复件专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题(中考压轴解析)

专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题 第 1 页 共 4 页 专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题例题 1 已知抛物线的顶点为 已知抛物线的顶点为 A 2 1 且经过原点 且经过原点 O 与 与 x 轴的另一个交点为轴的另一个交点为 B 求抛物线的解析式 用顶点式求得抛物线的解析式为 求抛物线的解析式 用顶点式求得抛物线的解析式为 若点若点 C 在抛物线的对称轴上 点在抛物线的对称轴上 点 D 在抛物线上 且以在抛物线上 且以 O C D B 四点为顶点的四边形为平行四边形 四点为顶点的四边形为平行四边形 求求 D 点的坐标 点的坐标 连接连接 OA AB 如图 如图 2 在 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点轴下方的抛物线上是否存在点 P 使得 使得 OBP 与与 OAB 相似 若存在 求相似 若存在 求 出出 P 点的坐标 若不存在 说明理由 点的坐标 若不存在 说明理由 分析 1 当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O C D B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论 按 OB 为边和对角线两种情况 例题例题 1 解 由题意可设抛物线的解析式为 1 2x ay 2 抛物线过原点 1 20 a0 2 4 1 a 抛物线的解析式为 1 2x 4 1 y 2 即 xx 4 1 y 2 如图 1 当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时 CDOB 由 1 2x 4 1 0 2 得 4x 0 x 21 B 4 0 OB 4 D 点的横坐标为 6 将 x 6 代入 1 2x 4 1 y 2 得 y 3 D 6 3 根据抛物线的对称性可知 在对称轴的左侧抛物线上存在点 D 使得四边形 ODCB 是平行四边形 此时 D 点 的坐标为 2 3 当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形时 D 点即为 A 点 此时 D 点的坐标 为 2 1 如图 2 由抛物线的对称性可知 AO AB AOB ABO 若 BOP 与 AOB 相似 必 须有 POB BOA BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于 A 点 显然 A 2 1 直线 OP 的解析式为 x 2 1 y 由 xx 4 1 x 2 1 2 得 6x 0 x 21 P 6 3 过 P 作 PE x 轴 在 Rt BEP 中 BE 2 PE 3 PB 13 4 PB OB BOP BPO PBO 与 BAO 不相似 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也 不存在符合条件的 P 点 所以在该抛物线上不存在点 P 使得 BOP 与 AOB 相似 例例 2 如图所示 已知抛物线如图所示 已知抛物线 2 1yx 与与x轴交于轴交于 A B 两点 与两点 与 y 轴交于点轴交于点 C 1 求 求 A B C 三点三点 的坐标 的坐标 2 过点 过点 A 作作 AP CB 交抛物线于点交抛物线于点 P 求四边形 求四边形 ACBP 的面积 的面积 图 1 O A B y x O A B y x 图 2 E A O A B P y x 图 2 C O A B D y x 图 1 专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题 第 2 页 共 4 页 3 在 在x轴上方的抛物线上是否存在一点轴上方的抛物线上是否存在一点 M 过 过 M 作作 MG x轴于点 轴于点 G 使以 使以 A M G 三点为顶点三点为顶点 的三角形与的三角形与 PCA 相似 若存在 请求出相似 若存在 请求出 M 点的坐标 否则 请说明理由 点的坐标 否则 请说明理由 解 1 令 0y 得 2 10 x 解得 1x 令 0 x 得 1y A 1 0 B 1 0 C 0 1 2 OA OB OC 1 BAC ACO BCO 45 AP CB PAB 45 过点 P 作 PE x轴于 E 则 APE 为等腰直角三角形 令 OE a 则 PE 1a P 1 a a 点 P 在抛物线 2 1yx 上 2 11aa 解得 1 2a 2 1a 不合题意 舍去 PE 3 四边形 ACBP 的面积S 1 2AB OC 1 2AB PE 11 2 12 34 22 3 假设存在 PAB BAC 45 PA AC MG x轴于点 G MGA PAC 90 在 Rt AOC 中 OA OC 1 AC 2 在 Rt PAE 中 AE PE 3 AP 3 2 设 M 点的横坐标为m 则 M 2 1 m m 点 M 在 y 轴左侧时 则 1m 当 AMG PCA 时 有 AG PA MG CA AG 1m MG 2 1m 即 2 11 3 22 mm 解得 1 1m 舍去 2 2 3 m 舍去 当 MAG PCA 时有 AG CA MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得 1m 舍去 2 2m M 2 3 点 M 在 y 轴右侧时 则 1m 当 AMG PCA 时有 AG PA MG CA G M 图 3 C B y P Ao x G M 图 2 C B y P Ao x 专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题 第 3 页 共 4 页 AG 1m MG 2 1m 2 11 3 22 mm 解得 1 1m 舍去 2 4 3 m M 4 7 3 9 当 MAG PCA 时有 AG CA MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得 1 1m 舍去 2 4m M 4 15 存在点 M 使以 A M G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 M 点的坐标为 2 3 4 7 3 9 4 15 例例 3 如图 抛物线经过 如图 抛物线经过三点 三点 1 求出抛物线的解析式 求出抛物线的解析式 4 0 10 02 ABC 2 P 是抛物线上一动点 过是抛物线上一动点 过 P 作作轴 垂足为轴 垂足为 M 是否存在 是否存在 P 点 使得以点 使得以 A P M 为顶点为顶点PMx 的三角形与的三角形与相似 若存在 请求出符合条件的点相似 若存在 请求出符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 的坐标 若不存在 请说明理由 OAC 3 在直线 在直线 AC 上方的抛物线上有一点上方的抛物线上有一点 D 使得 使得的的DCA 面积最大 求出点面积最大 求出点 D 的坐标的坐标 解 1 该抛物线过点 可设该抛物线的解析 02 C 式为 2 2yaxbx 将 代入 4 0 A 1 0 B 得解得 16420 20 ab ab 1 2 5 2 a b 此抛物线的解析式为 3 分 2 15 2 22 yxx 2 存在 4 分 如图 设点的横坐标为 Pm 则点的纵坐标为 P 2 15 2 22 mm O x y A B C 4 1 2 O x y A B C 4 1 2 D P M E 专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题 第 4 页 共 4 页 当时 14m 4AMm 2 15 2 22 PMmm 又 90COAPMA 当时 2 1 AMAO PMOC APMACO 即 2 15 422 22 mmm 解得 舍去 6 分 12 24mm 21 P 当时 即 1 2 AMOC PMOA APMCAO 2 15 2 4 2 22 mmm 解得 均不合题意 舍去 1 4m 2 5m 当时 7 分 14m 2 1 P 类似地可求出当时 8 分 4m 52 P 当时 1m 314 P 综上所述 符合条件的点为或或 9 分 P 2 1 52 314 3 如图 设点的横坐标为 则点的纵坐标为 D 04 tt