【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第一章6.1 垂直关系的判定目标导学 北师大版必修2

1 6 6 垂直关系垂直关系 6 16 1 垂直关系的判定垂直关系的判定 问题导学问题导学 1 线面垂直的判定 活动与探究 1 如图 在三棱锥P ABC中 PA 平面ABC ABC 90 在平面PAB中 作AH PB 1 求证 BC 平面PAB 2 求证 AH 平面PBC 迁移与应用 1 已知四棱锥P ABCD的底面是菱形 且 ABC 60 PA PC 2 PB PD 若O 是AC与BD的交点 求证 PO 平面ABCD 2 在空间四边形ABCD中 若AB AC DB DC 求证 BC AD 1 利用直线和平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤 1 在这个平面内找两条直线 证明它和这条直线垂直 2 说明这个平面内的两条直线是相交的直线 3 根据判定定理得出结论 2 利用直线和平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧 证明线面垂直的关键是分析几何图形 寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系 进而证明线面垂直 三角形全等 等腰三角形底边的中线 梯形的高 菱形 正方形的对 角线 三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法 3 证明线面垂直时 需要先证线线垂直 而线线垂直关系的获得往往是先证得线面垂 直 从而根据线面垂直的定义得出线线垂直 因此证明过程通常是反复利用线面垂直的定 义及线面垂直判定定理的过程 2 面面垂直的判定 活动与探究 2 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 M是棱CC1的中点 求证 平面ABM 平面A1B1M 2 迁移与应用 1 在空间四边形ABCD中 若AD BC BD AD 那么有 A 平面ABC 平面ADC B 平面ABC 平面ADB C 平面ABC 平面DBC D 平面ADC 平面DBC 2 如图 在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中 AD BC ABC 90 PA 平面 ABCD AC BD E AD 2 AB 2 BC 6 求证 平面PBD 平面PAC 3 1 利用面面垂直的判定定理证明面面垂直 关键是先证线面垂直 再证线在另一个平 面内 最终得到面面垂直 具体方法是 线线垂直 线面垂直 线面垂直的判定定理 面面垂直 面面垂直的判定定理 2 利用判定定理证两平面垂直时 一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线 若 这样的垂线图形中不存在 则可通过作辅助线来解决 而作辅助线则应有理论根据并且要 有利于证明 3 简单的二面角问题 活动与探究 3 已知ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体 求二面角C1 BD C的正切值 迁移与应用 在正方体ABCD A1B1C1D1中 二面角A1 BC D的大小等于 1 二面角的平面角 求二面角的关键是作出二面角的平面角 作二面角的平面角的常用方法有 1 定义法 在二面角的棱上找一个特殊点 过这个点在两个半平面内分别作垂直于棱 的射线 如图 AOB为二面角 a 的平面角 3 2 垂面法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这 两条交线所成的角即为二面角的平面角 如图 AOB为二面角 l 的平面角 2 求二面角的步骤是 1 作 找或作出二面角的平面角 2 证 证明所找的角就是 所求的角 3 求 在三角形中计算所求角的大小 当堂检测当堂检测 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 与AD1垂直的平面是 A 平面DD1C1C B 平面A1DB1 C 平面A1B1C1D1 D 平面A1DB 2 在三棱锥P ABC中 PA 平面ABC 又AB AC 则互相垂直的面有 A 两对 B 三对 C 四对 D 五对 3 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 四边形ABCD是正方形 且PA AB 那么二 面角P CD A的大小为 第 2 题图 第 3 题图 4 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD 点E在线段AD上 且 CE AB 求证 CE 平面PAD 5 如图 四边形ABCD是菱形 PC 平面ABCD E是PA的中点 求证 平面BDE 平 面ABCD 4 提示 用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部 分和基本技能的要领部分写下来并进行识记 答案 答案 课前预习导学课前预习导学 预习导引 1 1 任何 垂直 2 相交 a b a b A l a l b 预习交流预习交流 1 提示 当直线l与 内的两条平行直线都垂直时 l不一定与 垂直 也可能l与 相交 甚至还有可能l 如果l与 内的无数条直线都垂直 同样也不 能推出l 2 1 一条直线 2 两个半平面所组成的 二面角的棱 二面角的面 3 AB 4 作垂直于棱 5 直角 预习交流预习交流 2 提示 不会改变 由等角定理可以保证平面角大小的确定性 1 1 直二面角 2 经过 垂线 预习交流预习交流 3 提示 证明面面垂直的关键是证明线面垂直 即要证明其中的一个平面 经过另一个平面的一条垂线 预习交流预习交流 4 提示 凡经过平面的垂线的平面都与已知平面垂直 而经过平面垂线的 平面有无数个 故一个平面的垂面有无数个 课堂合作探究课堂合作探究 问题导学 活动与探究活动与探究 1 思路分析 证线面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直 线垂直 而证线线垂直时 可根据线面垂直的定义 证明 1 由于PA 平面ABC BC平面ABC PA BC 又 ABC 90 BC AB 而AB PA A BC 平面PAB 2 由于AH平面PAB 由 1 知BC AH 又 AH PB 且PB BC B AH 平面PBC 迁移与应用迁移与应用 1 证明 PA PC PD PB 且O是AC和BD的中点 PO AC PO BD 又AC BD O PO 平面ABCD 2 证明 取BC的中点M 连接AM MD 由于AB AC DB DC AM BC DM BC 又AM MD M BC 平面AMD 而AD平面AMD BC AD 活动与探究活动与探究 2 思路分析 要证明面ABM 面A1B1M 只需证明BM 平面A1B1M即可 从而只须证明BM A1B1 BM B1M 证明 A1B1 平面BCC1B1 BM平面BCC1B1 A1B1 BM 5 又B1M B1C2 1 C1M22 BM BC2 CM22 B1M2 BM2 BB 2 1 B1M BM 又 A1B1 B1M B1 BM 平面A1B1M 而BM平面ABM 平面ABM 平面A1B1M 迁移与应用迁移与应用 1 D 解析 解析 如图 AD BC AD BD AD 平面BDC 又AD平面ADC 平面ADC 平面DBC 2 证明 PA 平面ABCD BD平面ABCD BD PA 又 tan ABD tan BAC AD AB 3 3 BC AB3 ABD 30 BAC 60 AEB 90 即BD AC 又PA AC A BD 平面PAC BD平面PBD 平面PBD 平面PAC 活动与探究活动与探究 3 思路分析 要求二面角的大小 应先作出其平面角 然后再在三角形 中计算其正切值 解 解 如图 连接AC 与BD相交于点O 由于ABCD是正方形 AC BD 即OC BD 又 C1B C1D 且O是BD的中点 C1O BD 因此 C1OC就是二面角C1 BD C的平面角 在直角三角形C1CO中 tan C1OC C1C OC 而C1C a OC a 2 2 tan C1OC 2 迁移与应用迁移与应用 45 解析 解析 如图 由于BC 平面A1ABB1 6 BC A1B 又AB BC A1BA就是二面角A1 BC D的平面角 而 A1BA 45 二面角的 大小等于 45 当堂检测 1 B 2 B 3 45 4 证明 因为PA 平面ABC