几何证明题的基本结构和方法

几何证明题的基本结构和方法 几何证明题的基本结构和方法 1 正确地进行证明 先要探求证明的思路 这有三种方法 一种方法是从结论着眼 思考 要使结论成立 需要具备什么条件 这样逆推直到需要的条件已经具备 当然这种逆推的过程 中 要不断地向已知条件靠拢 这就是 执果索因 有时 这种逆推会遇到障碍 这时也可用 另一种方法思考 即从已知条件入手 思考从已知条件可以顺推出什么结论来 这样顺推直至 结论成立 这就是 由因导果 或者也可以顺推与逆推相结合 从问题的两头向中间靠拢 从 而发现问题的突破口 这也叫 两头凑 2 执果索因 的方法也就是证明的思维方法中的 综合法 由因导果 的方法也就是证明 的思维方法中的 分析法 两头凑 的方法也就是证明的思维方法中的 分析综合法 3 综合法 分析法 分析综合法 是证明的思维方法中的直接证法 注 注 今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法 反证法和同一法 这两种方法 在今后的学习中会逐步介绍给同学们 八 思维方法的训练八 思维方法的训练 例例 1 已知如图 AOC 为一直线 OB 为任一射线 OP 平分 AOB OE 平分 BOC 求证 求证 OE OP 分析 分析 1 由逆推法分析要证明 OE OP 由垂直定义只要证明 EOP 90 而 EOP 由 1 2 所组成 只要证明 1 2 90 由于 OE OP 分别是 BOC 和 AOB 的角平分线 1 BOC 2 AOB 又由于 AOC 为一直线 AOB BOC 180 那么 AOB BOC 90 即 1 2 90 2 由顺推法分析 由 AOC 为直线推出 AOB BOC 180 由 OP OE 分别为 AOB BOC 平分线推得 2 AOB 1 BOC 由 POE 1 2 AOB BOC 推得 POE 90 再推 得 OP OE 3 上述分析中 和 的两个推理是并列的 因而在证明中先写 或 没有什么关系 但 是 和 共同的结果 所以 必须在 和 的后面 证明 证明 1 2 3 POE 1 2 全量等于部分之和 AOB BOC 等量代换 180 等量代换 90 OP OE 垂直定义 整个证明过程由 3 部分推理所组成 书写证明过程要用顺推法由前向后写 例例 2 已知如图 AOC BOD 为对顶角 OE 平分 AOC OF 平分 BOD 求证 OE OF 互为反向延长线 分析 分析 1 OE OF 互为反向延长线是指 EOF 为一条直线 即证明 E O F 三点共线 证明这类问题首先要克服视觉给我们带 来的干扰 如 1 和 2 并不能看成是一对对顶角 因为缺乏构成对 顶角的必要条件 OE 与 OF 互为反向延长线 而这一点恰恰是本题 证明的目标 2 证明 E O F 三点共线通常采用 EOF 180 利用平角定义完成三点共线证明 3 为证明 EOF 180 只要证明 1 AOF 180 从已知 AOC 与 BOD 为对顶角 可推知 A O B 三点共线 即 AOF 2 180 只要证明 1 2 题设中由 AOC 和 BOD 为对顶角又可知 AOC BOD 又由 OE OF 分别为 AOC 和 BOD 平分线 正好 创设了证明 1 2 的条件 证明 证明 AOC BOD 为对顶角 已知 AOC BOD 对顶角相等 OE 平分 AOC OF 平分 BOD 已知 1 AOC 2 BOD 角平分线定义 1 2 等量之半相等 AOC BOD 为对顶角 已知