上海市黄浦区2013届高三数学二模考试试题 理（含解析）

1 20132013 年上海市黄浦区高考数学二模试卷 理科 年上海市黄浦区高考数学二模试卷 理科 一 填空题 本大题满分一 填空题 本大题满分 5656 分 本大题共有分 本大题共有 1414 题 考生应在答题卷相应编号的空格内直题 考生应在答题卷相应编号的空格内直 接填写结果 每题填对得接填写结果 每题填对得 4 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 4 分 2013 黄浦区二模 若复数 z 满足 则 z 的值为 3i 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 直接利用行列式的计算方法 求出复数 z 的方程 然后求出复数 z 即可 解答 解 因为复数 z 满足 所以 z2 9 0 即 z2 9 所以 z 3i 故答案为 3i 点评 本题考查行列式的计算方法 复数方程的解法 考查计算能力 2 4 分 2013 黄浦区二模 函数的定义域为 1 2 考点 函数的定义域及其求法 专题 函数的性质及应用 分析 根据使函数的解析式有意义的原则 我们可以根据偶次被开方数不小于 0 对数的真 数大于 0 构造关于 x 的不等式组 解不等式组即可得到函数的定义域 解答 解 要使函数的解析式有意义 自变量 x 须满足 解得 1 x 2 故函数的定义域为 1 2 故答案为 1 2 点评 本题考查的知识点是函数的定义域及其求法 对数函数的定义域 其中根据使函数 的解析式有意义的原则 构造关于 x 的不等式组 是解答本题的关键 3 4 分 2013 黄浦区二模 若直线 l 过点 A 1 3 且与直线 x 2y 3 0 垂直 则 直线 l 的方程为 2x y 1 0 考点 直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题 计算题 2 分析 由两直线垂直的性质可知 所求的直线的斜率 k 然后利用直线的点斜式可求直线方 程 解答 解 由两直线垂直的性质可知 所求的直线的斜率 k 2 所求直线的方程为 y 3 2 x 1 即 2x y 1 0 故答案为 2x y 1 0 点评 本题主要考查了直线方程的求解 解题的关键是利用垂直关系求解出直线的斜率 4 4 分 2013 黄浦区二模 等差数列 an 的前 10 项和为 30 则 a1 a4 a7 a10 12 考点 等差数列的前 n 项和 专题 等差数列与等比数列 分析 利用等差数列的前 n 项和公式即可得到 a1 a10 6 由等差数列的性质可得 a1 a10 a4 a7 进而可得答案 解答 解 等差数列 an 的前 10 项和为 30 解得 a1 a10 6 由等差数列的性质可得 a1 a10 a4 a7 a1 a4 a7 a10 2 a1 a10 2 6 12 a1 a4 a7 a10 12 故答案为 12 点评 熟练掌握等差数列的前 n 项和公式 等差数列的性质是解题的关键 5 4 分 2013 黄浦区二模 执行程序框图 则输出的 a 值是 121 考点 循环结构 专题 图表型 分析 分析程序中各变量 各语句的作用 再根据流程图所示的顺序 可知 该程序的作 3 用是判断满足 a1 1 an 3an 1 1 求 an 100 的最小 an 解答 解 a1 1 a2 3a1 1 4 a3 3a2 1 13 a4 3a3 1 40 a5 3a4 1 121 121 100 退出循环 故答案为 121 点评 根据流程图 或伪代码 写程序的运行结果 是算法这一模块最重要的题型 其处 理方法是 分析流程图 或伪代码 从流程图 或伪代码 中既要分析出计算 的类型 又要分析出参与计算的数据 如果参与运算的数据比较多 也可使用表格 对数据进行分析管理 建立数学模型 根据第一步分析的结果 选择恰当的数 学模型 解模 6 4 分 2013 黄浦区二模 设 a 为常数 函数 f x x2 4x 3 若 f x a 在 0 上是增函数 则 a 的取值范围是 2 考点 函数单调性的性质 专题 函数的性质及应用 分析 写出 f x a 的表达式 根据二次函数图象可得其增区间 由题意知 0 为 f x a 的增区间的子集 由此得不等式 解出即可 解答 解 因为 f x x2 4x 3 所以 f x a x a 2 4 x a 3 x2 2a 4 x a2 4a 3 则 f x a 的增区间为 2 a 又 f x a 在 0 上是增函数 所以 2 a 0 解得 a 2 故答案为 2 点评 本题考查二次函数的单调性 属中档题 若函数 f x 在区间 a b 上单调 则 a b 为 f x 单调区间的子集 7 4 分 2013 黄浦区二模 在极坐标系中 直线 l cos 1 被圆 C 4cos 所 截得的线段长为 考点 点的极坐标和直角坐标的互化 直线与圆的位置关系 专题 直线与圆 分析 先把曲线和直线的极坐标方程化为普通方程 再利用 AB 2 d 为圆心 到直线的距离 即可得出答案 解答 解 圆 4cos 2 4 cos 化为普通方程 x2 y2 4x 即 x 2 2 y2 4 圆心 C 2 0 半径 r 2 4 直线 l cos 1 普通方程为 x 1 圆心 C 2 0 到直线的距离 d 1 AB 2 2 2 故答案为 点评 充分理解 AB 2 d 为圆心到直线的距离 是解题的关键 当然也可以 先把交点 A B 的坐标求出来 再利用两点间的距离公式即可求出 8 4 分 2013 黄浦区二模 已知点 P 2 3 是双曲线 上一点 双曲线两个焦点间的距离等于 4 则该双曲线方程 是 考点 双曲线的标准方程 双曲线的简单性质 专题 计算题 分析 由题意设该双曲线方程是 把点 P 2 3 代入 解得 a2 1 或 a2 16 舍 由此可知该双曲线方程为 解答 解 由题意知 c 2 设该双曲线方程是 把点 P 2 3 代入 得 解得 a2 1 或 a2 16 舍 该双曲线方程为 点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用 解题时要认真审题 仔细解答 9 4 分 2013 黄浦区二模 在平行四边形 ABCD 中 已知 点 E 是 BC 的中点 则 3 5 考点 平面向量数量积的运算 分析 利用向量的运算法则将用已知向量表示 利用向量的运算律将用已 知的向量表示出 求出的值 解答 解 3 故答案为 3 点评 本题考查利用向量的运算法则将未知向量用已知的向量表示 从而将未知向量的数 量积用已知向量的数量积表示 10 4 分 2013 黄浦区二模 已知 A B C 是球面上三点 且 AB AC 4cm BAC 90 若球心 O 到平面 ABC 的距离为 则该球的表面积为 64 cm3 考点 球的体积和表面积 专题 计算题 分析 由已知球面上三点 A B C 满足 BAC 90 可得平面 ABC 截球所得小圆的直径等 于 BC 长 进而求出截面圆的半径 r 2 根据球的截面圆性质 算出球半径 R 4 代入球的表面积公式即算出该球的表面积 解答 解 AB AC 4cm BAC 90 BC 为平面 ABC 截球所得小圆的直径 设小圆半径为 r 得 2r 4 可得半径 r 2 又 球心 O 到平面 ABC 的距离 d 2 根据球的截面圆性质 得球半径 R 4 球的表面积 S 4 R2 64 故答案为 64 6 点评 本题给出球的截面圆中 Rt ABC 的形状和该截面与球心的距离 求球的表面积 着 重考查了球的截面圆性质 勾股定理和球的表面积公式等知识 属于基础题 11 4 分 2013 黄浦区二模 在 ABC 中 A 120 AB 5 BC 7 则的值为 考点 正弦定理 专题 解三角形 分析 先利用余弦定理求得 b AC 的值 再用正弦定理求得 的值 解答 解 在 ABC 中 A 120 AB 5 BC 7 由余弦定理可得 49 25 b2 10b cos120 解得 b 3 由正弦定理可得 故答案为 点评 本题主要考查正弦定理 余弦定理的应用 属于中档题 12 4 分 2013 黄浦区二模 已知 n N 且 An a0 a1 a2 an 则 考点 数列的极限 数列的求和 二项式定理的应用 专题 计算题 点列 递归数列与数学归纳法 分析 令 x 3 1 可求 x 然后代入到已知可得 a0 a1 an 4 42 4n An 进而可求其极 7 限 解答 解 令 x 3 1 可得 x 4 代入到已知可得 a0 a1 an 4 42 4n An 故答案为 点评 本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的系数和及数列极限的求解 解题的关 键是灵活利用基本知识 13 4 分 2013 黄浦区二模 一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件 其中有 1 件次 品 用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受 抽检规则如下 至多抽检 3 次 每次抽 检一件产品 抽检后不放回 只要检验到次品就停止继续抽检 并拒收这箱产品 若 3 次 都没有检验到次品 则接受这箱产品 按上述规则 该用户抽检次数的数学期望是 考点 离散型随机变量的期望与方差 专题 概率与统计 分析 设 表示该用户抽检次数 的取值可能为 1 2 3 利用古典概型的概率计算公 式和概率的性质 随机变量的分布列和数学期望即可得出 解答 解 设 表示该用户抽检次数 的取值可能为 1 2 3 若抽到第一件产品为次品即停止检查 则 P 1 若抽到第一件产品为正品 第二件品为次品即停止检查 则 P 2 第 3 次无论抽到正品还是次品都停止检查 则 P 3 1 P 1 P 2 故 的分布列为 E 故答案为 8 点评 熟练掌握古典概型的概率计算公式和概率的性质 随机变量的分布列和数学期望是 解题的关键 14 4 分 2013 黄浦区二模 已知 若存在区间 使得 y y f x x a b ma mb 则实数 m 的取值范围是 0 4 考点 函数的定义域及其求法 函数的值域 专题 函数的性质及应用 分析 首先分析出函数在区间 a b 上为增函数 然后由题意得到 说明方程有两个大于 实数根 分离参数 m 然后利用二次 函数求 m 的取值范围 解答 解 因为函数在上为减函数 所以函数在 上为增函数 因为区间 由 y y f x x a b ma mb 则 即 说明方程有两个大于 实数根 由得 零 则 t 0 3 则 m t2 4t t 2 2 4 由 t 0 3 所以 m 0 4 所以使得 y y f x x a b ma mb 的实数 m 的取值范围是 0 4 故答案为 0 4 9 点评 本题考查了函数的定义域及其求法 考查了单调函数定义域及值域的关系 训练了 二次函数值域的求法 考查了数学转化思想 是中档题 二 选择题 本大题满分二 选择题 本大题满分 2020 分 本大题共有分 本大题共有 4 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在题 每题有且只有一个正确答案 考生应在 答题卷的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得答题卷的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 5 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 15 5 分 2013 黄浦区二模 已知 且 sin 0 则 tan 的值为 A B C D 考点 二倍角的余弦 同角三角函数间的基本关系 专题 三角函数的求值 分析 利用二倍角公式求得 cos 再根据同角三角函数的基本关系求得 sin 从而求 得 tan 的值 解答 解 已知 且 sin 0 cos 2 1 2 1 故 sin tan 故选 C 点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系 二倍角公式的应用 属于中档题 16 5 分 2013 黄浦区二模 函数的反函数是 A B C D 考点 反函数 专题 函数的性质及应用 分析 求函数的反函数 根据原函数解出 x 然后把 x 和 y 互换即可 注意函数定义域 解答 解 由 y 得 所以原函数的反函数为 故选 D 点评 本题考查了函数反函数的求解方法 解答的关键是正确解出 x 特别要注意的是反函 数的定义域应为原函数的值域 是易错题 10 17 5 分 2013 黄浦区二模 下列命题 是 存在 n N 使得成立 的充分条件 a 0 是 存在 n N 使得成立 的必要条件 是 不等式对一切 n N 恒成立 的充要条件 其中所以真命题的序号是 A B C D 考点 命题的真假判断与应用 专题 计算题 分析 选项 应是 存在 n N 使得成立 的充要条件 选项 当存在 n N 使得成立时 a 只需大于当 n N 时的最小 取值即可 可得 a 0 选项 由充要条件的证明方法可得 解答 解 选项 当时 必存在 n N 使得成立 故前者是后者的 充分条件 但存在 n N 使得成立时 a 即为当 n N 时的取值范围 即 故 应是 存在 n N 使得成立 的充要条件 故 错误 选项 当存在 n N 使得成立时 a 只需大于当 n N 时的 最小取值即可 故可得 a 0 故 a 0 是 存在 n N 使得成立 的必要条件 故 正确 选项 由 知 当 n N 时的取值范围为 故当时 必有 不等式对一切 n N 恒成立 而要使不等式对一切 n N 恒成立 只需 a 大于的最大值即 可 即 a 11 故 是 不等式对一切 n N 恒成立 的充要条件 故选 B 点评 本题考查命题真假的判断与应用 涉及指数函数和恒成立问题 属基础题 18 5 分 2013 黄浦区二模 如果函数 y x 2 的图象与曲线 C x2 y2 4 恰好有两 个不同的公共点 则实数 的取值范围是 A 1 1 B 1 0 C 1 0 1 D 1 0 1 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 函数的性质及应用 分析 利用绝对值的几何意义 由 y x 2 可得 x 0 时 y x 2 x 0 时 y x 2 确定函数 y x 2 的图象与方程 x2 y2 4 的曲线必相交于 2 0 为了使函数 y x 2 的图象与方程 x2 y2 4 的曲线恰好有两个不同的公共点 则 两曲线无其它交点 y x 2 代入方程 x2 y2 4 整理可得 1 x2 4 x 4 4 0 分类讨论 可得结论 根据对称性 同理可得 x 0 时的情 形 解答 解 由 y x 2 可得 x 0 时 y x 2 x 0 时 y x 2 函数 y x 2 的图象与方程 x2 y2 4 的曲线必相交于 2 0 如图 所以为了使函数 y x 2 的图象与方程 x2 y2 4 的曲线恰好有两个不同的公共点 则将 y x 2 代入方程 x2 y2 4 整理可得 1 x2 4 x 4 4 0 当 1 时 x 2 满足题意 由于 0 2 是方程的根 0 即 1 1 时 方程两根异号 满足题意 综上知 实数 的取值范围是 1 1 故选 A 12 点评 本题考查曲线的交点 考查学生分析解决问题的能力 考查分类讨论的数学思想 属于中档题 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 7474 分 本大题共分 本大题共 5 5 题 解答下列各题必须在答题卷相应编号的规题 解答下列各题必须在答题卷相应编号的规 定区域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤 19 12 分 2013 黄浦区二模 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长为 2 1 求该四棱柱的侧面积与体积 2 若 E 为线段 A1D 的中点 求 BE 与平面 ABCD 所成角的大小 考点 直线与平面所成的角 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 空间位置关系与距离 空间角 分析 1 题目给出的是正四棱柱 给出了底面边长和一条侧面对角线的长 所以先求出 正四棱柱的侧棱长 也就是四棱柱的高 直接利用侧面积公式及体积公式求解该四 棱柱的侧面积与体积 2 在平面 ADD1A1内过 E 作 EF AD 由面面垂直的性质可得 EF 底面 ABCD 连接 BF 后 则 EBF 为要求的线面角 然后通过求解直角三角形求出 EBF 的正切值 利 用反三角函数可表示出要求的角 解答 解 1 根据题意可得 在 Rt AA1D 中 所以正四棱柱的侧面积 S 2 3 4 24 体积 V 2 2 3 12 13 2 如图 过 E 作 EF AD 垂足为 F 连结 BF 则 EF 平面 ABCD BE 平面 ABCD EF BF 在 Rt BEF 中 EBF 就是 BE 与平面 ABCD 所成的角 EF AD AA1 AD EF AA1 又 E 是 A1D 的中点 EF 是 AA1D 的中位线 在 Rt AFB 中 点评 本题考查了柱体的侧面积与体积 考查了线面角 解答此题的关键是利用面面垂直 的性质定理找到线面角 此题属中档题 20 14 分 2013 黄浦区二模 已知复数 z1 sinx i x R i 为虚数单位 1 若 2z1 z2i 且 x 0 求 x 与 的值 2 设复数 z1 z2在复平面上对应的向量分别为 若 且 f x 求 f x 的最小正周期和单调递减区间 考点 复数代数形式的乘除运算 复数相等的充要条件 专题 三角函数的图像与性质 平面向量及应用 分析 1 利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出 2 利用向量的垂直与数量积的关系可得可得 再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简 利用三角函数的周期公式和单调 性即可得出 解答 解 1 由 2z1 z2i 可得 又 x R 14 又 x 0 故或 2 由 可得 又 f x 故 故 f x 的最小正周期 T 又由Z 可得 故 f x 的单调递减区间为 k Z 点评 熟练掌握复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值 向量的垂直与数量积 的关系 倍角公式和两角和差的正弦公式 三角函数的周期公式和单调性是解题的 关键 21 14 分 2013 黄浦区二模 某医药研究所开发一种新药 在试验药效时发现 如果 成人按规定剂量服用 那么服药 后每毫升血液中的含药量 y 微克 与时间 x 小时 之间满足 其对应曲线 如图所示 过点 1 试求药量峰值 y 的最大值 与达峰时间 y 取最大值时对应的 x 值 2 如果每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗疾病有效 那么成人按规定剂量服用该 药一次后能维持多长的有效时间 精确到 0 01 小时 考点 函数模型的选择与应用 15 专题 函数的性质及应用 分析 1 由曲线过点 代入曲线方程 求出 a 值 确定函数关系式 再分 别求出分段函数各段上的最大值进行比较 从而得出药量峰值 y 的最大值 与达峰 时间 2 把 y 1 分别代入两个函数关系式求时间 再求时间差 即可得出服用该药一次 后能维持多长的有效时间 解答 解 1 由曲线过点 可得 故 a 8 2 分 当 0 x 1 时 3 分 当 x 1 时 设 2x 1 t 可知 t 1 当且仅当 t 1 时 y 4 5 分 综上可知 ymax 4 且当 y 取最大值时 对应的 x 值为 1 所以药量峰值为 4mg 达峰时间为 1 小时 6 分 2 当 0 x 1 时 由 可得 x2 8x 1 0 解得 又 故 8 分 当 x 1 时 设 2x 1 t 则 t 1 由 可得 解得 又 t 1 故 所以 可得 12 分 由图象知当 y 1 时 对应的 x 的取值范围是 所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约 3 85 小时的有效时间 14 分 点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用 以及分段函数求解析式和指数不等式的求 解 同时考查了计算能力 属于中档题 22 16 分 2013 黄浦区二模 设抛物线 C y2 2px p 0 的焦点为 F 经过点 F 的动 直线 l 交抛物线 C 于点 A x1 y1 B x2 y2 且 y1y2 4 1 求抛物线 C 的方程 2 若 O 为坐标原点 且点 E 在抛物线 C 上 求直线 l 倾斜角 16 3 若点 M 是抛物线 C 的准线上的一点 直线 MF MA MB 的斜率分别为 k0 k1 k2 求 证 当 k0为定值时 k1 k2也为定值 考点 直线与圆锥曲线的关系 抛物线的标准方程 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 设出直线的方程与抛物线的方程联立 消去 x 得到关于 y 的一元二次方程 利 用根据根与系数的关系即可得出 2 根据向量和 1 的结论可用 k 表示 E 点的坐标代入抛物线的方程即可得出直 线 l 的斜率和倾斜角 3 利用向量计算公式和 1 中的根与系数的关系即可得出 解答 解 1 根据题意可知 设