初中圆知识点总结与练习

1 圆圆 一 圆的认识 知识点晴 1 圆的定义 1 在一个平面内 线段 OA 绕它的一个端点 O 旋转一周 另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆 固定的端点 O 叫做圆心 线段 OA 叫做半径 如右图所示 2 圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合 定点为圆心 定长为圆的半径 说明 圆的位置由圆心确定 圆的大小由半径确定 半 径相等的两个圆为等圆 2 圆的有关概念 1 弦 连结圆上任意两点的线段 如右图中 的 CD 2 直径 经过圆心的弦 如右图中的 AB 直径等于半径的 2 倍 3 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 如 右图中的 A CD A CAD 其中大于半圆的弧叫做优弧 如 小 A CAD 于半圆的弧叫做劣弧 4 圆心角 如右图中 COD 就是圆心角 3 与圆相关的角 1 与圆相关的角的定义 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角 顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角 弦切角 顶点在圆上 一边和圆相交 另一连轴和圆相切的角叫做弦切角 2 与圆相关的角的性质 圆心角的度数等于它所对的弦的度数 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆 或直径 所对的圆周角相等 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 4 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系 1 定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦的弦心距相等 2 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中有一 组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 A O B C D O A r 2 例题精讲 例 1 下面四个命题中正确的一个是 A 过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B 过弦的中点的直线必过圆心 C 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心 D 弦的垂线平分弦所对的弧 答案 C 二 与圆有关的位置 关系 知识点晴 1 点与圆的位置关系 如果圆的半径为 r 某一点到圆心的距离为 d 那么 1 点在圆外dr 2 点在圆上dr 3 点在圆内dr 2 直线和圆相切 直线与圆有唯一交点 dr 3 直线和圆相交 直线与圆有两个交点 dr 2 两圆外切 dRr 3 两圆相交 RrdRr Rr 5 两圆内含 注意 如果为 则两圆为同心圆 dRr Rr 0d 4 切线的性质与判定定理 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 且过半径外端MNOA MNOA 是 的切线MNO 2 性质定理 切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 NM A O 3 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 5 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这 点和圆心的连线平分两条切线的夹角 即 是的两条切线 PAPB PAPB 平分POBPA 例题精讲 例 2 已知 O 的半径为 1 点 P 到圆心 O 的距离为 d 若关于 x 的方程 x2 2x d 0 有实根 则点 P A 在 O 的内部B 在 O 的外部 C 在 O 上D 在 O 上或 O 的内部 答案 D 例 3 已知 如图 PA PB 分别与 O 相切于 A B 两点 求证 OP 垂直平分线段 AB 答案 略 例 4 已知 如图 PA 切 O 于 A 点 PO AC BC 是 O 的直径 请问 直线 PB 是 否与 O 相切 说明你的理由 答案 直线 PB 与 O 相切 提示 连结 OA 证 PAO PBO P B A O 4 例 5 已知 如图 O1与 O2外切于A 点 直线l 与 O1 O2分别切于B C 点 若 O1的半径 r1 2cm O2的半径 r2 3cm 求 BC 的长 答案 cm62 提示 分别连结 O1B O1O2 O2C 例 6 如图 点 A B 在直线 MN 上 AB 11cm A B 的半径均为 1cm A 以每 秒 2cm 的速度自左向右运动 与此同时 B 的半径也不断增大 其半径 r cm 与 时间 t s 之间的关系式为 r 1 t t 0 1 试写出点 A B 之间的距离 d cm 与时间 t s 之间的函数表达式 2 问点 A 出发多少秒时两圆相切 答案 1 当 0 t 5 5 时 d 11 2t 当 t 5 5 时 d 2t 11 2 第一次外切 t 3 第一次内切 3 11 t 第二次内切 t 11 第二次外切 t 13 三 垂径定理及推论 知识点晴 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 O E DC B A O C D A B 5 即 在 中 OABCD 弧弧AC BD 例题精讲 例 7 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 如果油的最大深度 为 16cm 那么油面宽度 AB 是 cm 答案 4 159 例 8 如图 F 是以 O 为圆心 BC 为直径的半圆上任意一点 A 是的中点 AD BC 于 D 求证 AD BF 2 1 答案 提示 连接 OF 证明 是全等三角形 ADOFOEBOEAAA 四圆周角定理 知识点晴 1 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即 和是弧所对的圆心角和圆周角AOB ACB AB 2AOBACB 2 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧是等弧 即 在 中 都是所对的圆周OC D 角 CD D C B A O C B A O 6 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对的弧是半圆 所对的弦是直径 即 在 中 是直径 OAB 或 90C 90C 是直径AB 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 即 在 中 ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C 例题精讲 例 9 已知 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 于 E ACD 30 AE 2cm 求 DB 答案 cm 34 例 10 已知 如图 O 的直径 AE 10cm B EAC 求 AC 的长 答案 提示 连结 CE 不难得出cm 25 AC C BA O C BA O 7 五 与圆有关的计算 知识点晴 1 圆周长 2cRp 2 弧长 180 n R l p 3 圆面积 2 SRp 4 扇形面积 2 1 2360 n R SlR p 扇形 例题精讲 例 11 如图 扇形纸扇完全打开后 外侧两竹条 AB AC 夹角为 120 AB 的长为 30c m 贴纸部分 BD 的长为 20cm 则贴纸部分的面积为 A 2 cm100B 2 cm 3 400 C 2 cm800D 2 cm 3 800 答案 D 例 12 已知 如图 以线段 AB 为直径作半圆 O1 以线段 AO1为直径作半圆 O2 半径 O1C 交半圆 O2于 D 点 试比较与的长 答案 的长等于的长 提示 连结 O2D 8 六 圆幂定理 知识点晴 1 相交弦定理 圆内两弦相交 交点分得的两条线段的乘积相等 即 在 中 弦 相交于点 OABCDP PA PBPC PD 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项 即 在 中 直径 OABCD 2 CEAE BE 2 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项 即 在 中 是切线 是割线OPAPB 2 PAPC PB 3 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等 如上图 即 在 中 是割线OPBPE PC PBPD PE 例题精讲 例 13 如图 P 是 O 外一点 PC 切 O 于点 C PAB 是 O 的割线 交 O 于 A B 两点 如果 PA PB 1 4 PC 12cm O 的半径为 10cm 则圆心 O 到 AB 的距离是 P O D C B A OE D C B A D E C B P A O 9 答案 9 七 正多边形与圆 知识点晴 1 正三角形 在 中 是正三角形 有关计算在中进行 OABCRt BOD 1 3 2OD BD OB 2 正四边形 同理 四边形的有关计算在中进行 Rt OAE 1 1 2OE AE OA 3 正六边形 同理 六边形的有关计算在中进行 Rt OAB 1 3 2AB OB OA 例题精讲 E CB AD O B A O D C B A O 10 例 13 已知正多边形的边长为 a 与外接圆半径 R 之间满足 则这个多边形12 a R 是 A 正三边形B 正四边形C 正五边形D 正六边形 答案 C 提示 正多边形的边数越多 则边长越小 而有RaR 2 因为 所以aR 6 aR 4 2 aaa 64 则 是正五边形 应选 C aaa 654 八 课后练习题 例 1 若 P 为半径长是 6cm 的 O 内一点 OP 2cm 则过 P 点的最短的弦长为 A 12cmB cm22C cm24D cm28 答案 D 例 2 若 O 的半径长是 4cm 圆外一点 A 与 O 上各点的最远距离是 12cm 则自 A 点 所引 O 的切线长为 A 16cmB cm34C cm24D cm64 答案 B 例 3 O 中 AOB 100 若 C 是上一点 则 ACB 等于 A 80 B 100 C 120 D 130 答案 A 例 4 三角形的外心是 A 三条中线的交点B 三个内角的角平分线的交点 C 三条边的垂直平分线的交点D 三条高的交点 答案 C 例 5 如图 A 是半径为 2 的 O 外的一点 OA 4 AB 是 O 的切线 点 B 是切点 弦 BC OA 则的长为 7 题图 11 A 3 2 B 3 8 C D 3 3 2 答案 A 例 6 如图 图中的五个半圆 邻近的两半圆相切 两只小虫同时出发 以相同的速度 从 A 点到 B 点 甲虫沿 路线爬行 乙虫沿路线爬 行 则下列结论正确的是 8 题图 A 甲先到 B 点B 乙先到 B 点 C 甲 乙同时到 B 点D 无法确定 答案 C 例 7 如图 同心圆半径分别为 2 和 1 AOB 120 则阴影部分的面积为 9 题图 A B 3 4 C 2 D 4 答案 C 例 8 如图 在 O 中 AB 为 O 的直径 弦 CD AB AOC 60 则 B 答案 30 例 9 如图 将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后 圆弧恰好经过圆心 O 则折痕 AB 的长 为 12 答案 cm 32 例 10 已知 如图 在两个同心圆中 大圆的弦 AB 切小圆于 C 点 AB 12cm 求两个圆之间的圆环面积 答案 36 cm2 提示 连接OC OA 例 11 如图 在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切 现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖 求这个大圆片的半径最小应为多少 答案 设三个圆的圆心为 O1 O2 O3 连结 O1O2 O2O3 O3O1 可得边长为 4 cm 的正 O1O2O3 则正 O1O2O3外接圆的半 径为 cm 所以大圆的半径为 3 34 2 3 34 3 634 13 例 12 如图 在 ABC 中 C