2010-2011学年高二数学“每周一练”系列试题（26）

高二数学高二数学 每周一练每周一练 系列试题 系列试题 2626 命题范围 双曲线 1 已知双曲线的渐近线方程为y x 并且焦点都在圆x2 y2 100 上 求双曲线的方 4 3 程 2 已知双曲线C y2 1 P为C上的任意点 x2 4 1 求证 点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 2 设点A的坐标为 3 0 求 PA 的最小值 3 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 2 0 实轴长为 2 3 1 求双曲线C的方程 2 若直线l y kx 与双曲线C左支交于A B两点 求k的取值范围 2 3 在 2 的条件下 线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M 0 b 求b的取值范 围 4 已知双曲线的中心在原点 焦点F1 F2在坐标轴上 离心率为 且过点 2 4 点M 3 m 在双曲线上 10 1 求双曲线方程 2 求证 1 MF 2 MF 0 3 求 F1MF2面积 5 已知双曲线 1 a 0 b 0 的离心率e 直线l过A a 0 x2 a2 y2 b2 2 3 3 B 0 b 两点 原点O到直线l的距离是 3 2 1 求双曲线的方程 2 过点B作直线m交双曲线于M N两点 若OM ON 23 求直线m的方程 参考答案 1 解 1 当焦点在x轴上时 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 由渐近线方程y x 得 4 3 b a 4 3 又焦点在圆x2 y2 100 上 知c 10 即a2 b2 100 由 解得a 6 b 8 所求双曲线方程为 1 x2 36 y2 64 2 当焦点在y轴上时 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 由Error Error 所求双曲线方程为 1 y2 64 x2 36 综上 所求双曲线方程为 1 或 1 x2 36 y2 64 y2 64 x2 36 2 解 1 证明 设P x1 y1 是双曲线上任意一点 该双曲线的两条渐近线方程分别是x 2y 0 和x 2y 0 点P x1 y1 到两条渐近线的距离分别是 和 x1 2y1 5 x1 2y1 5 它们的乘积是 x1 2y1 5 x1 2y1 5 x12 4y12 5 4 5 故点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 2 设点P的坐标为 x y 则 PA 2 x 3 2 y2 x 3 2 1 x2 4 x 2 5 4 12 5 4 5 x 2 当x 时 PA 2取得最小值 最小值为 即 PA 的最小值为 12 5 4 5 2 5 5 3 解 1 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 由已知得 a c 2 再由a2 b2 c2 b2 1 3 双曲线方程为 y2 1 x2 3 2 设A xA yA B xB yB 将y kx 代入 y2 1 2 x2 3 得 1 3k2 x2 6kx 9 0 2 由题意知Error 解得 k 1 3 3 当 k 1 时 l与双曲线左支有两个交点 3 3 3 由 2 得 xA xB 6 2k 1 3k2 yA yB kxA kxB 22 k xA xB 2 2 2 2 1 3k2 AB的中点P的坐标为 3 2k 1 3k2 2 1 3k2 设直线l0的方程为 y x b 1 k 将P点坐标代入直线l0的方程 得b 4 2 1 3k2 k 1 2 1 3k2 0 3 3 b 2 2 b的取值范围为 2 2 4 解 1 e 可设双曲线方程为x2 y2 2 过点 4 16 10 即 6 10 双曲线方程为x2 y2 6 2 证明 法一 由 1 可知 双曲线中a b 6 c 2 3 F1 2 0 F2 2 0 33 kMF1 kMF2 m 3 2 3 m 3 2 3 kMF1 kMF2 m2 9 12 m2 3 点 3 m 在双曲线上 9 m2 6 m2 3 故kMF1 kMF2 1 MF1 MF2 1 MF 2 MF 0 法二 1 MF 3 2 m 2 MF 2 3 m 33 1 MF 2 MF 3 2 3 2 m2 33 3 m2 M点在双曲线上 9 m2 6 即m2 3 0 1 MF 2 MF 0 3 F1MF2的底 F1F2 4 由 2 知m 33 F1MF2的高h m S F1MF2 6 3 5 解 1 依题意 l方程 1 即bx ay ab 0 由原点O到l的距离为 得 x a y b 3 2 ab a2 b2 ab c 3 2 又e c a 2 3 3 b 1 a 3 故所求双曲线方程为 y2 1 x2 3 2 显然直线m不与x轴垂直 设m方程为y kx 1 则点M N坐标 x1 y1 x2 y2 是方程组Error 的解 消去y 得 1 3k2 x2 6kx 6 0 依题意 1 3k2 0 由根与系数关系 知x1 x2 x1x2 6k 3k2 1 6 3k2 1 OM ON x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 x1x2 kx1 1 kx2 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 1