2011高考数学复习资料汇编：第13单元 新课标4系列选考内容（真题解析+最新模拟）

用心 爱心 专心 1 20112011 年最新高考年最新高考 最新模拟最新模拟 新课标选考内容新课标选考内容 1 2010 湖南文数 极坐标cosp 和参数方程 1 2 xt yt t 为参数 所表示的图形分 别是 A 直线 直线 B 直线 圆 C 圆 圆 D 圆 直线 答案 D D 2 2010 重庆理数 2 2 41 lim 42 x xx A 1 B 1 4 C 1 4 D 1 答案 B 解析 2 2 41 lim 42 x xx 4 1 2 1 2 4 2 limlim 2 2 2 xxx x xx 3 2010 北京理数 极坐标方程 p 1 p 0 表示的图形是 A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 答案 C 4 2010 湖南理数 4 2 1dx x 等于 A 2ln2 B 2ln2 C ln2 D ln2 用心 爱心 专心 2 5 2010 湖南理数 极坐标方程cos 和参数方程 1 23 xt yt t为参数 所表示的图 形分别是 A 圆 直线 B 直线 圆 C 圆 圆 D 直线 直线 6 2010 安徽理数 设曲线C的参数方程为 23cos 1 3sin x y 为参数 直线l的方程 为320 xy 则曲线C上到直线l距离为 7 10 10 的点的个数为 A 1B 2C 3D 4 答案 B 解析 化曲线C的参数方程为普通方程 22 2 1 9xy 圆心 2 1 到直线 320 xy 的距离 23 1 2 7 103 1010 d 直线和圆相交 过圆心和l平行 的直线和圆的 2 个交点符合要求 又 7 107 10 3 1010 在直线l的另外一侧没有圆上的点 符合要求 所以选 B 7 2010 上海文数 行列式 cossin 66 sincos 66 的值是 答案 0 5 解析 考查行列式运算法则 cossin 66 sincos 66 2 1 3 cos 6 sin 6 sin 6 cos 6 cos 用心 爱心 专心 3 8 2010 陕西文数 1 不等式选做题 不等式21x 3 的解集为 答案 12xx 解析 213123312 xxx 2 几何证明选做题 如图 已知 Rt ABC的两条直角边AC BC的长分别为 3cm 4cm 以AC为直径的圆与AB交于点D 则BD cm 答案 16 5 解析 ABCD 由直角三角形射影定理可得 5 16 BD5 BA4 BC 2 所以又BABDBC 3 坐标系与参数方程选做题 参数方程 cos 1 sin x y 为参数 化成普通方程为 答案 x2 y 1 2 1 解析 1sincos 1 2222 yx 9 2010 北京理数 如图 OA的弦 ED CB 的延长线交于 点 A 若 BD AE AB 4 BC 2 AD 3 则 DE CE 答案 5 2 7 10 2010 天津文数 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB 1 PD 3 则 BC AD 的值为 答案 1 3 解析 本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性 质 属于容易题 因为 A B C D 四点共圆 所以 DABPCBCDAPBC 因为P 为公共角 所以 PBC PAB 所以 BCPB ADPD 1 3 温馨提示 四点共圆时四边形对角互补 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重 要内容 也是考查的热点 用心 爱心 专心 4 11 2010 天津理数 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB1 PC1 PA2 PD3 则 BC AD 的值为 答案 6 6 解析 本题主要考查四点共圆的性质与相似三角 形的性质 属于中等题 因为 A B C D 四点共圆 所以 DABPCBCDAPBC 因为P 为公共角 所以 PBC PAB 所以 PBPCBC PDPAAD 设 OB x PC y 则有 6 322 xyy x yx 所以 6 36 BCx ADy 温馨提示 四点共圆时四边形对角互补 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重 要内容 也是考查的热点 12 2010 天津理数 已知圆 C 的圆心是直线 1 1 x t yt 为参数 与 x 轴的交点 且圆 C 与直线 x y 3 0 相切 则圆 C 的方程为 答案 22 1 2xy 解析 本题主要考查直线的参数方程 圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识 属于 容易题 令 y 0 得 t 1 所以直线 1 xt yt 与 x 轴的交点为 1 0 因为直线与圆相切 所以圆心到直线的距离等于半径 即 1 03 2 2 r 所以圆 C 的方程为 22 1 2xy 温馨提示 直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解 13 2010 广东理数 在极坐标系 0 2 中 曲线 2sin 与 cos1p 的交点的极坐标为 用心 爱心 专心 5 答案 3 2 4 解析 由极坐标方程与普通方程的互化式 cos sin x y 知 这两条曲线的普通方程分别为 22 2 1xyy x 解得 1 1 x y 由 cos sin x y 得点 1 1 的极坐标为 3 2 4 14 2010 广东理数 如图 3 AB CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦 它们相交于 AB 的中 点 P PD 2 3 a OAP 30 则 CP 答案 9 8 a 解析 因为点 P 是 AB 的中点 由垂径定理知 OPAB 在Rt OPA 中 3 cos30 2 BPAPaa 由相交线定理知 BP APCP DP 即 332 223 aaCPa 所以 9 8 CPa 15 2010 广东文数 如图 在直角 梯形 ABCD 中 DC AB CB AB AB AD a CD 2 a 点 E F 分别为线段 AB AD 的中点 则 EF 答案 2 a 解析 连结 DE 可知 AED 为直角三角形 则 EF 是 DEARt 斜边上的中线 等于斜边的 一半 为2 a 用心 爱心 专心 6 16 2010 辽宁理数 如图 ABC 的角平分线 AD 的延长线交 它的外接圆于点 E I 证明 ABE ADC II 若ABC 的面积AEADS 2 1 求BAC 的大小 证明 由已知条件 可得BAECAD 因为AEBACB 与是同弧上的圆周角 所以 AEBACD 故 ABE ADC 因为 ABE ADC 所以 ABAD AEAC 即 AB AC AD AE 又 S 1 2 AB ACsinBAC 且 S 1 2 AD AE 故 AB ACsinBAC AD AE 则 sinBAC 1 又BAC 为三角形内角 所以BAC 90 17 2010 辽宁理数 已知 P 为半圆C 为参数 0 上的点 点 A 的坐标为 1 0 O 为坐标原点 点 M 在射线 OP 上 线段 OM 与 C 的弧的长度均为 3 I 以 O 为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求点 M 的极坐标 II 求直线 AM 的参数方程 解 由已知 M 点的极角为 3 且 M 点的极径等于 3 故点 M 的极坐标为 3 3 M 点的直角坐标为 3 66 A 0 1 故直线 AM 的参数方程为 1 1 6 3 6 xt yt t 为参数 18 2010 辽宁理数 已知cba 均为正数 证明 36 111 2222 cba cba 并确定cba 为何值时 等号成立 证明 证法一 因为 a b c 均为正数 由平均值不等式得 用心 爱心 专心 7 2 222 3 1 3 3 111 3 abcabc abc abc 所以 2 2 3 111 9 abc abc 故 22 2222 33 111 3 9 abcabcabc abc 又 22 33 3 9 2 276 3abcabc 所以原不等式成立 当且仅当 a b c 时 式和 式等号成立 当且仅当 22 33 3 9 abcabc 时 式等号 成立 即当且仅当 a b c 1 4 3时 原式等号成立 证法二 因为 a b c 均为正数 由基本不等式得 22 22 22 2 2 2 abab bcbc caac 所以 222 abcabbcac 同理 222 111111 abcabbcac 故 2222 111 abc abc 111 333 6 3 abbcac abbcac 所以原不等式成立 当且仅当 a b c 时 式和 式等号成立 当且仅当 a b c 222 3abbcac 时 式等号成立 即当且仅当 a b c 1 4 3时 原式等号成立 19 2010 福建理数 1 已知矩阵 M 1 1 a b 2 0 c N d 且 20 20 MN 求实数 a b c d的值 求直线3yx 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程 用心 爱心 专心 8 2 在直角坐标系 xoy 中 直线l的参数方程为 2 3 2 2 5 2 xt yt t 为参数 在极坐标系 与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位 且以原点 O 为极点 以 x 轴正半轴为极轴 中 圆 C 的方程为2 5sin 求圆 C 的直角坐标方程 设圆 C 与直线l交于点 A B 若点 P 的坐标为 3 5 求 PA PB 3 已知函数 f xxa 若不等式 3f x 的解集为 15xx 求实数a的值 在 的条件下 若 5 f xf xm 对一切实数 x 恒成立 求实数 m 的取值范 围 解 1 由题设得 02 20 02 20 c ad bc bd 解得 1 1 2 2 a b c d 因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线 或点 所以可取直线3yx 上的两 0 0 1 3 由 0 0 11 11 0 0 1 3 11 11 2 2 得 点 0 0 1 3 在矩阵 M 所对应 的线性变换下的像是 0 0 2 2 从而 直线3yx 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为yx 2 由2 5sin 得 22 2 50 xyy 即 22 5 5 xy 将l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 得 22 22 3 5 22 tt 即 2 3 240 tt 由于 2 3 2 4 420 故可设 12 t t是上述方程的两实根 所以 12 1 2 3 2 3 5 4 tt lP t t 又直线过点故由上式及 t 的几何意义得 用心 爱心 专心 9 PA PB 12 t t 12 t t 3 2 3 由 3f x 得 3xa 解得33axa 又已知不等式 3f x 的解集为 15xx 所以 31 35 a a 解得2a 当2a 时 2 f xx 设 5 g xf xf x 于是 x 2 3 g xx 21 2 xx x xx 所以 当x5 当 3x2 时 g x 5 当x 2时 g x 5 20 2010 江苏卷 1 AB 是圆 O 的直径 D 为圆 O 上一 点 过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C 若 DA DC 求证 AB 2BC 解 本题主要考查三角形 圆的有关知识 考查推理论证能 力 方法一 证明 连结 OD 则 OD DC 又 OA OD DA DC 所以 DAO ODA DCO DOC DAO ODA 2 DCO 所以 DCO 300 DOC 600 所以 OC 2OD 即 OB BC OD OA 所以 AB 2BC 方法二 证明 连结 OD BD 因为 AB 是圆 O 的直径 所以 ADB 900 AB 2 OB 因为 DC 是圆 O 的切线 所以 CDO 900 又因为 DA DC 所以 DAC DCA 于是 ADB CDO 从而 AB CO 即 2OB OB BC 得 OB BC 故 AB 2BC 2 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 设 k 为非零实数 矩 阵 M 10 0k N 01 10 点 A B C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1 B1 C1 B O C A D 用心 爱心 专心 10 A1B1C1的面积是 ABC 面积的 2 倍 求 k 的值 解 由题设得 0010 011010 kk MN 由 002200 10001022 kk 可知 A1 0 0 B1 0 2 C1 k 2 计算得 ABC 面积的面积是 1 A1B1C1的面积是 k 则由题设知 2 12k 所以 k 的值为 2 或 2 3 在极坐标系中 已知圆 2cos 与直线 3 cos 4 sin a 0 相切 求实数 a 的 值 解 2 2 cos 圆 2cos 的普通方程为 2222 2 1 1xyx xy 直线 3 cos 4 sin a 0 的普通方程为 340 xya 又圆与直线相切 所以 22 3 14 0 1 34 a 解得 2a 或8a 4 设