特级教师高考理数导数题型分析及解题方法总结归纳

第 1 页 共 10 页 高考理数导数题型分析及解题方法总结 一 考试内容 重点 导数的概念 导数的几何意义 几种常见函数的导数 两个函数的和 差 基本导数公式 利用导数研究函数的单调性和极值 函数的最大值和最小 值 二 热点题型分析 题型一 利用导数研究函数的极值 最值 1 32 32f xxx 在区间 1 1 上的最大值是 2 2 已知函数 2 2 xcxxxfy 处有极大值 则常数 c 6 3 函数 3 31xxy 有极小值 1 极大值 3 题型二 利用导数几何意义求切线方程 1 曲线 3 4yxx 在点 1 3 处的切线方程是 2yx 2 若曲线 xxxf 4 在 P 点处的切线平行于直线 03 yx 则 P 点的坐标为 1 0 3 若曲线 4 yx 的一条切线l与直线 480 xy 垂直 则l的方程为 4 30 xy 4 求下列直线的方程 1 曲线 1 23 xxy 在 P 1 1 处的切线 2 曲线 2 xy 过点 P 3 5 的切线 解 1 123 yk 23 1 1 1 1x 2 23 xxyxxyP 所以切线方程为 02 11 yxxy 2 显然点 P 3 5 不在曲线上 所以可设切点为 00 yxA 则 2 00 xy 又函数的导数为 xy2 所以过 00 yxA 点的切线的斜率为 0 2 0 xyk xx 又切线过 00 yxA P 3 5 点 所以有 3 5 2 0 0 0 x y x 由 联立方程组得 25 5 1 1 0 0 0 0 y x y x 即切点为 1 1 时 切线斜率为 22 01 xk 当切点为 5 25 时 切线斜率为 102 02 xk 所以所求的切线有两条 方程分 别为 2510 12 5 1025 1 21 xyxyxyxy 题型三 利用导数研究函数的单调性 极值 最值 重点 1 已知函数 1 1 23 fPxfycbxaxxxf上的点过曲线 的切线方程为 第 2 页 共 10 页 y 3x 1 若函数 2 xxf在 处有极值 求 xf 的表达式 在 的条件下 求函数 xfy 在 3 1 上的最大值 若函数 xfy 在区间 2 1 上单调递增 求实数 b 的取值范围 解 1 由 23 223 baxxxfcbxaxxxf 求导数得 过 1 1 fPxfy上点 的切线方程为 1 23 1 1 1 1 xbacbayxffy即 而过 1 3 1 1 xyfPxfy的切线方程为上 故 3 02 3 323 ca ba ca ba 即 124 0 2 2 bafxxfy故时有极值在 由 得 a 2 b 4 c 5 542 23 xxxxf 2 2 23 443 2 xxxxxf 当 0 3 2 2 0 23 xfxxfx时当时 13 2 0 1 3 2 fxfxfx 极大 时当 又 4 1 xff 在 3 1 上最大值是 13 3 y f x 在 2 1 上单调递增 又 23 2 baxxxf 由 知 2a b 0 依题意 x f 在 2 1 上恒有 x f 0 即 0 3 2 bbxx 当 6 03 1 1 6 min bbbfxf b x时 当 bbbfxf b x 0212 2 2 6 min 时 当 6 0 0 12 12 1 6 2 2 min b bb xf b 则时 综上所述 参数 b 的取值范围是 0 2 已知三次函数 32 f xxaxbxc 在 1x 和 1x 时取极值 且 2 4f 第 3 页 共 10 页 1 求函数 yf x 的表达式 2 求函数 yf x 的单调区间和极值 3 若函数 4 0 g xf xmm m 在区间 3 mn 上的值域为 4 16 试求m n应满足 的条件 解 1 2 32fxxaxb 由题意得 1 1 是 2 320 xaxb 的两个根 解得 0 3ab 再由 2 4f 可得 2c 3 32f xxx 2 2 333 1 1 fxxxx 当 1x 时 0fx 当 1x 时 0fx 当 11x 时 0fx 当 1x 时 0fx 当 1x 时 0fx 函数 f x 在区间 1 上是增函数 在区间 1 上是减函数 在区间 1 上是增函数 函数 f x 的极大值是 1 0f 极小值是 1 4f 3 函数 g x 的图象是由 f x 的图象向右平移m个单位 向上平移 4m个单位得到的 所以 函数 f x 在区间 3 nm 上的值域为 4 4 164 mm 0m 而 3 20f 4420m 即 4m 于是 函数 f x 在区间 3 4 n 上的值域为 20 0 令 0f x 得 1x 或 2x 由 f x 的单调性知 142n 即3 6n 综上所述 m n应满足的条件是 4m 且3 6n 3 设函数 f xx xa xb 1 若 f x 的图象与直线5 80 xy 相切 切点横坐标为 且 f x 在 1x 处取极值 求实数 a b 的值 2 当 b 1 时 试证明 不论 a 取何实数 函数 f x 总有两个不同的极值点 第 4 页 共 10 页 解 1 2 32 fxxab xab 由题意 2 5 1 0ff 代入上式 解之得 a 1 b 1 2 当 b 1 时 0fx 2 32 1 0 xaxa 因 0 1 4 2 aa 故方程有两个不同实根 21 x x 不妨设 21 xx 由 3 21 xxxxxf 可判断 xf 的符号如下 当 时 1 xx xf 当 时 21 xxx xf 当 时 2 xx xf 因此 1 x 是极大值点 2 x 是极小值点 当 b 1 时 不论 a 取何实数 函数 f x 总有两个不同 的极值点 题型四 利用导数研究函数的图象 1 如右图 是 f x 的导函数 xf 的图象如右图所示 则 f x 的图象只可能是 D A B C D 2 函数 14 3 1 3 xxy A x y o 4 4 2 4 4 2 2 2 x y o 4 4 2 4 4 2 2 2 x y y 4 o 4 2 4 4 2 2 2 6666 y x 4 2 o 42 2 4 3 方程 2 0 0762 23 xx B A 0 B 1 C 2 D 3 题型五 利用单调性 极值 最值情况 求参数取值范围 1 设函数 1 0 32 3 1 223 abxaaxxxf 第 5 页 共 10 页 1 求函数 xf 的单调区间 极值 2 若当 2 1 aax 时 恒有 axf 试确定 a 的取值范围 解 1 22 43fxxaxa 3 xa xa 令 0fx 得 12 3xa xa 列表如下 x a a a 3a 3a 3a fx 0 0 f x A 极小A极大A f x 在 a 3a 上单调递增 在 a 和 3a 上单调递减 xa 时 3 4 3 fxba 极小 3xa 时 fxb 极小 2 22 43fxxaxa 0 1a 对称轴 21xaa fx 在 a 1 a 2 上单调递减 22 1 4 1 321 Max faa aaa 22 min 2 4 2 344faa aaa 依题 fxa Max fa min fa 即 2 1 44 aaaa 解得 4 1 5 a 又0 1a a 的取值范围是 4 1 5 2 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 2 3与 x 1 时都取得极值 1 求 a b 的值与函 数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式 f x c2 恒成立 求 c 的取值范围 解 1 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 由 f 2 3 124 ab0 93 f 1 3 2a b 0 得 a 1 2 b 2 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 函数 f x 的单调区间如下表 x 2 3 2 3 2 3 1 1 1 第 6 页 共 10 页 f x 0 0 f x 极大值 极小值 所以函数 f x 的递增区间是 2 3 与 1 递减区间是 2 3 1 2 f x x3 1 2x2 2x c x 1 2 当 x 2 3时 f x 22 27 c 为极大值 而 f 2 2 c 则 f 2 2 c 为最大值 要使 f x c2 x 1 2 恒成立 只需 c2 f 2 2 c 解得 c 1 或 c 2 题型六 利用导数研究方程的根 1 已知平面向量a 3 1 b 2 1 2 3 1 若存在不同时为零的实数 k 和 t 使x a t2 3 b y ka tb x y 试求函数关系式 k f t 2 据 1 的结论 讨论关于 t 的方程 f t k 0 的解的情况 解 1 x y x y 0 即 a t2 3 b ka tb 0 整理后得 k 2 a t k t2 3 a b t2 3 2 b 0 a b 0 2 a 4 2 b 1 上式化为 4k t t2 3 0 即 k 4 1 t t2 3 2 讨论方程4 1 t t2 3 k 0 的解的情况 可以看作曲线 f t 4 1 t t2 3 与直线 y k 的交点个 数 于是 f t 4 3 t2 1 4 3 t 1 t 1 令 f t 0 解得 t1 1 t2 1 当 t 变化时 f t f t 的变化情况如下表 t 1 1 1 1 1 1 f t 0 0 F t 极大值 极小值 当 t 1 时 f t 有极大值 f t 极大值 2 1 第 7 页 共 10 页 当 t 1 时 f t 有极小值 f t 极小值 2 1 函数 f t 4 1 t t2 3 的图象如图 13 2 1 所示 可观察出 1 当 k 2 1 或 k 2 1 时 方程 f t k 0 有且只有一解 2 当 k 2 1 或 k 2 1 时 方程 f t k 0 有两解 3 当 2 1 k 2 1 时 方程 f t k 0 有三解 题型七 导数与不等式的综合 1 设 axxxfa 3 0 函数 在 1 上是单调函数 1 求实数a的取值范围 2 设 0 x 1 xf 1 且 00 xxff 求证 00 xxf 解 1 3 2 axxfy 若 xf 在 1 上是单调递减函数 则须 3 0 2 xay 即 这样的实数 a 不存在 故 xf 在 1 上不可能是单调递减函数 若 xf 在 1 上是单调递增函数 则a 2 3x 由于 33 1 2 xx故 从而 0 a 3 2 方法 1 可知 xf 在 1 上只能为单调增函数 若 1 00 xfx 则 000 矛盾xxffxf 若 1 000000 xfxxfxffxxf 即则 矛盾 故只有 00 xxf 成立 方法 2 设 00 xufuxf 则 0 3 0 3 0 xauuuaxx 两式相减得 00 33 0 xuuxaux 0 2 0 2 00 0 1 xauuxxux 1 u 1 30 3 2 0 2 0 auuxx又 01 2 0 2 0 auuxx 第 8 页 共 10 页 2 已知a为实数 函数 2 3 2 f xxxa 1 若函数 f x 的图象上有与x轴平行的切线 求a的取值范围 2 若 1 0f 求函数 f x 的单调区间 证明对任意的 12 1 0 xx 不等式 12 5 16 f xf x 恒成立 解 32 33 22 f xxaxxa 2 3 32 2 fxxax 函数 f x 的图象有与x轴平行的切线 0fx 有实数解 2 3 44 30 2 a 2 9 2 a 所以a的取值范围是 33 2 2 22 1 0f 3 320 2 a 9 4 a 2 931 33 1 222 fxxxxx 由 0 1fxx 或 1 2 x 由 1 0 1 2 fxx f x 的单调递增区间是 1 1 2 单调减区间为 1 1 2 易知 f x 的最大值为 25 1 8 f f x 的极小值为 149 216 f 又 27 0 8 f f x 在 10 上的最大值 27 8 M 最小值 49 16 m 对任意1 2 1 0 x x 恒有 12 27495 81616 f xf xMm 题型八 导数在实际中的应用 1 请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱 上部的形状是侧棱长为 3m 的正六 棱锥 如右图所示 试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1 o 的距离为多少时 帐篷的体积最大 解 设 OO1 为x m 则41 x 由题设可得正六棱锥底面边长为 222 28 1 3xxx 单位 m 故底面正六边形的面积为 4 3 6 22 28xx 28 2 33 2 xx 单位 2 m 第 9 页 共 10 页 帐篷的体积为 V 2 28 2 33 xxx 1 1 3 1 x 1216 2 3 3 xx 单位 3 m 求导得 312 2 3 V 2 xx 令 0V x 解得 2 x 不合题意 舍去 2 x 当 21 x 时 0V x xV 为增函数 当 42 x 时 0V x xV 为减函数 当 2 x 时 xV 最大 答 当 OO1 为2 m时 帐篷的体积最大 最大体积为316 3 m 2 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y 升 关于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 3 13 8 0120 12800080 yxxx 已知甲 乙两地相距 100 千米 I 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 II 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解 I 当 40 x 时 汽车从甲地到乙地行驶了 100 2 5 40 小时 要耗没 3 13 40408 2 517 5 12800080 升 II 当速度为x千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了 100 x 小时 设耗油量为 h x 升 依题意得 328 0120 1280008012804 h xxxxx x