函数的极值和最值及其应用

1 函数的极值和最值及其应用 函数极值的定义函数极值的定义 设函数在附近有定义 如果对附近的所有的点 都有 则是 f x 0 x 0 x 0 f xf x 0 f x 函数的一个极大值 如果附近所有的点 都有 则是函数的 f x 0 f xf x 0 f x f x 一个极小值 极大值与极小值统称为极值 极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得 极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得 若函数在点处可导 且为的极值点 则 这就是说可导函数在点取f 0 x 0 xf 0 0fx 极值的必要条件是 0 0fx 函数最值的定义函数最值的定义 设函数在区间上有定义 如果存在一点 使得不小于其他所有的 f xX 0 xX 0 f x 亦即 f x 0 f xf xxX 则称是在上的最大值 又可记为 0 f xX 0 maxf xf x 同样使得不大于其他所有的 亦即 0 f x f x o f xf xxX 则称是在上的最小值 又可记为 0 f xX 0 minf xf x 注意注意 函数在上未必一定有最大 小 值 f xX 最值和极值的联系与区别最值和极值的联系与区别 1 极值一定是函数在某个区间内的最值 2 极值未必是最值 3 如果函数的最值在某个区间内取得 那么该点一定是极值点 函数极值 最值的求解方法函数极值 最值的求解方法 1 1 降元法 降元法 求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元 而消去其他变量 化为二 元函数求解 2 例 1 已知 求函数的极值 2xy 22 2zyx 解 由题设得 代人得2yx 22 2yx 22 2 2228zxxx 2 280 x 22 222 2x 即函数的定义域为 22 2 22 2 当时 当时 2x max 2 2z 22 2x min 0z 2 2 转化法 转化法 在函数极值法不易直接求解的情况下 应注意观察题型结构 分析题设特点 把复杂的 问题转化为熟知的 易解的问题 通过其他途径求解 下面二例的解法作为参考 例 2 求函数的极小值 22 105025xxx 解 设 2 2 52525yxx 令 12 55 5zxi zxi 则 1212 5105 5yzzzzi min 5 5y 例 3 求函数的极值 1sin 2cos x y x 解 原函数化为 2cos1sinyyxx 其中21sincosyxyx 2 1sinyx tany 解得 2 211yy 4 0 3 y minmax 4 0 3 yy 3 3 换元法 换元法 换元法是把问题进行转化的一种常用方法 例 4 已知 求的极值 22 21xy 34zxy 解 2 222 21 1 12 y xyx 令 cos 2sin 2 02xy 3 则 其中 3cos2 2sin17 cosz 2 2 tan 3 cos1 minmax 17 17 17zzz 例 5 求函数的极值 2 sin3sin1yxx 分析 本例可通过辅助元把所给函数化为二次函数 sinTx 2 31yTT 即把上述极值问题转化为抛物线在范围内求最高点和最低点的问题 2 31yTT 1 1 此处不予以细致解答 4 4 判别式法 判别式法 若所给函数式 可加约束条件 如能转化为以某个变量为主元的二次方程 则可用判别 式法求函数的极值 例 6 已知满足 求的最小值 x y 22 22260 xxyyxy zxy 解 由得代人约束条件并以为主元整理得 zxy yzx x 22 44260 xzxzz 解得 1 22 1616260 xRzzz 3 2z 当且仅当时 1 式取等号 4 3 23 2 2 42 x 由的对称性知当时 x y 3 2 2 xy min 3 2z 或求函数 的最大值 123 346 2 2 xx xx y 2 7 2 y 5 5 不等式法 不等式法 例 7 已知满足 求函数 的极值 x y 22 421690 xyxy 2zxy 解 由已知式配方得 1 22 1428xy 22 14221 22xyxy 4 2 21 228xy 得解得 12 2 12216xy 721 xy minmax 7 1 zz 其实 函数极值的解题方法不少 如三角法 参数法 极坐标法 区间法等都有一定的技 巧性 解题时应认真分析 审查题目的特征 结构 挖掘隐含条件 抓住特征 发挥联想 运用 灵活多变的替代 转化 有时还需要反其常规 逆向思维 以退为进选择合理的解题方法 逐步 提高解题技能 才能做到准确简捷地解题 本文就此不做具体展示 6 6 几何法 几何法 例如 已知 求函数的最小值 920750 xy 22 22 44zxyxy 解 本题的几何意义是在直线上求一点 使得到点920750 xy QQ 的距离之和为最小 如图 4 0 4 0 设 点坐标为 直线 的方程为 由几何光学原理知 12 P P 4 0 4 0 l920750 xy 当点光源从射出后 经镜面 反射到点 这时 1 Pl 2 P 122 PQPQMP 就是所求的最小值 设点关于光线 的对称点为 于是 由 2 Pl 11 M x y min122 ZPQPQMP 解得 1 11 20 49 4915 22024 y x yx 11 202120 3737 xy min2 22 202120 410 3737 zMP 7 7 导数法 导数法 闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值 而极值 又来源于的根处的函数值 所以建议求可导函数在闭区间 a b 上的最值可分以 0fx 5 下两步步骤进行 1 求函数的导数 2 求函数在 a b 内令的的值 称之为 驻点 0fx x 3 判断驻点左右两侧的正负 以此判断函数曲线的走向 为上升 fx 0fx 为下降 左边上升 右边下降的驻点处的函数值为极大值 反之为极小值 0fx 4 如果函数驻点较多 分段讨论 并可以列表 画图表达 5 求最大值 将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较 取最大的 则为最大 值 最小值亦然 例 求函数在闭区间 2 2 上的最大值和最小值 解 先求导 42 25f xxx 数得 令即 3 44fxxx 0fx 3 440 xx 解得 计算得 123 1 0 1xxx 14 05 14 fff 比较得 213 213ff maxmin 13 4ff 双根式和或差的函数的最值问题 1 求函数的最值 3229 ttu 2 求函数的最值 单调性法 3229 ttu 3 求函数的最值 平方法 换元