【精品解析】北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（4）数列

用心 爱心 专心1 精品解析 北京市精品解析 北京市 20122012 年高考数学最新联考试题分类大汇编 年高考数学最新联考试题分类大汇编 4 4 数列试题解析数列试题解析 一 选择题 一 选择题 2 20122012 年年 4 4 月北京市海淀区高三一模理科 月北京市海淀区高三一模理科 在等比数列中 n a 则 1435 8aaa a 7 a A B C D 1 16 1 8 1 4 1 2 答案 B 答案 B 7 北京市西城区北京市西城区 20122012 年年 4 4 月高三第一次模拟文月高三第一次模拟文 设等比数列 n a的前n项和为 n S 则 1 0a 是 32 SS 的 C A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 C 7 7 2012 2012 年年 3 3 月北京市丰台区高三一模月北京市丰台区高三一模文科文科 设为等比数列的前项和 若 n S n an a1 1 且 成等差数列 则数列的前 5 项和为 2 2a 3 S 4 2a 2 n a A 341 B 3 1000 C 1023 D 1024 答案答案 A A 二 填空题 二 填空题 用心 爱心 专心2 12 北京市东城区北京市东城区 20122012 年年 1 1 月高三考试文科 月高三考试文科 在等差数列中 若 n a 则数列的公差等于 5768 4 2aaaa n a 其前项和的最大值为 n n S 答案 57 答案 11 21 34n 解析 1 311111 222 12 11 6 46 2 22 2 11 1 11111 44 1 1 34 1 4 nnn n n n n n aaaaaaa a aaa 8 个 三 解答题 三 解答题 16 北京市东城区北京市东城区 20122012 年年 1 1 月高三考试文科 月高三考试文科 本小题共 13 分 在等差数列中 其前项和为 等比数列的各项均为正数 n a3 1 an n S n b 公比为 且 1 1 bq12 22 Sb 2 2 b S q 求与 n a n b 用心 爱心 专心3 数列满足 求的前项和 n c n n S c 1 n cn n T 法 特征二 数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积 nnn Cab n C 一般用 错位相减法 特征三 数列的通项公式是一个分式结构 一 1 n nn C ab n C 般采用 裂项相消法 特征四 数列的通项公式是一个组合数和等差 n nnn CCa n C 数列通项公式组成 一般采用 倒序相加法 本题第二问采用裂项相消法求和 解 设的公差为 n ad 因为所以 12 2 2 22 b S q Sb q d q dq 6 126 解得 或 舍 3 q4 q3 d 故 6 分33 1 3 n ann 1 3 n n b 20 北京市西城区北京市西城区 20122012 年年 1 1 月高三期末考试理科月高三期末考试理科 本小题满分 13 分 已知数列 如果数列满足 12 nn Aa aa 12 nn Bb bb 1n ba 11kkkk baab 用心 爱心 专心4 其中 则称为的 衍生数列 2 3 kn n B n A 若数列的 衍生数列 是 求 41234 Aa a a a 4 5 2 7 2 B 4 A 若为偶数 且的 衍生数列 是 证明 的 衍生数列 是 n n A n B n B n A 若为奇数 且的 衍生数列 是 的 衍生数列 是 依次将数n n A n B n B n C 列 的第项取出 构成数列 n A n B n C 1 2 i in iiii a b c 证明 是等差数列 i 因此 猜想 4 分 1 1 i iin baaa 当时 猜想成立 1i 111 n baaa 假设时 ik k N 1 1 k kkn baaa 故当时猜想也成立 1ik 由 可知 对于任意正整数 有 7i 1 1 i iin baaa 分 设数列的 衍生数列 为 则由以上结论可知 n B n C 其中 111 1 1 1 iii iininn cbbbaaabb 1 2 3 in 用心 爱心 专心5 由于为偶数 所以 n 11 1 n nnn baaaa 所以 其中 11 1 1 ii iinni caaaaaa 1 2 3 in 因此 数列即是数列 9 分 n C n A 证法二 因为 1n ba 1212 bbaa 2323 bbaa 11nnnn bbaa 根据 衍生数列 的定义知 数列是的 衍生数列 9 分 n A n B 证法一 证明 设数列 中后者是前者的 衍生数列 欲证成等差数列 只需 n X n Y n Z i 证明成等差数列 即只要证明即可 10 iii x y z2 1 2 3 iii yxzin 分 由 中结论可知 1 1 i iin yxxx 用心 爱心 专心6 所以 即成等差数列 1 22 1 2 i iiini xzxxxy iii x y z 所以是等差数列 13 分 i 证法二 因为 11 2 3 4 iiii baabin 所以 11 2 3 4 iiii babain 由于为奇数 将上述个等式中的第这个式子都乘以 nn2 4 6 1n 1 2 n 1 相加得 11223112231 nnnnn bbbbbbbaaaaaaa 即 11 2 nnnn baaaaa 用心 爱心 专心7 20 2012 2012 年年 3 3 月北京市朝阳区高三一模文科月北京市朝阳区高三一模文科 本题满分 13 分 已知各项均为非负整数的数列 满足 001 n Aa aa n N 0 0a 若存在最小的正整数 使得 则可定义变换 变换 1n aan k 1 k ak k T 将数列变为 设 T 0 A 00111 1 1 1 0 kkn T Aaaaaa 1 ii AT A 0 1 2i 若数列 试写出数列 若数列 试写出数列 0 0 1 1 3 0 0 A 5 A 4 4 0 0 0 0 A 0 A 证明存在数列 经过有限次变换 可将数列变为数列 0 AT 0 A 0 0 0 n n 个 若 则 4 4 0 0 0 0 A 3 3 1 0 0 0 A 2 2 0 2 0 0 A 1 1 1 2 0 0 A 4 分 0 0 0 1 3 0 A 若数列满足及 则定义变换 001 n Aa aa 0 k a 0 01 i aik 1 T 用心 爱心 专心8 变换将数列变为数列 易知 1 T 0 A 1 0 TA 0111 1 1 1 kkn aaak aa 和是互逆变换 1 T T 对于数列连续实施变换 一直不能再作变换为止 得 0 0 0n 1 T 1 T 0 0 0n 1 T 1 1 0 0n 1 T 2 0 2 0 0n 1 T 3 1 2 0 0n 1 T 1 T 01 n a aa 变 或 者减少 由于数列经有限次变换 变为数列时 有 k 0 AT 0 0n 0 m S 1 2 mn 所以为整数 于是 mm Smt m t 1mmm SaS 1 1 mm amt 0 m am 所以为除以后所得的余数 即 13 分 m a m S1m 1 1 m mm S aSm m 用心 爱心 专心9 若对于正整数 表示的最大奇数因数 例如 设k g kk 3 3g 10 5g 1 2 3 4 2 n n Sggggg 求 的值 6 g 20 g 求 的值 1 S 2 S 3 S 3 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 3 1 537 122Sgggggggg 6 分 由 不难发现对 有 m N 2 gmg m 8 分 1 1 4n n S 11 分 于是 1 1 4n nn SS 2 nn N 用心 爱心 专心10 所以 112211 nnnnn SSSSSSSS 122 44442 nn 13 分 1 4 1 4 42 2 1 433 nn 2 nn N 又 满足上式 1 2S 所以对 14 分n N 1 42 3 n n S 请说明理由 即 1 1 2 22 nn nn bb 所以 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 2 n n b 1 1 2 b 所以 12 1 21 2 n n b nn 所以 21 2n n bn 用心 爱心 专心11 9 分 存在常数使得不等式恒成立 1 6 1 1 6 n n n T T nN 因为 1231 1 23 25 2 23 2 21 2 nn n Tnn 所以 2 n T 所以当 1 时 的最大值为 所以只需 n 31 221n 1 2 1 2 2 当为偶数时 n 1 6 1 6 n n T T 所以 31 221n 所以当 2 时 的最小值为 所以只需 n 31 221n 7 6 7 6 由 1 2 可知存在 使得不等式 17 26 1 6 1 1 6 n n n T T 恒成立 nN 13 分 用心 爱心 专心12 nn kkkkkk 13221 111 III 设 等差数列的任一 NN nyy