初三数学专题复习之方程与不等式

第 1 页 共 36 页 专题专题 方程与不等式方程与不等式 一 选择题 共一 选择题 共 15 小题 小题 1 利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是 A 要消去 y 可以将 5 2B 要消去 x 可以将 3 5 C 要消去 y 可以将 5 3D 要消去 x 可以将 5 2 2 若关于 x 的方程 x2 2x a 0 不存在实数根 则 a 的取值范围是 A a 1B a 1C a 1D a 1 3 a b c 为常数 且 a c 2 a2 c2 则关于 x 的方程 ax2 bx c 0 根的情况 是 A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根 C 无实数根D 有一根为 0 4 某服装进货价 80 元 件 标价为 200 元 件 商店将此服装打 x 折销售后仍 获利 50 则 x 为 A 5B 6C 7D 8 5 某车间有 27 名工人 生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品 每人每天生 产螺母 16 个或螺栓 22 个 若分配 x 名工人生产螺栓 其他工人生产螺母 恰 好使每天生产的螺栓和螺母配套 则下面所列方程中正确的是 A 22x 16 27 x B 16x 22 27 x C 2 16x 22 27 x D 2 22x 16 27 x 6 在解方程时 方程两边同时乘以 6 去分母后 正确的是 A 2x 1 6x 3 3x 1 B 2 x 1 6x 3 3x 1 C 2 x 1 x 3 3x 1 D x 1 x 3 x 1 7 一个长方形的周长为 30cm 若这个长方形的长减少 1cm 宽增加 2cm 就可 成为一个正方形 设长方形的长为 xcm 可列方程为 第 2 页 共 36 页 A x 1 30 x 2B x 1 15 x 2C x 1 30 x 2D x 1 15 x 2 8 某商品每件的标价是 330 元 按标价的八折销售时 仍可获利 10 则这种 商品每件的进价为 A 240 元B 250 元C 280 元D 300 元 9 双 11 促销活动中 小芳的妈妈计划用 1000 元在唯品会购买价格分别为 80 元和 120 元的两种商品 则可供小芳妈妈选择的购买方案有 A 4 种B 5 种C 6 种 D 7 种 10 小明到商店购买 五四青年节 活动奖品 购买 20 只铅笔和 10 本笔记本共 需 110 元 但购买 30 支铅笔和 5 本笔记本只需 85 元 设每支铅笔 x 元 每本 笔记本 y 元 则可列方程组 A B C D 11 已知方程组的解满足 x y 3 则 k 的值为 A 2B 2C 1D 1 12 已知关于 x y 的二元一次方程组的解为 则 a 2b 的值是 A 2B 2C 3D 3 13 已知 x y 满足方程组 则 x y 的值为 A 9B 7C 5D 3 14 甲队修路 120m 与乙队修路 100m 所用天数相同 已知甲队比乙队每天多 修 10m 设甲队每天修路 xm 依题意 下面所列方程正确的是 A B C D 15 为响应承办 绿色奥运 的号召 九年级 1 班全体师生义务植树 300 棵 原计划每小时植树 x 棵 但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨 实际工作效率提高为原计划的 1 2 倍 结果提前 20 分钟完成任务 则下面所列 方程中 正确的是 第 3 页 共 36 页 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 小题 16 已知 派派的妈妈和派派今年共 36 岁 再过 5 年 派派的妈妈的年龄是派 派年龄的 4 倍还大 1 岁 当派派的妈妈 40 岁时 则派派的年龄为 岁 17 已知是方程组的解 则 a2 b2 18 已知 x 1 是关于 x 的方程 ax2 2x 3 0 的一个根 则 a 19 方程 1 的解为 x 20 若关于 x 的分式方程 3 无解 则实数 m 21 不等式组的解集是 三 解答题 共三 解答题 共 19 小题 小题 22 嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式时 对于 b2 4ac 0 的情况 她是这样做的 由于 a 0 方程 ax2 bx c 0 变形为 x2 x 第一步 x2 x 2 2 第二步 x 2 第三步 x b2 4ac 0 第四步 x 第五步 嘉淇的解法从第 步开始出现错误 事实上 当 b2 4ac 0 时 方程 ax2 bx c 0 a O 的求根公式是 第 4 页 共 36 页 用配方法解方程 x2 2x 24 0 23 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程 随后用手掌捂住了如图所示的 一个二次三项式 形式如图 1 求所捂的二次三项式 2 若 x 1 求所捂二次三项式的值 24 某厂按用户的月需求量 x 件 完成一种产品的生产 其中 x 0 每件的 售价为 18 万元 每件的成本 y 万元 是基础价与浮动价的和 其中基础价保 持不变 浮动价与月需求量 x 件 成反比 经市场调研发现 月需求量 x 与 月份 n n 为整数 1 n 12 符合关系式 x 2n2 2kn 9 k 3 k 为常数 且 得到了表中的数据 月份 n 月 1 2 成本 y 万元 件 11 12 需求量 x 件 月 120 100 1 求 y 与 x 满足的关系式 请说明一件产品的利润能否是 12 万元 2 求 k 并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损 3 在这一年 12 个月中 若第 m 个月和第 m 1 个月的利润相差最大 求 m 25 某商场服装部销售一种名牌衬衫 平均每天可售出 30 件 每件盈利 40 元 为了扩大销售 减少库存 商场决定降价销售 经调查 每件降价 1 元时 平均每天可多卖出 2 件 1 若商场要求该服装部每天盈利 1200 元 每件衬衫应降价多少元 2 试说明每件衬衫降价多少元时 商场服装部每天盈利最多 26 如图 在 ABC 中 B 90 点 P 从点 A 开始 沿 AB 向点 B 以 1cm s 的 速度移动 点 Q 从 B 点开始沿 BC 以 2cm s 的速度移动 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 第 5 页 共 36 页 1 几秒后四边形 APQC 的面积是 31 平方厘米 2 若用 S 表示四边形 APQC 的面积 在经过多长时间 S 取得最小值 并求出 最小值 27 学校 百变魔方 社团准备购买 A B 两种魔方 已知购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元 购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同 1 求这两种魔方的单价 2 结合社员们的需求 社团决定购买 A B 两种魔方共 100 个 其中 A 种魔 方不超过 50 个 某商店有两种优惠活动 如图所示 请根据以上信息 说明 选择哪种优惠活动购买魔方更实惠 28 某地新建的一个企业 每月将生产 1960 吨污水 为保护环境 该企业计划 购置污水处理器 并在如下两个型号中选择 污水处理器型号 A 型 B 型 处理污水能力 吨 月 240 180 已知商家售出的 2 台 A 型 3 台 B 型污水处理器的总价为 44 万元 售出的 1 台 A 型 4 台 B 型污水处理器的总价为 42 万元 1 求每台 A 型 B 型污水处理器的价格 第 6 页 共 36 页 2 为确保将每月产生的污水全部处理完 该企业决定购买上述的污水处理器 那么他们至少要支付多少钱 29 近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响 空气质量问题倍受人们关 注 某单位计划在室内安装空气净化装置 需购进 A B 两种设备 每台 B 种 设备价格比每台 A 种设备价格多 0 7 万元 花 3 万元购买 A 种设备和花 7 2 万 元购买 B 种设备的数量相同 1 求 A 种 B 种设备每台各多少万元 2 根据单位实际情况 需购进 A B 两种设备共 20 台 总费用不高于 15 万 元 求 A 种设备至少要购买多少台 30 某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣 若甲机器人工作 2h 乙机器人 工作 4h 一共可以分拣 700 件包裹 若甲机器人工作 3h 乙机器人工作 2h 一共可以分拣 650 件包裹 1 求甲 乙两机器人每小时各分拣多少件包裹 2 双十一 期间 快递公司的业务量猛增 要让甲 乙两机器人每天分拣包 裹的总数量不低于 2250 件 它们每天至少要一起工作多少小时 31 根据要求 解答下列问题 方程 x2 2x 1 0 的解为 方程 x2 3x 2 0 的解为 方程 x2 4x 3 0 的解为 2 根据以上方程特征及其解的特征 请猜想 方程 x2 9x 8 0 的解为 关于 x 的方程 的解为 x1 1 x2 n 3 请用配方法解方程 x2 9x 8 0 以验证猜想结论的正确性 32 解方程 5 33 解方程 34 解方程组 第 7 页 共 36 页 35 解二元一次方程组 36 解方程 x 3 x 1 3 37 解分式方程 38 解方程 2 39 解不等式组 40 解不等式组 并将它的解集在数轴上表示出来 第 8 页 共 36 页 专题专题 方程与不等式方程与不等式 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 15 小题 小题 1 利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是 A 要消去 y 可以将 5 2B 要消去 x 可以将 3 5 C 要消去 y 可以将 5 3D 要消去 x 可以将 5 2 分析 方程组利用加减消元法求出解即可 解答 解 利用加减消元法解方程组 要消去 x 可以将 5 2 故选 D 点评 此题考查了解二元一次方程组 利用了消元的思想 消元的方法有 代入消元法与加减消元法 2 若关于 x 的方程 x2 2x a 0 不存在实数根 则 a 的取值范围是 A a 1B a 1C a 1D a 1 分析 根据根的判别式得出 b2 4ac 0 代入求出不等式的解集即可得到答 案 解答 解 关于 x 的方程 x2 2x a 0 不存在实数根 b2 4ac 22 4 1 a 0 解得 a 1 故选 B 点评 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式 关键是掌握一元二 次方程根的情况与判别式 的关系 1 0 方程有两个不相等的实数根 2 0 方程有两个相等的实数根 第 9 页 共 36 页 3 0 方程没有实数根 3 a b c 为常数 且 a c 2 a2 c2 则关于 x 的方程 ax2 bx c 0 根的情况 是 A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根 C 无实数根D 有一根为 0 分析 利用完全平方的展开式将 a c 2展开 即可得出 ac 0 再结合方程 ax2 bx c 0 根的判别式 b2 4ac 即可得出 0 由此即可得出结论 解答 解 a c 2 a2 c2 2ac a2 c2 ac 0 在方程 ax2 bx c 0 中 b2 4ac 4ac 0 方程 ax2 bx c 0 有两个不相等的实数根 故选 B 点评 本题考查了完全平方公式以及根的判别式 解题的关键是找出 b2 4ac 0 本题属于基础题 难度不大 解决该题型题目时 根据根的判别式 的符号 得出方程实数根的个数是关键 4 某服装进货价 80 元 件 标价为 200 元 件 商店将此服装打 x 折销售后仍 获利 50 则 x 为 A 5B 6C 7D 8 分析 根据利润 售价 进价 即可得出关于 x 的一元一次方程 解之即可得 出结论 解答 解 根据题意得 200 80 80 50 解得 x 6 故选 B 第 10 页 共 36 页 点评 本题考查了一元一次方程的应用 根据利润 售价 进价 列出关于 x 的一元一次方程是解题的关键 5 某车间有 27 名工人 生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品 每人每天生 产螺母 16 个或螺栓 22 个 若分配 x 名工人生产螺栓 其他工人生产螺母 恰 好使每天生产的螺栓和螺母配套 则下面所列方程中正确的是 A 22x 16 27 x B 16x 22 27 x C 2 16x 22 27 x D 2 22x 16 27 x 分析 设分配 x 名工人生产螺栓 则 27 x 名生产螺母 根据每天生产的螺 栓和螺母按 1 2 配套 可得出方程 解答 解 设分配 x 名工人生产螺栓 则 27 x 名生产螺母 一个螺栓套两个螺母 每人每天生产螺母 16 个或螺栓 22 个 可得 2 22x 16 27 x 故选 D 点评 本题考查了根据实际问题抽象一元一次方程 要保证配套 则生产的 螺母的数量是生产的螺栓数量的 2 倍 所以列方程的时候 应是螺栓数量的 2 倍 螺母数量 6 在解方程时 方程两边同时乘以 6 去分母后 正确的是 A 2x 1 6x 3 3x 1 B 2 x 1 6x 3 3x 1 C 2 x 1 x 3 3x 1 D x 1 x 3 x 1 分析 方程两边同时乘以 6 化简得到结果 即可作出判断 解答 解 方程两边同时乘以 6 得 2 x 1 6x 3 3x 1 故选 B 点评 此题考查了解一元一次方程 其步骤为 去分母 去括号 移项合并 第 11 页 共 36 页 把未知数系数化为 1 求出解 7 一个长方形的周长为 30cm 若这个长方形的长减少 1cm 宽增加 2cm 就可 成为一个正方形 设长方形的长为 xcm 可列方程为 A x 1 30 x 2B x 1 15 x 2C x 1 30 x 2D x 1 15 x 2 分析 根据长方形的周长公式 表示出长方形的宽 再由正方形的四条边都 相等得出等式即可 解答 解 长方形的长为 xcm 长方形的周长为 30cm 长方形的宽为 15 x cm 这个长方形的长减少 1cm 宽增加 2cm 就可成为一个正方形 x 1 15 x 2 故选 D 点评 本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程 解题的关键是表示出长 方形的宽 8 某商品每件的标价是 330 元 按标价的八折销售时 仍可获利 10 则这种 商品每件的进价为 A 240 元B 250 元C 280 元D 300 元 分析 设这种商品每件的进价为 x 元 则根据按标价的八折销售时 仍可获 利 l0 可得出方程 解出即可 解答 解 设这种商品每件的进价为 x 元 由题意得 330 0 8 x 10 x 解得 x 240 即这种商品每件的进价为 240 元 故选 A 点评 此题考查了一元一次方程的应用 属于基础题 解答本题的关键是根 据题意列出方程 难度一般 9 双 11 促销活动中 小芳的妈妈计划用 1000 元在唯品会购买价格分别为 80 第 12 页 共 36 页 元和 120 元的两种商品 则可供小芳妈妈选择的购买方案有 A 4 种B 5 种C 6 种 D 7 种 分析 设购买 80 元的商品数量为 x 购买 120 元的商品数量为 y 根据总费 用是 1000 元列出方程 求得正整数 x y 的值即可 解答 解 设购买 80 元的商品数量为 x 购买 120 元的商品数量为 y 依题意得 80 x 120y 1000 整理 得 y 因为 x 是正整数 所以当 x 2 时 y 7 当 x 5 时 y 5 当 x 8 时 y 3 当 x 11 时 y 1 即有 4 种购买方案 故选 A 点评 本题考查了二元一次方程的应用 对于此类问题 挖掘题目中的关系 找出等量关系 列出二元一次方程 然后根据未知数的实际意义求其整数解 10 小明到商店购买 五四青年节 活动奖品 购买 20 只铅笔和 10 本笔记本共 需 110 元 但购买 30 支铅笔和 5 本笔记本只需 85 元 设每支铅笔 x 元 每本 笔记本 y 元 则可列方程组 A B C D 分析 设每支铅笔 x 元 每本笔记本 y 元 根据购买 20 只铅笔和 10 本笔记 本共需 110 元 但购买 30 支铅笔和 5 本笔记本只需 85 元可列出方程组 解答 解 设每支铅笔 x 元 每本笔记本 y 元 根据题意得 故选 B 第 13 页 共 36 页 点评 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组 根据实际问题中的条 件列方程组时 要注意抓住题目中的一些关键性词语 找出等量关系 列出方 程组 11 已知方程组的解满足 x y 3 则 k 的值为 A 2B 2C 1D 1 分析 将方程组中两方程相减可得 x y 1 k 根据 x y 3 可得关于 k 的方程 解 之可得 解答 解 得 x y 1 k x y 3 1 k 3 解得 k 2 故选 B 点评 本题考查了二元一次方程组的解 同时满足二元一次方程组的两个方 程的未知数的值叫二元一次方程组的解 也考查了整体思想的运用 12 已知关于 x y 的二元一次方程组的解为 则 a 2b 的值是 A 2B 2C 3D 3 分析 把代入方程组 得出关于 a b 的方程组 求出方程组的解即 可 解答 解 把代入方程组得 解得 第 14 页 共 36 页 所以 a 2b 2 2 故选 B 点评 本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解 能得出关于 a b 的方程组是解此题的关键 13 已知 x y 满足方程组 则 x y 的值为 A 9B 7C 5D 3 分析 方程组两方程相加求出 x y 的值即可 解答 解 得 4x 4y 20 则 x y 5 故选 C 点评 此题考查了二元一次方程组的解 方程组的解即为能使方程组中两方 程都成立的未知数的值 14 甲队修路 120m 与乙队修路 100m 所用天数相同 已知甲队比乙队每天多 修 10m 设甲队每天修路 xm 依题意 下面所列方程正确的是 A B C D 分析 设甲队每天修路 xm 则乙队每天修 x 10 米 再根据关键语句 甲队 修路 120m 与乙队修路 100m 所用天数相同 可得方程 解答 解 设甲队每天修路 x m 依题意得 故选 A 点评 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程 关键是正确理解题意 找出题目中的等量关系 列出方程 15 为响应承办 绿色奥运 的号召 九年级 1 班全体师生义务植树 300 第 15 页 共 36 页 棵 原计划每小时植树 x 棵 但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨 实际工作效率提高为原计划的 1 2 倍 结果提前 20 分钟完成任务 则下面所列 方程中 正确的是 A B C D 分析 关键描述语为 提前 20 分钟完成任务 等量关系为 原计划用的时间 提前的时间 实际用的时间 解答 解 原计划植树用的时间应该表示为 而实际用的时间 为 那么方程可表示为 故选 A 点评 列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系 找到关键描述语 找到 等量关系是解决问题的关键 本题要注意时间的单位的统一 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 小题 16 已知 派派的妈妈和派派今年共 36 岁 再过 5 年 派派的妈妈的年龄是派 派年龄的 4 倍还大 1 岁 当派派的妈妈 40 岁时 则派派的年龄为 12 岁 分析 设今年派派的年龄为 x 岁 则妈妈的年龄为 36 x 岁 根据再过 5 年 派派的妈妈的年龄是派派年龄的 4 倍还大 1 岁 即可得出关于 x 的一元一次方 程 解之即可得出 x 的值 将其代入 36 x x 中可求出二者的年龄差 再用 40 减 去该年龄差即可求出当派派的妈妈 40 岁时派派的年龄 解答 解 设今年派派的年龄为 x 岁 则妈妈的年龄为 36 x 岁 根据题意得 36 x 5 4 x 5 1 解得 x 4 36 x x 28 40 28 12 岁 故答案为 12 第 16 页 共 36 页 点评 本题考查了一元一次方程的应用 根据再过 5 年派派的妈妈的年龄是 派派年龄的 4 倍还大 1 岁 列出关于 x 的一元一次方程是解题的关键 17 已知是方程组的解 则 a2 b2 1 分析 根据是方程组的解 可以求得 a b 和 a b 的值 从而 可以解答本题 解答 解 是方程组的解 解得 得 a b 得 a b 5 a2 b2 a b a b 5 1 故答案为 1 点评 本题考查二元一次方程组的解 解答本题的关键是明确二元一次方程 组的解得意义 巧妙变形 利用平方差公式解答 18 已知 x 1 是关于 x 的方程 ax2 2x 3 0 的一个根 则 a 1 分析 根据一元二次方程的解的定义 把 x 1 代入方程得到关于 a 的一次方 程 然后解一次方程即可 解答 解 把 x 1 代入方程 得 a 2 3 0 解得 a 1 故答案为 1 点评 本题考查了一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未 知数的值是一元二次方程的解 又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这 第 17 页 共 36 页 个方程的根 所以 一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 19 方程 1 的解为 x 2 分析 先把分式方程转化成整式方程 求出方程的解 再进行检验即可 解答 解 方程两边都除以 x 1 x 1 得 2 x 1 x 1 x 1 解得 x 2 或 1 经检验 x 1 不是原方程的解 x 2 是原方程的解 故答案为 2 点评 本题考查了解分式方程 能把分式方程转化成整式方程是解此题的关 键 20 若关于 x 的分式方程 3 无解 则实数 m 3 或 7 分析 分式方程无解的条件是 去分母后所得整式方程无解 或解这个整式 方程得到的解使原方程的分母等于 0 解答 解 方程去分母得 7 3 x 1 mx 整理 得 m 3 x 4 当整式方程无解时 m 3 0 m 3 当整式方程的解为分式方程的增根时 x 1 m 3 4 m 7 m 的值为 3 或 7 故答案为 3 或 7 点评 本题考查了分式方程无解的条件 是需要识记的内容 21 不等式组的解集是 1 x 3 分析 先求出不等式组中每一个不等式的解集 再求出它们的公共部分即可 第 18 页 共 36 页 求解 解答 解 解不等式 得 x 1 解不等式 得 x 3 故不等式组的解集为 1 x 3 故答案为 1 x 3 点评 考查了解一元一次不等式组 解集的规律 同大取大 同小取小 大 小小大中间找 大大小小找不到 三 解答题 共三 解答题 共 19 小题 小题 22 嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式时 对于 b2 4ac 0 的情况 她是这样做的 由于 a 0 方程 ax2 bx c 0 变形为 x2 x 第一步 x2 x 2 2 第二步 x 2 第三步 x b2 4ac 0 第四步 x 第五步 嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误 事实上 当 b2 4ac 0 时 方程 ax2 bx c 0 a O 的求根公式是 x 用配方法解方程 x2 2x 24 0 分析 第四步 开方时出错 把常数项 24 移项后 应该在左右两边同时加上 第 19 页 共 36 页 一次项系数 2 的一半的平方 解答 解 在第四步中 开方应该是 x 所以求根公式为 x 故答案是 四 x 用配方法解方程 x2 2x 24 0 解 移项 得 x2 2x 24 配方 得 x2 2x 1 24 1 即 x 1 2 25 开方得 x 1 5 x1 6 x2 4 点评 本题考查了解一元二次方程 配方法 用配方法解一元二次方程的步骤 1 形如 x2 px q 0 型 第一步移项 把常数项移到右边 第二步配方 左右 两边加上一次项系数一半的平方 第三步左边写成完全平方式 第四步 直接 开方即可 2 形如 ax2 bx c 0 型 方程两边同时除以二次项系数 即化成 x2 px q 0 然后配方 23 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程 随后用手掌捂住了如图所示的 一个二次三项式 形式如图 1 求所捂的二次三项式 第 20 页 共 36 页 2 若 x 1 求所捂二次三项式的值 分析 1 根据题意列出关系式 去括号合并即可得到结果 2 把 x 的值代入计算即可求出值 解答 解 1 设所捂的二次三项式为 A 根据题意得 A x2 5x 1 3x x2 2x 1 2 当 x 1 时 原式 7 2 2 2 1 6 点评 此题考查了整式的混合运算 化简求值 熟练掌握运算法则是解本题的 关键 24 某厂按用户的月需求量 x 件 完成一种产品的生产 其中 x 0 每件的 售价为 18 万元 每件的成本 y 万元 是基础价与浮动价的和 其中基础价保 持不变 浮动价与月需求量 x 件 成反比 经市场调研发现 月需求量 x 与 月份 n n 为整数 1 n 12 符合关系式 x 2n2 2kn 9 k 3 k 为常数 且 得到了表中的数据 月份 n 月 1 2 成本 y 万元 件 11 12 需求量 x 件 月 120 100 1 求 y 与 x 满足的关系式 请说明一件产品的利润能否是 12 万元 2 求 k 并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损 3 在这一年 12 个月中 若第 m 个月和第 m 1 个月的利润相差最大 求 m 分析 1 设 y a 将表中相关数据代入可求得 a b 根据 12 18 6 则 0 可作出判断 第 21 页 共 36 页 2 将 n 1 x 120 代入 x 2n2 2kn 9 k 3 可求得 k 的值 先由 18 6 求 得 x 50 根据 50 2n2 26n 144 可判断 3 第 m 个月的利润 W x 18 y 18x x 6 24 m2 13m 47 第 m 1 个月的利润为 W 24 m 1 2 13 m 1 47 24 m2 11m 35 分 情况作差结合 m 的范围 由一次函数性质可得 解答 解 1 由题意 设 y a 由表中数据可得 解得 y 6 由题意 若 12 18 6 则 0 x 0 0 不可能 2 将 n 1 x 120 代入 x 2n2 2kn 9 k 3 得 120 2 2k 9k 27 解得 k 13 x 2n2 26n 144 将 n 2 x 100 代入 x 2n2 26n 144 也符合 k 13 由题意 得 18 6 解得 x 50 50 2n2 26n 144 即 n2 13n 47 0 第 22 页 共 36 页 13 2 4 1 47 0 方程无实数根 不存在 3 第 m 个月的利润为 W W x 18 y 18x x 6 12 x 50 24 m2 13m 47 第 m 1 个月的利润为 W 24 m 1 2 13 m 1 47 24 m2 11m 35 若 W W W W 48 6 m m 取最小 1 W W 取得最大值 240 若 W W W W 48 m 6 由 m 1 12 知 m 取最大 11 W W 取得最大值 240 m 1 或 11 点评 本题主要考查二次函数的应用 理解题意准确梳理所涉变量 并熟练 掌握待定系数法求函数解析式 利润的相等关系列出解析式是解题的关键 25 某商场服装部销售一种名牌衬衫 平均每天可售出 30 件 每件盈利 40 元 为了扩大销售 减少库存 商场决定降价销售 经调查 每件降价 1 元时 平均每天可多卖出 2 件 1 若商场要求该服装部每天盈利 1200 元 每件衬衫应降价多少元 2 试说明每件衬衫降价多少元时 商场服装部每天盈利最多 分析 1 本题的关键语 每件降价 1 元时 平均每天可多卖出 2 件 设每 件应降价 x 元 用 x 来表示出商场所要求的每件盈利的数额量 然后根据盈利 1200 元来列出方程 2 根据 1 中的方程 然后按一元二次方程的特点 来求出最大值 解答 解 第 23 页 共 36 页 1 设每件应降价 x 元 由题意可列方程为 40 x 30 2x 1200 解得 x1 0 x2 25 当 x 0 时 能卖出 30 件 当 x 25 时 能卖出 80 件 根据题意 x 25 时能卖出 80 件 符合题意 不降价也能盈利 1200 元 符合题 意 因为要减少库存 所以应降价 25 元 答 每件衬衫应降价 25 元 2 设商场每天盈利为 W 元 W 40 x 30 2x 2x2 50 x 1200 2 x2 25x 1200 2 x 12 5 2 1512 5 当每件衬衫降价为 12 5 元时 商场服装部每天盈利最多 为 1512 5 元 点评 本题要读清题意 根据题目给出的关键语来列出方程 26 如图 在 ABC 中 B 90 点 P 从点 A 开始 沿 AB 向点 B 以 1cm s 的 速度移动 点 Q 从 B 点开始沿 BC 以 2cm s 的速度移动 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 1 几秒后四边形 APQC 的面积是 31 平方厘米 2 若用 S 表示四边形 APQC 的面积 在经过多长时间 S 取得最小值 并求出 最小值 第 24 页 共 36 页 分析 1 设经过 x 秒钟 可使得四边形 APQC 的面积是 31 平方厘米 根据 面积为 31 列出方程 求出方程的解即可得到结果 2 根据题意列出 S 关于 x 的函数关系式 利用函数的性质来求最值 解答 解 1 设经过 x 秒钟 可使得四边形 APQC 的面积是 31 平方厘米 根据题意得 BP BQ AB BC 31 即 6 x 2x 6 12 31 整理得 x 1 x 5 0 解得 x1 1 x2 5 答 经过 1 或 5 秒钟 可使得四边形 APQC 的面积是 31 平方厘米 2 依题意得 S四边形 APQC S ABC S BPQ 即 S AB BC BP BQ 6 12 6 x 2x x 3 2 27 0 x 6 当 x 3 0 即 x 3 时 S最小 27 答 经过 3 秒时 S 取得最小值 27 平方厘米 第 25 页 共 36 页 点评 此题考查了一元二次方程的应用 二次函数的性质 解题关键是要读 懂题目的意思 根据题目给出的条件 找出合适的等量关系 列出方程 再求 解 27 学校 百变魔方 社团准备购买 A B 两种魔方 已知购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元 购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同 1 求这两种魔方的单价 2 结合社员们的需求 社团决定购买 A B 两种魔方共 100 个 其中 A 种魔 方不超过 50 个 某商店有两种优惠活动 如图所示 请根据以上信息 说明 选择哪种优惠活动购买魔方更实惠 分析 按买 3 个 A 种魔方和买 4 个 B 种魔方钱数相同解答 1 设 A 种魔方的单价为 x 元 个 B 种魔方的单价为 y 元 个 根据 购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元 购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所 需款数相同 即可得出关于 x y 的二元一次方程组 解之即可得出结论 2 设购进 A 种魔方 m 个 0 m 50 总价格为 w 元 则购进 B 种魔方 100 m 个 根据两种活动方案即可得出 w活动一 w活动二关于 m 的函数关系 式 再分别令 w活动一 w活动二 w活动一 w活动二和 w活动一 w活动二 解出 m 的 取值范围 此题得解 按购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方需要 130 元解答 1 设 A 种魔方的单价为 x 元 个 B 种魔方的单价为 y 元 个 根据 购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元 购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所 需款数相同 即可得出关于 x y 的二元一次方程组 解之即可得出结论 第 26 页 共 36 页 2 设购进 A 种魔方 m 个 0 m 50 总价格为 w 元 则购进 B 种魔方 100 m 个 根据两种活动方案即可得出 w活动一 w活动二关于 m 的函数关系 式 再分别令 w活动一 w活动二 w活动一 w活动二和 w活动一 w活动二 解出 m 的 取值范围 此题得解 解答 按买 3 个 A 种魔方和买 4 个 B 种魔方钱数相同解答 解 1 设 A 种魔方的单价为 x 元 个 B 种魔方的单价为 y 元 个 根据题意得 解得 答 A 种魔方的单价为 20 元 个 B 种魔方的单价为 15 元 个 2 设购进 A 种魔方 m 个 0 m 50 总价格为 w 元 则购进 B 种魔方 100 m 个 根据题意得 w活动一 20m 0 8 15 100 m 0 4 10m 600 w活动二 20m 15 100 m m 10m 1500 当 w活动一 w活动二时 有 10m 600 10m 1500 解得 m 45 当 w活动一 w活动二时 有 10m 600 10m 1500 解得 m 45 当 w活动一 w活动二时 有 10m 600 10m 1500 解得 45 m 50 综上所述 当 m 45 时 选择活动一购买魔方更实惠 当 m 45 时 选择两种 活动费用相同 当 m 45 时 选择活动二购买魔方更实惠 按购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方需要 130 元解答 解 1 设 A 种魔方的单价为 x 元 个 B 种魔方的单价为 y 元 个 根据题意得 解得 答 A 种魔方的单价为 26 元 个 B 种魔方的单价为 13 元 个 第 27 页 共 36 页 2 设购进 A 种魔方 m 个 0 m 50 总价格为 w 元 则购进 B 种魔方 100 m 个 根据题意得 w活动一 26m 0 8 13 100 m 0 4 15 6m 520 w活动二 26m 13 100 m m 1300 当 w活动一 w活动二时 有 15 6m 520 1300 解得 m 50 当 w活动一 w活动二时 有 15 6m 520 1300 解得 m 50 当 w活动一 w活动二时 有 15 6m 520 1300 不等式无解 综上所述 当 0 m 50 时 选择活动一购买魔方更实惠 当 m 50 时 选择 两种活动费用相同 点评 本题考查了二元一次方程组的应用 一次函数的应用 解一元一次不 等式以及解一元一次方程 解题的关键是 1 找准等量关系 列出关于 x y 的二元一次方程组 2 根据两种活动方案找出 w活动一 w活动二关于 m 的函数关系式 28 某地新建的一个企业 每月将生产 1960 吨污水 为保护环境 该企业计划 购置污水处理器 并在如下两个型号中选择 污水处理器型号 A 型 B 型 处理污水能力 吨 月 240 180 已知商家售出的 2 台 A 型 3 台 B 型污水处理器的总价为 44 万元 售出的 1 台 A 型 4 台 B 型污水处理器的总价为 42 万元 1 求每台 A 型 B 型污水处理器的价格 2 为确保将每月产生的污水全部处理完 该企业决定购买上述的污水处理器 那么他们至少要支付多少钱 分析 1 可设每台 A 型污水处理器的价格是 x 万元 每台 B 型污水处理器 的价格是 y 万元 根据等量关系 2 台 A 型 3 台 B 型污水处理器的总价为 第 28 页 共 36 页 44 万元 1 台 A 型 4 台 B 型污水处理器的总价为 42 万元 列出方程组求解 即可 2 由于求至少要支付的钱数 可知购买 6 台 A 型污水处理器 3 台 B 型污水 处理器 费用最少 进而求解即可 解答 解 1 可设每台 A 型污水处理器的价格是 x 万元 每台 B 型污水处 理器的价格是 y 万元 依题意有 解得 答 每台 A 型污水处理器的价格是 10 万元 每台 B 型污水处理器的价格是 8 万元 2 购买 9 台 A 型污水处理器 费用为 10 9 90 万元 购买 8 台 A 型污水处理器 1 台 B 型污水处理器 费用为 10 8 8 80 8 88 万元 购买 7 台 A 型污水处理器 2 台 B 型污水处理器 费用为 10 7 8 2 70 16 86 万元 购买 6 台 A 型污水处理器 3 台 B 型污水处理器 费用为 10 6 8 3 60 24 84 万元 购买 5 台 A 型污水处理器 5 台 B 型污水处理器 费用为 10 5 8 5 50 40 第 29 页 共 36 页 90 万元 购买 4 台 A 型污水处理器 6 台 B 型污水处理器 费用为 10 4 8 6 40 48 88 万元 购买 3 台 A 型污水处理器 7 台 B 型污水处理器 费用为 10 3 8 7 30 56 86 万元 购买 2 台 A 型污水处理器 9 台 B 型污水处理器 费用为 10 2 8 9 20 72 92 万元 购买 1 台 A 型污水处理器 10 台 B 型污水处理器 费用为 10 1 8 10 10 90 90 万元 购买 11 台 B 型污水处理器 费用为 8 11 88 万元 故购买 6 台 A 型污水处理器 3 台 B 型污水处理器 费用最少 答 他们至少要支付 84 万元钱 点评 本题考查二元一次方程组的应用 解决本题的关键是读懂题意 找到 符合题意的不等关系式及所求量的等量关系 29 近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响 空气质量问题倍受人们关 注 某单位计划在室内安装空气净化装置 需购进 A B 两种设备 每台 B 种 设备价格比每台 A 种设备价格多 0 7 万元 花 3 万元购买 A 种设备和花 7 2 万 元购买 B 种设备的数量相同 第 30 页 共 36 页 1 求 A 种 B 种设备每台各多少万元 2 根据单位实际情况 需购进 A B 两种设备共 20 台 总费用不高于 15 万 元 求 A 种设备至少要购买多少台 分析 1 设每台 A 种设备 x 万元 则每台 B 种设备 x 0 7 万元 根据数 量 总价 单价结合花 3 万元购买 A 种设备和花 7 2 万元购买 B 种设备的数量相 同 即可得出关于 x 的分式方程 解之并检验后即可得出结论 2 设购买 A 种设备 m 台 则购买 B 种设备 20 m 台 根据总价 单价 数 量结合总费用不高于 15 万元 即可得出关于 m 的一元一次不等式 解之即可 得出 m 的取值范围 取其内的最小正整数即可 解答 解 1 设每台 A 种设备 x 万元 则每台 B 种设备 x 0 7 万元 根据题意得 解得 x 0 5 经检验 x 0 5 是原方程的解 x 0 7 1 2 答 每台 A 种设备 0 5 万元 每台 B 种设备 1 2 万元 2 设购买 A 种设备 m 台 则购买 B 种设备 20 m 台 根据题意得 0 5m 1 2 20 m 15 解得 m m 为整数 m 13 答 A 种设备至少要购买 13 台 点评 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用 解题的关键 是 1 根据数量 总价 单价结合花 3 万元购买 A 种设备和花 7 2 万元购买 B 种设备的数量相同 列出关于 x 的分式方程 2 根据总价 单价 数量结 合总费用不高于 15 万元 列出关于 m 的一元一次不等式 30 某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣 若甲机器人工作 2h 乙机器人 第 31 页 共 36 页 工作 4h 一共可以分拣 700 件包裹 若甲机器人工作 3h 乙机器人工作 2h 一共可以分拣 650 件包裹 1 求甲 乙两机器人每小时各分拣多少件包裹 2 双十一 期间 快递公司的业务量猛增 要让甲 乙两机器人每天分拣包 裹的总数量不低于 2250 件 它们每天至少要一起工作多少小时 分析 1 设甲 乙两机器人每小时各分拣 x 件 y 件包裹 根据 若甲机器 人工作 2h 乙机器人工作 4h 一共可以分拣 700 件包裹 若甲机器人工作 3h 乙机器人工作 2h 一共可以分拣 650 件包裹 列出方程组 求解即可 2 设它们每天要一起工作 t 小时 根据 甲 乙两机器人每天分拣包裹的总 数量不低于 2250 件 列出不等式 求解即可 解答 解 1 设甲 乙两机器人每小时各分拣 x 件 y 件包裹 根据题意 得 解得 答 甲 乙两机器人每小时各分拣 150 件 100 件包裹 2 设它们每天要一起工作 t 小时 根据题意得 150 100 t 2250 解得 t 9 答 它们每天至少要一起工作 9 小时 点评 本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用 解决 问题的关键是读懂题意 找到关键描述语 找到所求的量的关系 31 根据要求 解答下列问题 方程 x2 2x 1 0 的解为 x1 x2 1 方程 x2 3x 2 0 的解为 x1 1 x2 2 方程 x2 4x 3 0 的解为 x1 1 x2 3 2 根据以上方程特征及其解的特征 请猜想 第 32 页 共 36 页 方程 x2 9x 8 0 的解为 1 8 关于 x 的方程 x2 1 n x n 0 的解为 x1 1 x2 n 3 请用配方法解方程 x2 9x 8 0 以验证猜想结论的正确性 分析 1 利用因式分解法解各方程即可 2 根据以上方程特征及其解的特征 可判定方程 x2 9x 8 0 的解为 1 和 8 关于 x 的方程的解为 x1 1 x2 n 则此一元二次方程的二次项系数为