上海市松江区2010年高三数学高考模拟考试（理） 沪教版 新课标

用心 爱心 专心 上海市松江区上海市松江区 20102010 年高考模拟数学 理科 试卷年高考模拟数学 理科 试卷 完成时间 120 分钟 满分 150 分 2010 4 一 填空题一 填空题 每小题每小题 4 4 分分 满分满分 5656 分分 1 设集合 2 21 Ay yxxRBy yxxR 则集合AB 2 方程 3lg lg xx 1 的解是 x 3 设函数 2 1 0 2 0 xx f x xx 那么 1 10 f 4 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆的面积为 则球的表面积为 5 设复数 12 2 34zai zi 若 1 2 z R z 则实数a 6 在极坐标系中 若直线l的方程是1 6 sin 点P的坐标为 2 则点P到直 线l的距离 d 7 设口袋中有黑球 白球共 7 个 从中任取 2 个球 已知取到白球个数的数学期望值为 6 7 则口袋中白球的个数为 8 右图是计算 1111 1 22 33 42009 2010 的程序框图 为了得到正确的结果 在判断框中应该填 入的条件是 9 已知 9 2 2 2 x 展开式的第 7 项为 4 21 则 23 lim n n xxxx 10 已知圆C过双曲线1 169 22 yx 的一个顶点和一个 焦点 且圆心C在此双曲线上 则圆心C到双曲线中心的距离是 11 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差 那么称这个正整数为 神秘数 介 于 1 到 200 之间的所有 神秘数 之和为 12 汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限 年均消耗费用 年均成本费 年均维 修费 设某种汽车的购车的总费用为 50000 元 使用中每年的保险费 养路费及汽油费合 用心 爱心 专心 计为 6000 元 前x年的总维修费y满足 2 yaxbx 已知第一年的维修费为 1000 元 前 二年总维修费为 3000 元 则这种汽车的最佳使用年限为 13 设函数 F x和 f x都在区间D上有定义 若对D的任意子区间 u v 总有 u v上 的实数p和q 使得不等式 F uF v f pf q uv 成立 则称 F x是 f x在区间 D上的甲函数 f x是 F x在区间D上的乙函数 已知 2 3 F xxx xR 那么 F x的乙函数 f x 14 已知数列 n a满足 ma 1 m为正整数 1 2 31 n n n nn a a a aa 当为偶数时 当为奇数时 若 4 7a 则m所有可能的取值为 二 选择题二 选择题 每小题每小题 4 4 分分 共共 1616 分分 15 设 a bR 则 2ab 且1ab 是 1a 且1b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 16 将函数 100 2cos1 1sin3 x x xf 的图像向右平移 0 aa个单位 所得图像的函数为 偶函数 则a的最小值为 A 6 5 B 3 2 C 3 D 6 17 已知集合 CzRbazbiazbiazA 02 CzzzB 1 若 BA 则a b之间的关系是 A 1 22 ba B 1 22 ba C 1 ba D 1 ba 18 若函数 1 0 1 aaaakxf xx 在R上既是奇函数 又是减函数 则 log kxxg a 的图像是 用心 爱心 专心 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 7878 分 分 19 本题 14 分 其中第 1 小题 8 分 第 2 小题 6 分 如图所示 在一条海防警戒线上的点A B C处各有一个水声监测点 B C两点 到点A的距离分别为20千米和50千米 某时刻 B收到发自静止目标P的一个声波信号 8 秒后A C两点同时接收到该声波信号 已知声波在水中的传播速度是1 5千米 秒 1 设A到P的距离为x千米 用x表示B C到P的距离 并求x的值 2 求P到海防警戒线AC的距离 结果精确到0 01千米 20 本题 14 分 其中第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 设在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 2ABACAA 90BAC E F依次为 1 C C BC的中点 1 求异面直线 1 AB EF所成角 的大小 用反三角函 数值表示 2 求点 1 B到平面AEF的距离 21 本题 16 分 其中第 1 小题 8 分 第 2 小题 8 分 已知椭圆E的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 长轴是短轴的 2 倍 且椭圆E过点 2 2 2 斜率为k的直线l过点 0 2 A n 为直线l的一个法向量 坐标平面上的点B满 足条件n ABn 用心 爱心 专心 1 写出椭圆E方程 并求点B到直线l的距离 2 若椭圆E上恰好存在 3 个这样的点B 求k的值 22 本题满分 16 分 其中第 1 小题 4 分 第 2 小题 8 分 第 3 小题 4 分 设 nn b a是两个数列 2 1 2 2 1 nn n BaAM nnn 为直角坐标平面上的点 对 Nn 若三点 nn BAM 共线 1 求数列 n a的通项公式 2 若数列 n b 满足 n nn n aaa bababa c 21 2211 2 log 其中 n c是第三项为 8 公比为 4 的等比数列 求证 点列 1 P 1 2 221nn bnPbPb 在同一条直线上 3 记数列 n a n b 的前m项和分别为 m A和 m B 对任意自然数n 是否总存在与n相 关的自然数m 使得 mnmn AbBa 若存在 求出m与n的关系 若不存在 请说明理 由 23 本题满分 18 分 第 1 题 5 分 第 2 题 8 分 第 3 题 5 分 设函数 f x的定义域为D 值域为B 如果存在函数 xg t 使得函数 yf g t 的值域仍然是B 那么 称函数 xg t 是函数 f x的一个等值域变换 1 判断下列 xg t 是不是 f x的一个等值域变换 说明你的理由 A 2 f xxb xR Rttttgx 32 2 B 2 1 f xxxxR 2 t xg ttR 2 设 2 logf xx 的值域 1 3 B 已知 2 2 3 1 mttn xg t t 是 f x的一个等值域 变换 且函数 f g t的定义域为R 求实数 m n的值 3 设函数 f x的定义域为D 值域为B 函数 g t的定义域为 1 D 值域为 1 B 写出 xg t 是 f x的一个等值域变换的充分非必要条件 不必证明 并举例说明条件的不必 要性 用心 爱心 专心 松江区松江区 20102010 年高考模拟数学 理科 试卷年高考模拟数学 理科 试卷 参考答案参考答案 完成时间 120 分钟 满分 150 分 2010 4 一 填空题一 填空题 1 B 或 0 2 2 3 3 4 8 5 2 3 6 2 7 3 8 2008 i 答案不唯一 9 10 3 16 11 2500 12 10 1 4 13 32 x 14 56 9 二 选择题二 选择题 15 B 16 D 17 B 18 A 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 7878 分 分 19 本题 14 分 其中第 1 小题 8 分 第 2 小题 6 分 如图所示 在一条海防警戒线上的点A B C处各有一个水声监测点 B C两点 到点A的距离分别为20千米和50千米 某时刻 B收 到发自静止目标P的一个声波信号 8 秒后A C同 时接收到该声波信号 已知声波在水中的传播速度是 1 5千米 秒 1 设A到P的距离为x千米 用x表示B C到P的距离 并求x的值 2 求P到海防警戒线AC的距离 结果精确到0 01千米 解 1 依题意 有xPCPA 1285 1 xxPB 2 分 在 PAB 中 AB 20 ABPA PBABPA PAB 2 cos 222 x x x xx 5 323 202 12 20 222 4 分 同理 在 PAB 中 AC 50 用心 爱心 专心 ACPA PCACPA PAC 2 cos 222 xx xx25 502 50 222 6 分 coscosPACPAB xx x25 5 323 解之 得31 x 8 分 2 作 PDD AC于 在 ADP 中 由 31 25 cos PAD 得 31 214 cos1sin 2 PADPAD 12 分 33 18214 31 214 31sin APDPAPD千米 答 静止目标P到海防警戒线AC的距离为33 18千米 14 分 20 本题 14 分 其中第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 设在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 2ABACAA 90BAC E F依次为 1 C C BC的中点 1 求异面直线 1 AB EF所成角 的大小 用反三角函 数值表示 2 求点 1 B到平面AEF的距离 解 以 A 为原点建立如图空间坐标系 则各点坐标为 2 0 0 1 A 0 0 2 B 2 0 2 1 B 1 2 0 E 0 1 1 F 2 分 1 2 0 2 1 BA 1 1 1 EF 3 6 322 4 cos 1 1 EFBA EFBA 3 6 arccos 6 分 2 设平面AEF的一个法向量为 cban 1 2 0 AE 0 1 1 AF 由 0 0 AFn AEn 得 0 02 ba cb 令1 a 可得 2 1 1 n 10 分 2 0 2 1 AB 6 6 6 1 n nBA d 13 分 用心 爱心 专心 点 1 B到平面AEF的距离为6 14 分 21 本题 16 分 其中第 1 小题 8 分 第 2 小题 8 分 已知椭圆E的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 长轴是短轴的 2 倍 且椭圆E过点 2 2 2 斜率为k的直线l过点 0 2 A n 为直线l的一个法向量 坐标平面上的点B满 足条件n ABn 1 写出椭圆E方程 并求点B到直线l的距离 2 若椭圆E上恰好存在 3 个这样的点B 求k的值 解 1 由题意得 1 2 1 2 2 22 ba ba 解得 1 4 22 ba 3 分 椭圆E方程为 1 4 2 2 y x 4 分 直线l的方程为2 kxy 其一个法向量 1 kn 设点 B 的坐标为 00 yxB 由 2 00 yxAB及n ABn 得 2 00 12kykx 6 分 00 yxB到直线2 kxy的距离为1 1 2 2 00 k ykx d 8 分 2 由 1 知 点 B 是椭圆E上到直线l的距离为 1 的点 即与直线l的距离为 1 的二条平 行线与椭圆E恰好有三个交点 设与直线l平行的直线方程为tkxy 由 1 4 2 2 y x tkxy 得4 4 22 tkxx 即0448 41 222 tktxxk 41 16 44 41 464 222222 tktktk 10 分 当0 时 4 1 2 2 t k 又由两平行线间的距离为 1 可得1 1 2 2 k t 把 代入 得 4 1 1 2 2 2 t t 即013163 2 tt 0 1 133 tt 用心 爱心 专心 即1 t 或 3 13 t 12 分 当1 t时 代入 得0 k 代回 得1 t或3 t 当0 k 3 t时 由 知0 此时两平行线1 y和3 y与椭圆E只有一个交点 不合题意 14 分 当 3 13 t时 代入 得 3 102 k 代回 得 3 13 t或 3 1 t 当 3 102 k 3 1 t时 由 知0 此时两平行线 3 13 3 102 xy和 3 1 3 102 xy 与椭圆E有三个交点 3 102 k 16 分 22 本题满分 16 分 其中第 1 小题 4 分 第 2 小题 8 分 第 3 小题 4 分 设 nn b a是两个数列 点 2 1 2 2 1 nn n BaAM nnn 为直角坐标平面上的点 对 Nn 若三点 nn BAM 共线 1 求数列 n a的通项公式 2 若数列 n b 满足 n nn n aaa bababa c 21 2211 2 log 其中 n c是第三项为 8 公比为 4 的等比数列 求证 点列 1 P 1 2 221nn bnPbPb 在同一条直线上 3 记数列 n a n b 的前m项和分别为 m A和 m B 对任意自然数n 是否总存在与n相 关的自然数m 使得 mnmn AbBa 若存在 求出m与n的关系 若不存在 请说明理 由 解 1 因三点 nn BAM 共线 1 1 2 2 12 2 n n n an 2 分 得 1 22 nan故数列 n a的通项公式为 nan2 4 分 2 由题意 323 248 nn n c 1 2 22 21 nn nn aaa n 由题意得 n nn n nn aaa bababa naaa bababa n c 21 2211 21 2211 22 2 32 6 分 32 21 2211 n nn aaa bababa n 32 1 2211 nnnbababa nn 用心 爱心 专心 当2 n时 86 52 1 32 1 nnnnnnnnba nn 8 分 nan2 43 nbn 当 n 1 时 1 1 b 也适合上式 43 nbn Nn 10 分 因为两点 n PP 1 的斜率3 1 3 1 1 1 n n n bb K n Nn 为常数 所以点列 1 P 1 2 221nn bnPbPb 在同一条直线上 12 分 3 由nan2 得mm mm mAm 2 2 2 1 2 43 nbn 得mm mm mBm 2 5 2 3 3 2 1 2 14 分 若 mnmn AbBa 则 43 2 5 2 3 2 22 mmnmmnAbBa mnmn 21 4nmm 1 m 12 nm 对任意自然数n 当12 nm时 总有 mnmn AbBa 成立 16 分 23 本题满分 18 分 第 1 题 5 分 第 2 题 8 分 第 3 题 5 分 设函数 xfy 的定义域为D 值域为B 如果存在函数 xg t 使得函数 yf g t 的值域仍然是B 那么 称函数 xg t 是函数 xfy 的一个等值域变换 1 判断下列 xg t 是不是 xfy 的一个等值域变换 说明你的理由 A 2 f xxb xR 2 23 xtttR B 2 1 f xxxxR 2 t xg ttR 2 设 2 logf xx 的值域 1 3 B 已知 2 2 3 1 mttn xg t t 是 xfy 的一个等 值域变换 且函数 f g t的定义域为R 求实数 m n的值 3 设函数 xfy 的定义域为D 值域为B 函数 g t的定义域为 1 D 值域为 1 B 写 出 xg t 是 xfy 的一个等值域变换的充分非必要条件 不必证明 并举例说明条件 的不必要性 解 1 A 函数 2 f xxb xR 的值域为R 22 23 1 22xttt 2 2