初中三大函数

函数函数 何谓何谓 函数函数 函数是一种关系 所谓变量之间的关系 变量常常以字母的方式表现出来 所以说简单点 函数 函数是一种关系 所谓变量之间的关系 变量常常以字母的方式表现出来 所以说简单点 函数 就是字母间的关系 就是字母间的关系 函数难题就是参数的计算 计算就是初中的算理算法 难 难在哪 难在关系的找法 不同题型不同的解法 函数难题就是参数的计算 计算就是初中的算理算法 难 难在哪 难在关系的找法 不同题型不同的解法 每一题不同的关系 找到关系就只剩计算 解函数综合题 简单说 找关系 然后计算 每一题不同的关系 找到关系就只剩计算 解函数综合题 简单说 找关系 然后计算 初中三大函数初中三大函数 少见的复合函数少见的复合函数 函数 函数 三要素 三要素 x x 取值范围 取值范围 解析式 解析式 y y 图象性质 增减性 交点问题 取值范围 分段函数 函数与方程图象性质 增减性 交点问题 取值范围 分段函数 函数与方程 比较大小 面积问题比较大小 面积问题 图形变换 平移图形变换 平移 特殊性质 如一次函数特殊性质 如一次函数 k k 反比例分象限 二次函数的对称性和最值问题 反比例分象限 二次函数的对称性和最值问题 一次函数一次函数 定义 自变量 因变量 整式概念定义 自变量 因变量 整式概念 形如形如 y kx by kx b k 0k 0 1 我们知道 若两个有理数的积为 1 则称这两个有理数互为倒数 同样的 当两个实数 与的 ab ab 积是 1 时 我们仍然称这两个实数互为倒数 1 判断与是否互为倒数 并说明理由 42 42 2 若实数是的倒数 求点 x y 中纵坐标随横坐标变化的函数解析式 并画出函数图 xy xy 象 图像性质 图像性质 1 1 画图 两点法画图 两点法 列表 描点 连线列表 描点 连线 1 已知函数 求当为何值时 1 此函数为一次函数 2 此函数为正比例函数 2 11ymxm m 2 用描点法画出下列函数图象 1 y 2x 1 2 y 3 y 4 y 21x 21x 21x 图象性质 增减性 比较大小图象性质 增减性 比较大小 1 已知点 A m1 n1 B m2 n2 m12 试比较 n1和 n2的大小 并说明理由 图图 象象 k 0k 0b 0b 0 的图像与 AC 边交于点 E k y x 1 若 BF 1 求 OEF 的面积 2 请探索 是否在这样的点 F 使得将 CEF 沿 EF 对折后 C 点恰好落在 OB 上 若存在 求出点 k 的值 若不存在 请说明理由 x y E F C A BO 4 已知点 O 是平面直角坐标系的原点 直线 y x m n 与双曲线交于两个不同的点 A m n m 2 1 y x 和 B p q 直线 y x m n 与 y 轴交于点 C 求 OBC 的面积 S 的取值范围 5 已知点和点是直线与双曲线的交点 1 cA 3 dBbxky 1 0 2 2 k x k y 1 过点作轴 垂足为 连结 若 求点的坐标 AxAM MBMBMAM B 2 若点在线段上 过点作轴 垂足为 并交双曲线于点 PABPxPE E 0 2 2 k x k yN 当取最大值时 有 求此时双曲线的解析式 NE PN 2 1 PN 6 已知双曲线和直线 y 2x 点 C a b ab 2 在第一象限 过点 C 作 x 轴的垂线交双曲线于点 F 2 y x 交直线于点 B 过点 C 作 y 轴垂线交双曲线于点 E 交直线于点 A 1 若 b 1 则结论 A E 不能关于直线 FB 对称 是否正确 若正确 请说明理由 若不正确 请举反 例 2 若 CAB CFE 设 当 1 a 2 求 w 的取值范围 wAC EC 4 4 特殊性质 特殊性质 k k 的几何意义 以及的几何意义 以及 xy kxy k 的消参作用的消参作用 1 已知点 A 是反比例函数图象上的一点 若垂直于轴 垂足为 则的面积 3 y x AByBAOB 2 双曲线在第一象限内的图像如图 7 所示 作一条平行于 y 轴的直线分别交双曲线于 A B 两 x y x y 21 与 点 连接 OA OB 则 AOB 的面积为 3 如图 点 M 是反比例函数 x 0 图象上任意一点 MN y 轴于 N 点 P 是 x 轴上的动点 则 MNP 的 2 y x 面积是 A 1B 2C 4D 不能确定 x y A O B y xP N M O A B C D x y 1 x y 2 x y 3 x y 6 4 如图 双曲线经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 E 交 AB 于点 D 若梯形 ODBC 的面积为 3 则 0 k x k y 双 曲线的解析式为 5 如图 14 矩形 OABC 交双曲线于 E F 两点 已知 E 是 BC 的中点 求证 F 是 AB 的中点 0 k x k y x y D B A Co a k a ECB F AO 6 已知双曲线 k 0 过点 M m m m 作 MA x 轴 MB y 轴 垂足分别是 A 和 B MA MB k y x k 分别交双曲线 k 0 于点 E F k y x 1 若 k 2 m 3 求直线 EF 的解析式 2 O 是坐标原点 连结 OF 若 BOF 22 5 多边形 BOAEF 的面积是 2 求 k 的值 二次函数二次函数 定义 定义 图象性质 图象性质 1 1 画图 画图 3 53 5 点 含顶点 点 含顶点 列表 描点 连线列表 描点 连线 增减性 对称性 最值性 与增减性 对称性 最值性 与 x x 轴交点 轴交点 f 1 f 1 f f 1 1 f 2 f 2 f f 2 2 f m f m 函数函数开口开口对称轴对称轴顶点顶点最大最大 小小 值值 增减性增减性 a 0 开口向 上 当 x h 时 y 有最小值为 k 当 xh 时 y a x h 2 k a 0 开口向 下 直线 x h h k 当 x h 时 y 有最大值为 k 当 xh 时 y ax2 bx c a 0 开口向 上 直线 b 2a b 2a 4ac b2 4a 当 x 时 b 2a y 有最小值 为 4ac b2 4a 当 x 时 b 2a 字母字母的符号图象的特征 a 0开口向上 a a 0在 x 轴的上方 与 y 轴的正半轴相交 c c 0 与 x 轴有两个交点 1 C m 1 D m 1 2 已知二次函数 若 y 随 x 增大而减小 则实数 b 的取值范围是 若 2 1 yxbxc 2x 点 A 1 c 在这个函数图像上 且 则实数 a 的取值范围是 1 B a y 2 2 Cy 12 yy 函数与方程 1 二次函数 a 0 中 自变量的 x 与函数 y 的对应值如下表 2 yaxbxc x 2 101234 y 1 4 2 m m 2 1 2 m m 1 2 m m 2 1 4 2 m 若 则一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根 x1 x2的取值范围是 1 11 2 m A 1 x1 0 2 x2 3 B 2 x1 1 1 x2 2 C 0 x1 1 1 x2 2 D 2 x1 1 3 x2 4 2 二次函数 y x2 x c 一定经过点 1 4 c 114 2 c 3 代数式的值是 2 114114 1 22 acac ac aa 4 已知一个二次函数的 y x h 2 a2 a 0 方程 x h 2 a2 1 0 的两根是 b c b c 方程 x h 2 a2 2 0 的两根分别为 m n m n 判断 b c m n 的大小关系 用 连接 实际问题 1 汽车刹车后行驶的距离 s 单位 米 与行驶的时间 t 单位 秒 的函数关系是 s 那么汽车刹车 2 156tt 后 停下来 2 从地面击出一个小球 如果不考虑空气阻力 小球的飞行时离地面的高度 h 单位 米 与飞行时间 单位 秒 之间的函数关系是 h 20t 5t2 则小球从飞出到落地要用 秒 取值范围 增减性 1 抛物线 y x2 2x 3 的开口向 当 2 x 0 时 y 的取值范围是 2 已知实数 a b 满足 a b 1 a2 ab 1 0 当 1 x 2 时 二次函数 y ax2 6ax 9a a 0 的最大值与最 小值之差是 9 求 a 的值 2 2 图象平移 左加右减 上加下减 图象平移 左加右减 上加下减 1 将抛物线向右平移一个单位长度 再向上平移 3 个单位长度所得的抛物线的解析式为 2 yx A B C D 2 1 3yx 2 1 3yx 2 1 3yx 2 1 3yx 2 如果将抛物线 y x2向右平移 1 个单位 那么所得的抛物线的表达式是 A y x2 1 B y x2 1 C y x 1 2 D y x 1 2 3 3 与一次函数综合 与一次函数综合 交点 比较大小 面积问题 轨迹方程 几何图形存在性问题交点 比较大小 面积问题 轨迹方程 几何图形存在性问题 1 已知二次函数 a 0 的部分图像如图 7 所示 抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 3 0 对称轴 2 yaxbxc 为 直线 x 1 1 若 a 1 求 c b 的值 2 若实数 m 1 比较 a b 与 m am b 的大小 并说明理由 x y 1 3O 2 已知二次函数 y x2 x c 1 若点 A 1 n B 2 2n 1 在二次函数 y x2 x c 的图象上 求此二次函数的最小值 2 若点 D x1 y1 E x2 y2 P m m m 0 在二次函数 y x2 x c 的图象上 且 D E 两点关于坐标原点成 中心对称 连接 OP 当 2 OP 2 时 试判断直线 DE 与抛物线 y x2 x c 的交点个数 并说明理 22 3 8 由 3 如图 1 过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线 外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的 水平 宽 a 中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度 BD 叫 ABC 的 铅垂高 h 我们可得出一种计算三角形面积的 新方法 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 ahS ABC 2 1 解答下列问题 如图 2 抛物线顶点坐标为点 D 1 4 交 x 轴于点 B 3 0 交 y 轴于点 C 在第一象限的抛物线上是否存在 一点 P 使最大 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 请说明理由 PBC S x y GF D E O A C B x y A C B O P 4 已知抛物线的顶点 A 在第一象限 过点 A 作 AB y 轴 垂足为 B C 是线段 AB 上一 22 22yxmxm 点 不与端点 A B 重合 过 C 作 CD x 轴 垂足为 D 并交抛物线于点 P 1 若点 C 1 a 是线段 AB 的中点 求点 P 的坐标 2 若直线 AP 交 y 轴的正半轴于点 E 且 AC CP 求 OPE 的面积 S 的取值范围 5 抛物线的顶点为 D 1 4 与 y 轴交于点 C 0 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点cbxxy 2 B 的左侧 1 连接 AC CD AD 试证明 ACD 为直角三角形 2 若点 E 在抛物线的对称轴上 抛物线上是否存在点 F 使以 A B E F 为顶点的四边形为平行四边 形 若存在 求出所有满足条件的点 F 的坐标 若不存在 请说明理由 6 如图 直线 y x 2 与抛物线 y ax2 bx 6 a 0 相交于 A 和 B 4 m 点 P 是线段 AB 上异于 1 2 5 2 A B 的动点 过点 P 作 PC x 轴于点 D 交抛物线于点 C 1 是否存在这样的 P 点 使线段 PC 的长有最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 2 求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 5 5 纯参数问题纯参数问题 1 若抛物线 y bx c 与 x 轴只有一个交点 且过点 A m n B m 6 n 则 n 2 x 2 已知 a b c 且 a b c 0 则抛物线与直线 y bx 的交点个数有 个 2 yaxbxc 3 若抛物线 y ax2 bx c 上有两点 A B 关于原点对称 则称它为 完美抛物线 1 请猜猜看 抛物线 y x2 x 1 是否是 完美抛物线 若是 请写出 A B 坐标 若不是 请说明理由 2 若抛物线 y ax2 bx c 是 完美抛物线 与 y 轴交于点 C 与 x 轴交于 0 若 求直 2 c 2 ABC c S b 线 AB 的解析式 5 5 X X 系方程系方程 1 若 x1 x2是关于 x 的方程 x2 bx c 0 的两个实数根 且 x1 x2 2 k k 是整数 则称方程 x2 bx c 0 为 偶系二次方程 如方程 x2 6x 27 0 x2 2x 8 0 x2 3x 0 x2 6x 27 0 x2 4x 4 0 27 4 都是 偶系二次方程 1 判断方程 x2 x 12 0 是否是 偶系二次方程 并说明理由 2 对于任意一个整数 b 是否存在实数 c 使得关于 x 的方程 x2 bx c 0 是 偶系二次方程 并说明理由 2 若 x1 x2是关于 x 的方程 x2 bx c 0 的两个实数根 且满足 x1 2 x2 c 2 则称方程 x2 bx c 0 为 T 系二次方程 如方程 x2 2x 0 x2 5x 6 0 x2 6x 16 0 x2 4x 4 0 都是 T 系二次方程 是否 存在实数 b 使得关于 x 的方程 x2 bx b 0 是 T 系二次方程 并说明理由 2 3 若 x1 x2是关于 x 的方程 x2 bx c 0 的两实根 且 k 为整数 则称方程 22 12 33xxk x2 bx c 0 为 B 系二次方程 如 x2 2x 3 0 x2 2x 15 0 x2 3x 0 x2 x 0 27 4 15 4 x2 2x 3 0 x2 2x 15 0 等 都是 B 系二次方程 请问 对于任意一个整数 b 是否存在实数 c 使得关于 x 的方程 x2 bx c 0 是 B 系二次方程 并说明理由 4 若 x1 x2是关于 x 的一元二次方程 x2 bx c 0 的两个实数根 且 x1 x2满足 x1 x2 3 k k 是正整数 则称 方程 x2 bx c 0 为 倍根二次方程 如方程 x2 9 0 x2 x 2 0 x2 3x 2 0 等都是 倍根二次方程 1 方程 x2 3x 4 0 是否是 倍根二次方程 并说明理由 2 是否存在实数 m 使得关于 x 的方程 x2 4mx 6m 2x 0 m 2 是 倍根二次方程 若存在 2 3m