2010-2011学年高中数学 立体几何中的向量方法 利用向量方法求距离同步精品学案 （三） 新人教A版选修2

3 2 3 2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 三三 利用向量方法求距离利用向量方法求距离 知识点一知识点一 求两点间的距离求两点间的距离 已知矩形 ABCD 中 AB 4 AD 3 沿对角线 AC 折叠 使面 ABC 与面 ADC 垂直 求 BD 间的距离 解 方法一 过 D 和 B 分别作 DE AC 于 E BF AC 于 F 则由已知条件可知 AC 5 DE BF 3 4 5 12 5 3 4 5 12 5 AE CF AD2 AC 9 5 EF 5 2 9 5 7 5 DB DE EF FB 2 2 2 2 2 2 2 2 DB DE B1E FB DE EF FB DE EF DE FB EF FB 面 ADC 面 ABC 而 DE AC DE 面 ABC DE BF DE FB 2 2 2 2 DB DE B1E FB 144 25 49 25 144 25 337 25 DB 337 5 故 B D 间距离是 337 5 方法二 同方法一 过 E 作 FB 的平行线 EP 以 E 为坐标原点 以 EP EC ED 所在直线分 别为 x y z 轴建立空间直角坐标系如图 则由方法一知 DE FB 12 5 EF D B 7 5 0 0 12 5 12 5 7 5 0 BD 12 5 7 5 12 5 BD 12 5 2 7 5 2 12 5 2 337 5 反思感悟 求两点间的距离或某线段的长度的方法 1 把此线段用向量表示 然后用 a 2 a a 通过向量运算去求 a 2 建立空间 坐标系 利用空间两点间的距离公式 d 求 x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2 解 如图所示 正方形 ABCD ABEF 的边长都是 1 而且平面 ABCD 平面 ABEF 点 M 在 AC 上移动 点 N 在 BF 上移动 若 CM BN a 0 a 2 1 求 MN 的长 2 当 a 为何值时 MN 的长最小 解 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A 1 0 0 F 1 1 0 C 0 0 1 CM BN a 0 a 2 且四边形 ABCD ABEF 为正方形 M a 0 1 a N a a 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a a 1 MN 2 2 2 2 MN a2 2a 1 2 由 1 知 MN a 2 2 2 1 2 所以 当 a 时 MN 2 2 2 2 即 M N 分别移到 AC BF 的中点时 MN 的长最小 最小值为 2 2 知识点二知识点二 求异面直线间的距离求异面直线间的距离 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 侧面 BB1C1C E 为棱 CC1上 异于 C C1的一点 EA EB1 已知 AB BB1 2 BC 1 BCC1 求异面直线 2 3 AB 与 EB1的距离 解 以 B 为原点 所在直线分别为 y z 轴 如图建立空间直角坐标系 BA BA 由于 BC 1 BB1 2 AB BCC1 2 3 在三棱柱 ABC A1B1C1中有 B 0 0 0 A 0 0 B1 0 2 0 2 设 E 由 EA EB1 得 0 3 0 2 aEA 1EB 即 0 3 2 a 2 3 2 2 a 0 得 0 即 a 或 a 舍去 a 1 2 a 3 2 1 2 3 2 故 E 3 2 1 2 0 设 n 为异面直线 AB 与 EB1公垂线的方向向量 由题意可设 n x y 0 则有 n 0 1EB 易得 n 1 0 3 两异面直线的距离 d BE n n 1 3 2 1 2 0 3 1 0 3 1 反思感悟 求异面直线的距离 一般不要求作公垂线 若公垂线存在 则直接求解即可 若不存在 可利用两异面直线的法向量求解 如图所示 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 4 AD 3 AA1 2 M N 分别为 DC BB1的中点 求异面直线 MN 与 A1B 的距离 解 以 A 为原点 AD AB AA1所在直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐标系 则 A1 0 0 2 B 0 4 0 M 3 2 0 N 0 4 1 3 2 1 0 4 2 MN 1A B 设 MN A1B 公垂线的方向向量为 n x y z 则 即Error 1 0 0 n MN n A B 令 y 1 则 z 2 x 4 3 即 n n 4 3 1 2 61 3 3 2 2 在 n 上的射影的长度为1MA d 1MA n n 故异面直线 MN 与 A1B 的距离为 6 61 61 知识点三知识点三 求点到平面的距离求点到平面的距离 在三棱锥 B ACD 中 平面 ABD 平面 ACD 若棱长 AC CD AD AB 1 且 BAD 30 求点 D 到平面 ABC 的距离 解 如图所示 以 AD 的中点 O 为原点 以 OD OC 所在直线为 x 轴 y 轴 过 O 作 OM 面 ACD 交 AB 于 M 以直线 OM 为 z 轴建立空间直角坐标系 则 A B 1 2 0 0 3 1 2 0 1 2 C D 0 3 2 0 1 2 0 0 AC 1 2 3 2 0 AB 3 2 0 1 2 DC 1 2 3 2 0 设 n x y z 为平面 ABC 的一个法向量 则 31 0 22 13 0 22 ABxz ACxy n n y x z x 可取 n 1 3 3 333 代入 d 得 d DC n n 3 2 3 2 13 39 13 即点 D 到平面 ABC 的距离是 39 13 反思感悟 利用向量法求点面距 只需求出平面的一个法向量和该点 与平面内任一点连线表示的向量 代入公式求解即可 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4 M N E F 分别为 A1D1 A1B1 C1D1 B1C1的中点 求平面 AMN 平面与 EFBD 间的距离 解 如图所示 建立空间直角坐标系 D xyz 则 A 4 0 0 M 2 0 4 D 0 0 0 B 4 4 0 E 0 2 4 F 2 4 4 N 4 2 4 从而 2 2 0 2 2 0 EF MN 2 0 4 2 0 4 AM BF EF MN AM BF EF MN AM BF 平面 AMN 平面 EFBD 设 n x y z 是平面 AMN 的法向量 从而 220 240 MNxy AMxz n n 解得Error 取 z 1 得 n 2 2 1 由于在 n 上的投影为 AB n AB n 8 4 4 1 8 3 两平行平面间的距离 d n AB n 8 3 课堂小结课堂小结 1 求空间中两点 A B 的距离时 当不好建系时利用 AB AB 来求 x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2 2 两异面直线距离的求法 如图 1 n 为 l1与 l2的公垂线 AB 的方向向量 d AB CD n n 3 点 B 到平面 的距离 如图 2 所示 BO AB n n 4 面与面的距离可转化为点到面的距离 一 选择题 1 若 O 为坐标原点 1 1 2 3 2 8 OA OB 0 1 0 则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为OC A B 2 165 214 C D 53 53 2 答案 D 解析 由题意 1 t 2 3 OP OA 1 2 OA OB 3 2 1 t 2 3 PC PC OC OP OA 1 2 PC 4 1 4 9 53 2 2 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 O 是底面 A1B1C1D1的中心 则 O 到 平面 ABC1D1的距离是 A B 1 2 2 4 C D 2 2 3 2 答案 B 解析 以 D 为坐标原点 以 DA DC DD1所在直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐 标系 则有 D1 0 0 1 D 0 0 0 A 1 0 0 B 1 1 0 A1 1 0 1 C1 0 1 1 因 O 为 A1C1的中点 所以 O 1 0 1 2 1 2 1C O 1 2 1 2 设平面 ABC1D1的法向量为 n x y z 则有 10 0 n AD n AB 即 则 n 1 0 1 0 0 xz y O 到平面 ABC1D1的距离为 1C O n d n 3 在直角坐标系中 设 A 2 3 B 3 2 沿 x 轴把直角坐标平面折成 120 的二 面角后 则 A B 两点间的距离为 A 2 B 1111 C D 3 2211 答案 A 解析 ABAEEF FB 2 2 2 2 2 2 2 AB AE EF FB AE EF AE FB EF FB 9 25 4 2 3 2 44 1 2 2 AB 11 4 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点 E 是 A1B1的中点 则点 A 到直线 BE 的距离是 A B 6 5 5 4 5 5 C D 2 5 5 5 5 答案 B 解析 如图所示 2 0 0 BA 1 0 2 BE cos BA BE BA BE 2 2 5 5 5 sin 1 cos2 2 5 5 A 到直线 BE 的距离 d 6 sin 2 OC 2 5 5 4 5 5 二 填空题 5 已知 A 2 3 1 B 4 1 2 C 6 3 7 D 5 4 8 则点 D 到平面 ABC 的距离为 答案 49 17 17 解析 设平面 ABC 的法向量为 n x y z 则 0 0 n AB n AC 即Error n 3 2 1 1 又 7 7 7 AD 点 D 到平面 ABC 的距离 d AD n n 49 17 17 6 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 棱长为 2 E 为 A1B1的中点 则异面直线 D1E 和 BC1间的距离是 答案 2 6 3 解析 如图所示建立空间直角坐标系 设 n n 为异面直线 D1E 与 BC1 公垂线的方向向量 并设 n n x y z 则有 1 1 0 0 n BC n D E 易求得 n n 1 2 1 d 11D C n n 0 2 0 1 2 1 1 4 1 4 6 2 6 3 7 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 A 到平面 A1BD 的距离为 答案 a 3 3 解析 以 D 为空间直角坐标原点 以 DA DC DD1所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立坐标系 则 D 0 0 0 A a 0 0 B a a 0 A1 a 0 a 设 n x y z 为平面 A1BD 的法向量 则有 10 0 n DA n DB 即Error Error 令 x 1 n 1 1 1 点 A 到平面 A1BD 的距离 d a DA n n a 3 3 3 三 解答题 8 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的 其中 AB 4 BC 2 CC1 3 BE 1 1 求 BF 的长 2 求点 C 到平面 AEC1F 的距离 解 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则 D 0 0 0 B 2 4 0 A 2 0 0 C 0 4 0 E 2 4 1 C1 0 4 3 设 F 0 0 z 四边形 AEC1F 为平行四边形 由1AFEC 得 2 0 z 2 0 2 z 2 F 0 0 2 2 4 2 BF 于是 BF 2 6 2 设 n1为平面 AEC1F 的一个法向量 显然 n1不垂直于平面 ADF 故可设 n1 x y 1 由 0 0 n AE n AF 得 0410 2020 xy xy 即 410 220 y x 1 1 4 x y n n1 1 1 1 4 又 0 0 3 设 与n n1的夹角为 则 1CC 1CC cos 11 11 CC n CC n 34 33 133 311 16 C 到平面 AEC1F 的距离为 d cos 3 1CC 4 33 33 4 33 11 9 已知 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面边长为 2 侧棱长为 4 E F 分别 2 为棱 AB BC 的中点 1 求证 平面 B1EF 平面 BDD1B1 2 求点 D1到平面 B1EF 的距离 1 证明 建立如右图所示的空间直角坐标系 则 D 0 0 0 B 2 2 0 E 2 0 2222 F 2 0 D1 0 0 4 22 B1 2 2 4 22 0 2 2 0 0 0 4 EF 22 DB 22 1DD 0 EF DB EF DB EF DD1 DD1 BD D EF 平面 BDD1B1 又 EF平面 B1EF 平面 B1EF 平面 BDD1B1 2 解由 1 知 11D B 2 2 2 2 0 EF 2 2 0 1B E 0 2 4 设平面 B1EF 的法向量为n n 且n n x y z 则n n n n EF 1B E 即n n x y z x y 0 EF 2 2 0 22 n n x y z 0 4 y 4z 0 1B E 22 令 x 1 则 y 1 z n 2 4 1 1 2 4 D1到平面 B1EF 的距离 11D B n d n 2 2 2 2 12 12 2 4 2 16 17 17 10 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的高为 3 底面是边长为 4 且 DAB 60 的菱形 AC BD O A1C1 B1D1 O1 E 是 O1A 的中点 1 求二面角 O1 BC D 的大小 2 求点 E 到平面 O1BC 的距离 解 1 OO1 平面 AC OO1 OA OO1 OB 又 OA OB 建立如图所示的空间直角坐标系 底面 ABCD 是边长为 4 DAB 60 的菱形 OA 2 OB 2 3 则 A 2 0 0 B 0 2 0 C 2 0 0 O1 0 0 3