极坐标为 B 1 3 A B C D 6 5 2 6 7 2 6 11 2 6 2 评注 极坐标和直角坐标的互化 注意角度的范围 变式变式 1 1 点的极坐标为 22 2 在极坐标系中 圆心在 半径为 1 的圆的极坐标方程是 4 A 1 评注 评注 注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系 例例 2 1 曲线的极坐标方程化 成直角坐标方程为 sin4 A x2 y 2 2 4 B x2 y 2 2 4 C x 2 2 y2 4 D x 2 2 y2 4 解析解析 将 sin 代入 4sin 得 x2 y2 4y 22 yx 22 yx y 即 x2 y 2 2 4 应选 B 2 O1和 O2的极坐标方程分别为 4cos 4sin 把 O1和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程 求经过 O1 O2交点的直线的直角坐标方程 4 解析解析 以极点为原点 极轴为 x 轴正半轴 建立平面直角坐标系 两坐标系中取相同的 长度单位 1 x cos y sin 由 4cos 得 2 4 cos 所以 x2 y2 4x 即 x2 y2 4x 0 为 O1的直角坐标方程 同理 x2 y2 4y 0 为 O2的直角坐标方程 2 由解得或 即 O1 O2交于点 0 0 和 2 2 04 04 22 22 yyx xyx 0 0 1 1 y x 2 2 2 2 y x 过交点的直线的直角坐标方程为 y x 变式变式 1 1 极坐标 cos 表示的曲线是 4 A 双曲线 B 椭圆C 抛物线 D 圆 解析解析 原极坐标方程化为 cos sin cos sin 2 1 2 2 普通方程为 x2 y2 x y 表示圆 应选 D 2 变式变式 2 在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为 4sin A B cos2 sin2 C D 4sin 3 4sin 3 解析解析 A 的普通方程为 的普通方程为 4sin 22 2 4xy cos2 2x 圆与直线显然相切 22 2 4xy 2x 例例 3 3 在极坐标系中 已知两点 P 5 Q 求线段 PQ 的长度 4 5 4 1 变式变式 1 1 在极坐标系中 直线 sin 4 2 被圆 4 截得的弦长为 5 变变式式2 2 在极坐标系中 点 1 0到直线 cossin2 的距离为 例例 4 4 极坐标方程分别为 cos2 和 sin 的两个圆的圆心距为 变式变式 1 1 把极坐标方程cos 1 6 化为直角坐标方程是 变式变式 2 2 在极坐标系中 圆心在 2 且过极点的圆的方程为 变式变式 3 3 在极坐标系中 若过点 0 3 A且与极轴垂直的直线交曲线 cos4 于 A B 两 点 则 AB 题型二 参数方程的互化和应用题型二 参数方程的互化和应用 例例 1 1 若直线 1 2 23 xt yt t 为参数 与直线41xky 垂直 则常数k 变式变式 1 1 设直线 1 l的参数方程为 1 1 3 xt yt t 为参数 直线 2 l的方程为 y 3x 4 则 1 l与 2 l的距离为 变式变式 2 2 已知直线 1 1 3 24 xt lt yt 为参数与直线 2 2 45lxy 相交于点B 又点 1 2 A 则AB 6 变式变式 3 3 直线 1 2 2 1 1 2 xt t yt 为参数被圆 22 4xy 截得的弦长为 例例 2 2 经过曲线 C 为参数 的中心作直线 l t 为参数 的垂 sin3 cos33 y x ty tx 3 3 线 求中心到垂足的距离 解析解析 由曲线 C 的参数方程消去参数 sin3 cos33 y x 得 x 3 2 y2 9 曲线 C 表示以 3 0 为圆心 3 为半径的圆 由直线 l 的参数方程 消去参数 t 得 y x ty tx 3 3 3 3 表示经过原点 倾斜角为 30 的直线 如图 在直角三角形 OCD 中 OC 3 COD 30 所以 CD 所以中心到垂足的距离为 2 3 2 3 变式变式 1 1 将参数方程 2 2 2sin sin x y 为参数化为普通方程为 A 2yx B 2yx C 2 23 yxx D 2 01 yxy 变式变式 2 2 下列在曲线 sin2 cossin x y 为参数上的点是 A 1 2 2 B 3 1 4 2 C 2 3 D 1 3 变式变式 3 3 P是曲线 sincos 1 sin2 x y 2 0 是参数 上一点 P到点 2 0 Q距离 的最小值是 7 选讲 选讲 变式变式 4 4 已知点 P x y 在曲线 为参数 上 则的取值范围 sin cos2 y x x y 为 例例 4 4 参数方程 2 tt tt xee t yee 为参数的普通方程为 变式变式 1 1 参数方程 t 为参数 的普通方程为 t t y t tx 1 1 解析解析 由 2 2得 x2 y2 4 方程表示双曲线 t t y t tx 1 1 题型三 参数方程与圆锥曲线题型三 参数方程与圆锥曲线 例例 1 1 参数方程 为参数 的普通方程为 cos5 sin4 y x 解析解析 得 2 2 得 1 表示椭圆 cos5 sin4 y x 5 cos 4 sin y x 2516 22 yx 例例 2 2 选讲 在平面直角坐标系 xOy 中 设 P x y 是椭圆 y2 1 上的一个动点 求 3 2 x S x y 的最大值 解析解析 由椭圆 y2 1 的参数方程为 为参数 3 2 x sin cos3 y x 可设动点 P 的坐标为 cos sin 其中 0 2 3 因此 S x y cos sin 2 2sin 3 sin 2 1 cos 2 3 3 所以当 时 S 取得最大值 2 6 8 变式变式 1 1 已知 2x2 3y2 6x 0 x y R 则 x2 y2的最大值为 解析解析 9 题型四 题型四 综合运用综合运用 例例 1 以直角坐标系的原点为极点 x轴的正半轴为极轴 并在两种坐标系中 取相同的长度单位 已知直线的极坐标方程为 4 R 它与曲线 12cos 22sin x y 为参数 相交于两点 A 和 B 则 AB 例例 2 在直角坐标系中 曲线 1 C的参数方程为 0 sin cos y x 以x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系 曲线 2 C在极坐标系中的方程为 cossin b 若曲线 1 C与 2 C有两个 不同的交点 则实数b的取值范围是 例例 3 在极坐标系下 已知圆 O cossin 和直线 2 sin 42 l 1 求圆 O 和直线l的直角坐标方程 2 当 0 时 求直线l与圆 O 公共点的一个极坐标 例例 4 已知曲线 C1 4cos 3sin xt yt t 为参数 C2 8cos 3sin x y 为参数 1 化 C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若 C1上的点 P 对应的参数为 2 t Q 为 C2上的动点 求PQ中点M到直线 9 3 32 2 xt C yt t 为参数 距离的最小值 巩固练习巩固练习 1 直线 3x 4y 9 0 与圆 为参数 的位置关系是 sin2 cos2 y x A 相切 B 相离 C 直线过圆心 D 相交但直线不过圆心 2 曲线的参数方程为 t 是参数 则曲线是 1 23 2 2 ty tx A 线段 B 双曲线的一支 C 圆 D 射线 3 点的极坐标为 22 4 已知直线 经过点 P 1 1 倾斜角 直线 的参数方程为 l 6 l 5 极坐标系中 圆 10cos的圆心坐标为 3 6 点 P 的直角坐标为 1 则点 P 的极坐标为 3 7 若 A B 则 AB 其中 O 是极点 3 3 6 4 S AOB 8 极点到直线的距离是 cossin3 10 9 2011 广东文 已知两曲线参数方程分别为 0 和 t sin cos5 y x ty tx 2 4 5 它们的交点坐标为 R 10 09 广东 若直线 2 21 1 kty tx l t为参数 与直线 2 1 2 xs l ys s为参数 垂直 则k 11 09 福建 直线 3x 4y 9 0 与圆 为参数 的位置关系是 sin2 cos2 y x 12 09 江苏 直线上与点距离等于的点的坐标是 为参数t ty tx 23 22 32 P 2 13 求椭圆 1 49 22 yx 之间距离的最小值 与定点 上一点01P 课后练习课后练习 1 已知曲线 C 的参数方程为 1 1 3 xt t yt t t为参数 0t 求曲线 C 的普通方程 11 2 2 已知曲线 12 CC 的极坐标方 程分别为cos3 4cos0 0 2 则曲线 1 C与 2 C交点的极坐标为 3 已知直线l的参数方程 ty tx 41 2 t为参数 圆 C 的极坐标方程 4 sin22 试判断直线l与圆 C 的位置关系 4 求曲线 2cos sin y x 过点 2 0 的切线方程为 5 在极坐标系中 设圆3 上的点到直线 cos3sin2 的距离为d最大值为 6 6 若两条曲线的极坐标方程分别为1 与 3 cos2 它们相交于BA 两点 求线 段AB的长 7 求直线 1 1 53 xt lt yt 为参数和直线 2 2 30lxy 的交点P的坐标 及点 12 P与 1 5 Q 的距离 拓展练习拓展练习 1 2009 厦门英才学校 厦门英才学校 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 求极坐标系中 圆2 上的点到直线 6sin3cos 的距离的最小值 2 2 20092009 通州第四次调研 通州第四次调研 求经过极点 9 0 0 6 6 2 24 OAB 三点的圆的极坐标方 程 3 2009 厦门十中 厦门十中 极坐标与参数方程极坐标与参数方程 已