初中数学竞赛辅导资料(初一用)

第 1 页 共 49 页 初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料 第一讲第一讲 数的整除数的整除 一 内容提要 一 内容提要 如果整数 A 除以整数 B B 0 所得的商 A B 是整数 那么叫做 A 被 B 整除 0 能被所有非零的整 数整除 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2 或 5末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25末两位数能被 4 或 25 整除 8 或 125末三位数能被 8 或 125 整除 3 或 9各位上的数字和被 3 或 9 整除 如 771 54324 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减 其差能被 11 整除 如 143 1859 1287 等 7 11 13从右向左每三位为一段 奇数段的各数和与偶数段的各数和相减 其差能被 7 或 11 或 13 整除 如 1001 22743 17567 21281 等 能被 7 整除的数的特征 抹去个位数 减去原个位数的 2 倍 其差能被 7 整除 如 1001 100 2 98 能被 7 整除 又如 7007 700 14 686 68 12 56 能被 7 整除 能被 11 整除的数的特征 抹去个位数 减去原个位数 其差能被 11 整除 如 1001 100 1 99 能 11 整除 又如 10285 1028 5 1023 102 3 99 能 11 整除 二 例题二 例题 例 1 已知两个三位数 328 和的和仍是三位数且能被 9 整除 92x75y 求 x y 解 x y 都是 0 到 9 的整数 能被 9 整除 y 6 75y 328 567 x 392x 例 2 已知五位数能被 12 整除 求x1234x 解 五位数能被 12 整除 必然同时能被 3 和 4 整除 当 1 2 3 4 能被 3 整除时 x 2 5 8x 当末两位能被 4 整除时 0 4 84xx 8x 例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数 解 五位数字都不相同的最小五位数是 10234 但 1 2 4 0 3 4 不能被 11 整除 只调整末位数仍不行 调整末两位数为 30 41 52 63 均可 五位数字都不相同的最小五位数是 10263 练习一练习一 1 分解质因数 写成质因数为底的幂的连乘积 第 2 页 共 49 页 756 1859 1287 3276 10101 10296 2 若四位数能被 3 整除 那么 a a987 3 若五位数能被 11 整除 那么 12 34xx 4 当 m 时 能被 25 整除535m 5 当 n 时 能被 7 整除n9610 6 能被 11 整除的最小五位数是 最大五位数是 7 能被 4 整除的最大四位数是 能被 8 整除的最大四位数是 8 8 个数 125 756 1011 2457 7855 8104 9152 70972 中 能被下列各数 整除的有 填上编号 6 8 9 11 9 从 1 到 100 这 100 个自然数中 能同时被 2 和 3 整除的共 个 能被 3 整除但不是 5 的倍数的 共 个 10 由 1 2 3 4 5 这五个自然数 任意调换位置而组成的五位数中 不能被 3 整除的数共有几个 为什么 11 已知五位数能被 15 整除 试求 A 的值 A1234 12 求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数 第 3 页 共 49 页 13 在十进制中 各位数码是 0 或 1 并能被 225 整除的最小正整数是 1989 年全国初中联赛 题 第二讲第二讲 倍数倍数 约数约数 一 内容提要一 内容提要 1 两个整数 A 和 B B 0 如果 B 能整除 A 记作 B A 那么 A 叫做 B 的倍数 B 叫做 A 的约数 例如 3 15 15 是 3 的倍数 3 是 15 的约数 2 因为 0 除以非 0 的任何数都得 0 所以 0 被非 0 整数整除 0 是任何非 0 整数的倍数 非 0 整 数都是 0 的约数 如 0 是 7 的倍数 7 是 0 的约数 3 整数 A A 0 的倍数有无数多个 并且以互为相反数成对出现 0 A 2A 都是 A 的倍数 例如 5 的倍数有 5 10 4 整数 A A 0 的约数是有限个的 并且也是以互为相反数成对出现的 其中必包括 1 和 A 例如 6 的约数是 1 2 3 6 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数 几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数 6 公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数 例如 15 与 28 互质 7 在有余数的除法中 被除数 除数 商数 余数 若用字母表示可记作 A BQ R 当 A B Q R 都是整数且 B 0 时 A R 能被 B 整除 例如 23 3 7 2 则 23 2 能被 3 整除 二 例题二 例题 例 1 写出下列各正整数的正约数 并统计其个数 从中总结出规律加以 应用 2 22 23 24 3 32 33 34 2 3 22 3 22 32 解 列表如下 正 整 数 正约数 个 数 计 正 整 数 正约数 个 数 计 正 整 数 正约数 个 数 计 2 1 2 23 1 3 2 2 3 1 2 3 6 4 22 1 2 4 332 1 3 32 3 22 3 1 2 3 4 6 12 6 23 1 2 4 8433 1 3 32 334 22 32 1 2 3 4 6 9 12 18 36 9 24 1 2 4 8 16 534 1 3 32 33 345 第 4 页 共 49 页 其规律是 设 A ambn a b 是质数 m n 是正整数 那么合数 A 的正约数的个数是 m 1 n 1 例如求 360 的正约数的个数 解 分解质因数 360 23 32 5 360 的正约数的个数是 3 1 2 1 1 1 24 个 例 2 用分解质因数的方法求 24 90 最大公约数和最小公倍数 解 24 23 3 90 2 32 5 最大公约数是 2 3 记作 24 90 6 最小公倍数是 23 32 5 360 记作 24 90 360 例 3 已知 32 44 除以正整数 N 有相同的余数 2 求 N 解 32 2 44 2 都能被 N 整除 N 是 30 42 的公约数 30 42 6 而 6 的正约数有 1 2 3 6 经检验 1 和 2 不合题意 N 6 3 例 4 一个数被 10 余 9 被 9 除余 8 被 8 除余 7 求适合条件的最小正整数 分析 依题意如果所求的数加上 1 则能同时被 10 9 8 整除 所以所求的数是 10 9 8 的最小公倍 数减去 1 解 10 9 8 360 所以所求的数是 359 练习二练习二 1 12 的正约数有 16 的所有约数是 2 分解质因数 300 300 的正约数的个数是 3 用分解质因数的方法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数 4 一个三位数能被 7 9 11 整除 这个三位数是 5 能同时被 3 5 11 整除的最小四位数是 最大三位数是 6 已知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2 则 A 7 写出能被 2 整除 且有约数 5 又是 3 的倍数的所有两位数 8 一个长方形的房间长 1 35 丈 宽 1 05 丈 要用同一规格的正方形瓷砖铺满 问正方形最大边长可 以是几寸 若用整数寸作为边长 有哪几种规格的正方形瓷砖适合 9 一条长阶梯 如果每步跨 2 阶 那么最后剩 1 阶 如果每步跨 3 阶 那么最后剩 2 阶 如果每步跨 第 5 页 共 49 页 4 阶 那么最后剩 3 阶 如果每步跨 5 阶 那么最后剩 4 阶 如果每步跨 6 阶 那么最后剩 5 阶 只有每步跨 7 阶 才能正好走完不剩一阶 这阶梯最少有几阶 第三讲第三讲 质数质数 合数合数 一 内容提要一 内容提要 1 正整数的一种分类 1 质数 合数 质数的定义质数的定义 如果一个大于 1 的正整数 只能被 1 和它本身整除 那么这个正整数叫做质数 质数 也称素数 合数的定义合数的定义 一个正整数除了能被 1 和本身整除外 还能被其他的正整数整除 这样的正整数叫做 合数 2 根椐质数定义可知 质数只有 1 和本身两个正约数 质数中只有一个偶数 2 如果两个质数的和或差是奇数 那么其中必有一个是 2 如果两个质数的积是偶数 那么其中也必有一个是 2 3 任何合数都可以分解为几个质数的积 能写成几个质数的积的正整数就是合数 二 例题二 例题 例 1 两个质数的和等于奇数 a a 5 求这两个数 解 两个质数的和等于奇数 必有一个是 2 所求的两个质数是 2 和 a 2 例 2 已知两个整数的积等于质数 m 求这两个数 解 质数 m 只含两个正约数 1 和 m 又 1 m m 所求的两个整数是 1 和 m 或者 1 和 m 例 3 已知三个质数 a b c 它们的积等于 30 求适合条件的 a b c 的值 解 分解质因数 30 2 3 5 适合条件的值共有 5 3 2 c b a 3 5 2 c b a 5 2 3 c b a 2 5 3 c b a 3 2 5 c b a 2 3 5 c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序 本题如果改为 4 个质数 a b c d 它们的积等于 210 即 abcd 2 3 5 7 那么适合条件的 a b c d 值共有 24 组 试把它写出来 例 4 试写出 4 个连续正整数 使它们个个都是合数 解 本题答案不是唯一的 设 N 是不大于 5 的所有质数的积 即 N 2 3 5 那么 N 2 N 3 N 4 N 5 就是适合条件的四个合数 第 6 页 共 49 页 即 32 33 34 35 就是所求的一组数 本题可推广到 n 个 令 N 等于不大于 n 1 的所有质数的积 那么 N 2 N 3 N 4 N n 1 就是所求的合数 练习三练习三 1 小于 100 的质数共 个 它们是 2 已知质数 P 与奇数 Q 的和是 11 则 P Q 3 已知两个素数的差是 41 那么它们分别是 4 如果两个自然数的积等于 19 那么这两个数是 如果两个整数的积等于 73 那么它们是 如果两个质数的积等于 15 则它们是 5 两个质数 x 和 y 已知 xy 91 那么 x y 或 x y 6 三个质数 a b c 它们的积等于 1990 那么 a b c 7 能整除 311 513的最小质数是 8 已知两个质数 A 和 B 适合等式 A B 99 AB M 求 M 及 的值 B A A B 9 试写出 6 个连续正整数 使它们个个都是合数 10 具备什么条件的最简正分数可化为有限小数 11 求适合下列三个条件的最小整数 大于 1 没有小于 10 的质因数 不是质数 第 7 页 共 49 页 12 某质数加上 6 或减去 6 都仍是质数 且这三个质数均在 30 到 50 之间 那么这个质数是 13 一个质数加上 10 或减去 14 都仍是质数 这个质数是 第四讲第四讲 零的特性零的特性 一 内容提要一 内容提要 一 零既不是正数也不是负数 是介于正数和负数之间的唯一中性数 零是自然数 是整数 是偶数 1 零是表示具有相反意义的量的基准数 例如 海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支平衡可记作结存 0 元 2 零是判定正 负数的界限 若 a 0 则 a 是正数 反过来也成立 若 a 是正数 则 a 0 记作 a 0 a 是正数 读作 a 0 等价于 a 是正数 bb 时 a b 0 当 a b 时 a b 0 三 在近似数中 当 0 作为有效数字时 它表示不同的精确度 例如 近似数 1 6 米与 1 60 米不同 前者表示精确到 0 1 米 即 1 分米 误差不超过 5 厘米 后 者表示精确到 0 01 米 即 1 厘米 误差不超过 5 毫米 可用不等式表示其值范围如下 1 55近似数 1 6 1 65 1 595 近似数 1 60a a2 a2 a a a 1 aa 3 x 表示一切有理数 下面四句话中正确的共几句 答 句 x 2 2有最小值 0 x 3 有最大值 0 2 x2有最大值 2 3 x 1 有最小值 3 4 绝对值小于 5 的有理数有几个 它们的积等于多少 为什么 5 要使下列等式成立 字母 应取什么值 xy 0 0 0 0 x 3 x x 1x 2 3 y 0ab 第 9 页 共 49 页 6 下列说法正确吗 为什么 a 的倒数是 方程 a 1 3 的解是 1 a xx 1 3 a n 表示一切自然数 2n 1 表示所有的正奇数 如果 a b 那么 m2a m2b a b m 都是有理数 7 取什么值时 下列代数式的值是正数 x 1 1 2 xxxxx 第五讲第五讲 an 的个位数的个位数 一 内容提要一 内容提要 1 整数 a 的正整数次幂 an 它的个位数字与 a 的末位数的 n 次幂的个位数字相同 例如 20023与 23的个 位数字都是 8 2 0 1 5 6 的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身 例如 57的个位数是 5 620的个位数是 6 3 2 3 7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表 指 数 12345678910 22486248624 33971397139 底 数77931793179 其规律是 2 的正整数次幂的个位数是按 2 4 8 6 四个数字循环出现 即 24k 1与 21 24k 2与 22 24k 3与 23 24k 4与 24的个位数是相同的 K 是正整数 3 和 7 也有类似的性质 4 4 8 9 的正整数次幂的个位数 可仿照上述方法 也可以用 4 22 8 23 9 32转化为以 2 3 为底的幂 5 综上所述 整数 a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律 a4k m与 am的个位数相同 k m 都是正整数 二 例题二 例题 例 1的个位数是多少 解 与 32003的个位数是相同的 2003 4 500 3 第 10 页 共 49 页 32003与 33的个位数是相同的 都是 7 2003 的个位数是 7 例 2试说明 的和能被 10 整除的理由 解 2000 4 500 2002 4 500 2 与 34的个位数相同都是 1 与 72的个位数相同都是 9 的和个位数是 0 的和能被 10 整除 例 3k 取什么正整数值时 3k 2k是 5 的倍数 解 列表观察个位数的规律 k 1234 3 的个位数3971 2 的个位数2486 3k 2k的个位数55 从表中可知 当 k 1 3 时 3k 2k的个位数是 5 am与 a4n m 的个位数相同 m n 都是正整数 a 是整数 当 k 为任何奇数时 3k 2k是 5 的倍数 练习五练习五 1 在括号里填写各幂的个位数 k 是正整数 220 的个位数是 45 的个位数是 330 的个位数是 87 的个位数是 74K 1 的个位数是 311 79 的个位数是 216 314的个位数是 32k 1 72k 1的个位数是 72k 32k的个位数是 74k 1 64k 3的个位数是 7710 3315 2220 5525的个位数是 2 目前知道的最大素数是 1 它的个位数是 3 说明如下两个数都能被 10 整除的理由 5353 3333 4 正整数 m 取什么值时 3m 1 是 10 的倍数 5 设 n 是正整数 试说明 2 n 7n 2能被 5 整除的理由 第 11 页 共 49 页 6 若 a4的个位数是 5 那么整数 a 的个位数是 若 a4的个位数是 1 那么整数 a 的个位数是 若 a4的个位数是 6 那么整数 a 的个位数是 若 a2k 1的个位数是 7 那么整数 a 的个位数是 7 12 22 32 92的个位数是 12 22 32 192的个位数是 12 22 32 292的个位数是 8 a b c 是三个连续正整数 a2 14884 c2 15376 那么 b2是 A 15116 B 15129 C 15144 D 15321 第六讲第六讲 数学符号数学符号 一 内容提要一 内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字 每一个符号都有确定的意义 即当我们把它规定为某种意 义后 就不再表示其他意义 数学符号一般可分为 1 元素符号 通常用小写字母表示数 用大写字母表示点 用 和 表示圆和三角形等 2 关系符号 如等号 不等号 相似 全等 平行 垂直 等 3 运算符号 如加 减 乘 除 乘方 开方 绝对值等 4 逻辑符号 略 5 约定符号和辅助符号 例如我们约定正整数 a 和 b 中 如果 a 除以 b 的商的整数部分记作 Z 而它的余数记作 R 那么 b a b a Z 3 R 1 又如设表示不大于 x 的最大整数 那么 3 10 3 10 x 5 6 0 3 2 5 2 5 3 2 3 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义 即定义 对题设中临时约定的符号 一定要扣紧定义 由简到繁 由浅入深 由具体到抽象 逐步加 深理解 在解题过程中为了简明表述 需要临时引用辅助符号时 必须先作出明确的定义 所用符号 不要与常规符号混淆 二 例题二 例题 例 1 设表示不大于 Z 的最大整数 n 为正整数 n 除以 3 的余数 计算 Z 13 2004 4 07 3 2 7 第 12 页 共 49 页 14 7 34 2 解 原式 4 3 1 0 0 原式 14 2 0 2 1 2 例 2 求的个位数 说明 能被 10 整除的理由 解 设 N x 表示整数 x 的个位数 N N 74 497 N 74 1 N N N 74 497 1 N 34 497 3 N 71 N 33 7 7 0 能被 10 整除 由于引入辅助符号 解答问题显得简要明了 例 3 定义一种符号 的运算规则为 a b 2a b 试计算 5 3 1 7 4 解 5 3 2 5 3 13 1 7 4 2 1 7 4 9 4 2 9 4 22 例 4设 a b a ab 7 求等式 3 x 2 8 中的 x 解 由题设可知 等式 3 x 2 8 就是 3 3x 7 2 2 8 7 9x 21 18 x 4 3 1 练习六练习六 1 设 Q x 表示有理数 x 的整数部分 那么 Q 2 15 Q 12 3 Q 0 03 Q 1 5 2 设 n 表示不小于 n 的最小整数 那么 4 3 2 3 2 0 3 0 3 3 设表示不大于 m 的最大整数 m 若 m 2 则 若 n 3 5 则 m n 若 1 0 则 若 7 b 8 则 y y b 若 4 则 x 若 n C n 1 则 x C 4 正整数 a 和 b 中 设 a 除以 b 的商的整数部分记作 Z 余数记作 a b R ab的个位数记作 n ab 写出下列各数的结果 a b R R Z Z 33 7 2 5 33 7 2 5 n 5 设 n 表示自然数由 1 到 n 的连乘积 例如 5 1 2 3 4 5 120 第 13 页 共 49 页 计算 120 3 35 3 5 6 设 a1b2 a2b1 计算 22 11 ba ba 2 1 4 3 1 1 0 1 7 定义一种符号 的运算法则为 a b 那么 ba ba 2 2 3 2 2 3 1 2 3 3 1 0 8 a b 都是正整数 设 ab 表示从 a 起 b 个连续正整数的和 例如 23 2 3 4 54 5 6 7 8 已知5 2005 求x x 9 设 x 表示不大于 x 数的最大整数且 x x 求 x 10 设 a 表示不大于数 a 的最大整数 例如 1 22 2 那么 3x 1 2x 的所有的根的和是 1987 年全国初中联赛题 2 1 第七讲第七讲 用字母表示数用字母表示数 内容提要和例题内容提要和例题 第 14 页 共 49 页 1 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来 从具体的数字计算到用抽 象的字母概括运算规律上 是一种飞跃 2 用字母表示数时 字母所取的值 应使代数式有意义 并使它所表示的实际问题有意义 例如 写出数 a 的倒数 用字母表示一切偶数 解 当 a 0 时 a 的倒数是 a 1 设 n 为整数 2n 可表示所有偶数 3 命题中的字母 一般要注明取值范围 在没有说明的情况下 它表示所学过的数 并且能使题设有 意义 例题 化简 x 3 x 3 x 5 解 x 3 x 3 0 x 3 x 3 x 3 当 x 5 时 x 5 x 5 当 x 0 b 0 那么 a b 0 不可逆 绝对值性质 如果 a 0 那么 a a 也不可逆 若 a a 则 a 0 7 有规律的计算 常可用字母表示其结果 或概括成公式 例 1 正整数中不同的五位数共有几个 不同的 n 位数呢 解 不同的五位数可从最大五位数 99999 减去最小五位数 10000 前的所有正整数 即 99999 9999 90000 推广到 n 位正整数 则要观察其规律 一位正整数 从 1 到 9 共 9 个 记作 9 1 二位正整数从 10 到 99 共 90 个 记作 9 10 三位正整数从 100 到 999 共 900 个 记作 9 102 四位正整数从 1000 到 9999 共 9000 个 记作 9 103 指数 3 4 1 n 位正整数共 9 10 n 1个 例 2 EDCBA 第 15 页 共 49 页 在线段 AB 上加了 3 个点 C D E 后 图中共有几条线段 加 n 点呢 解 以 A 为一端的线段有 AC AD AE AB 共 4 条 以 C 为一端的线段有 除 CA 外 CD CE CB 共 3 条 以 D 为一端的线段有 除 DC DA 外 DE DB 共 2 条 以 E 为一端的线段有 除 ED EC EA 外 EB 共 1 条 共有线段 1 2 3 4 10 条 注意 3 个点时 是从 1 加到 4 因此 如果是 n 个点 则共有线段 1 2 3 n 1 条 11 1 2 n n 1 2 2 nn 练习七练习七 1 右边代数式中的字母应取什么值 S正方形 a2 3 的倍数 3n 2 4 x 2 用字母表示 一切奇数 所有正偶数 一个三位数 n 个 a 相乘的结果 负数的绝对值是它的相反数 3 写出 从 1 开始 n 个自然数的和是 从 11 开始到 2n 1 连续奇数的和 n 5 是 m 个球队进行单循环赛所需场数是 4 已知 999 103 1 9999 104 1 那么各位数都是 9 的 n 位数 n 9999 5 计算 112 1112 n 2 1111 6 写出图中所有三角形并计算其个数 如果线段上有个点呢 n 第八讲第八讲 抽屉原则抽屉原则 一 内容提要一 内容提要 1 4 个苹果放进 3 个抽屉 有一种必然的结果 至少有一个抽屉放进的苹果不少于 2 个 即等于或多 于 2 个 如果 7 个苹果放进 3 个抽屉 那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于 3 个 即等于或多于 3 O ED CBA 第 16 页 共 49 页 个 这就是抽屉原则的例子 2 如果用表示不小于的最小整数 例如 3 那么抽屉原则可定义抽屉原则可定义为 m m n m n 7 3 6 2 3 个元素分成个元素分成 n 个集合 个集合 m n 为正整数为正整数 m n 则至少有一个集合里元素不少于则至少有一个集合里元素不少于个 个 m n 3 根据的定义 已知 m n 可求 m n m n 己知 则可求的范围 例如已知 3 那么 2 3 已知 2 则 m n m n m n m n3 x 1 2 即 3 x 6 x 有最小整数值 4 3 x 二 例题二 例题 例 1 某校有学生 2000 人 问至少有几个学生生日是同一天 分析 我们把 2000 名学生看作是苹果 一年 365 天 闰年 366 天 看作是抽屉 即把 m 2000 个元 素 分成 n 366 个集合 至少有一个集合的元素不少于个 m n 解 5 6 366 2000 366 172000 366 答 至少有 6 名学生的生日是同一天 例 2 从 1 到 10 这十个自然数中 任意取出 6 个数 其中至少有两个是倍数关系 试说明这是为什么 解 我们把 1 到 10 的奇数及它们的倍数放在同一集合里 则可分为 5 个集合 它们是 1 2 4 8 3 6 5 10 7 9 要在 5 个集合里取出 6 个数 至少有两个是在同一集合 而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系 本题的关键是划分集合 想一想为什么 9 不能放在 3 和 6 的集合里 例 3 袋子中有黄 红 黑 白四种颜色的小球各 6 个 请你从袋中取出一些球 要求至少有 3 个颜色相 同 那么至少应取出几个才有保证 分析 我们可把 4 种球看成 4 个抽屉 4 个集合 至少有 3 个球同颜色 看成是至少有一个抽屉不少 于 3 个 有一个集合元素不少于 3 个 解 设至少应取出 x 个 用 表示不小于的最小整数 那么 4 x 4 x 3 2 3 即 8 x 12 最小整数值是 9 4 x 4 x 答 至少要取出 9 个球 才能确保有三个同颜色 例 4 等边三角形边长为 2 在这三角形内部放入 5 个点 至少有 2 个点它们的距离小于 1 试说明理 由 解 取等边三角形各边中点 并连成四个小三角形 如图 它们边长等于 1 5 个点放入 4 个三角形 至少有 2 个点放在同一个三角形内 而同一个三角形内的 2 个点之间的距离必小于边长 1 第 17 页 共 49 页 练习八练习八 1 初一年新生从全县 17 个乡镇招收 50 名 则至少有 人来自同一个乡镇 2 任取 30 个正整数分别除以 7 那么它们的余数至少有 个是相同的 3 在 2003m中 指数 m 任意取 10 个正整数 那么这 10 个幂的个位数中相同的至少有 个 4 暗室里放有四种不同规格的祙子各 30 只 为确保取出的祙子至少有 1 双 2 只同规格为 1 双 那 么至少要取几只 若要确保 10 双呢 5 袋子里有黑 白球各一个 红 蓝 黄球各 6 个 请你拿出一些球 要确保至少有 4 个同颜色 那 么最少要取几个 6 任意取 11 个正整数 至少有两个它们的差能被 10 整除 这是为什么 7 右图有 3 行 9 列的方格 若用红 蓝两种颜色涂上 则至少有 2 列的涂色方式是一样的 试说明这 是为什么 8 任意取 3 个正整数 其中必有两个数它们的平均数也是正整数 试说明理由 第 18 页 共 49 页 9 90 粒糖果分给 13 个小孩 每人至少分 1 粒 不管怎样分 总有两人分得同样多 这是为什么 10 11 个互不相同的正整数 它们都小于 20 那么一定有两个是互质数 最大公约数是 1 的两个正整数叫互质数 11 任意 6 个人中 或者有 3 个人他们之间都互相认识 或者有 3 个人他们之间都互不相识 两者必 居其一 这是为什么 第九讲第九讲 一元一次方程解的讨论一元一次方程解的讨论 一 内容提要一 内容提要 1 方程的解的定义 能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解 一元方程的解也叫做根 例如 方程 2x 6 0 x x 1 0 x 6 0 x 0 0 x 2 的解分别是 x 3 x 0 或 x 1 x 6 所 有的数 无解 2 关于 x 的一元一次方程的解 根 的情况 化为最简方程 ax b 后 讨论它的解 当 a 0 时 有唯一的解 x a b 当 a 0 且 b 0 时 无解 当 a 0 且 b 0 时 有无数多解 不论 x 取什么值 0 x 0 都成立 3 求方程 ax b a 0 的整数解 正整数解 正数解 当 a b 时 方程有整数解 当 a b 且 a b 同号时 方程有正整数解 当 a b 同号时 方程的解是正数 综上所述 讨论一元一次方程的解 一般应先化为最简方程 ax b 第 19 页 共 49 页 二 例题二 例题 例 1 a 取什么值时 方程 a a 2 x 4 a 2 有唯一的解 无解 有无数多解 是正数解 解 当 a 0 且 a 2 时 方程有唯一的解 x a 4 当 a 0 时 原方程就是 0 x 8 无解 当 a 2 时 原方程就是 0 x 0 有无数多解 由 可知当 a 0 且 a 2 时 方程的解是 x 只要 a 与 4 同号 a 4 即当 a 0 且 a 2 时 方程的解是正数 例 2 k 取什么整数值时 方程 k x 1 k 2 x 2 的解是整数 1 x k 6 的解是负整数 解 化为最简方程 k 2 x 4 当 k 2 能整除 4 即 k 2 1 2 4 时 方程的解是整数 k 1 3 0 4 2 6 时方程的解是整数 化为最简方程 kx k 6 当 k 0 时 x 1 k k6 k 6 只要 k 能整除 6 即 k 1 2 3 6 时 x 就是整数 当 k 1 2 3 时 方程的解是负整数 5 2 1 例 3 已知方程 a x 2 b x 1 2a 无解 问 a 和 b 应满足什么关系 解 原方程化为最简方程 a b x b 方程无解 a b 0 且 b 0 a 和 b 应满足的关系是 a b 0 例 4 a b 取什么值时 方程 3x 2 a 2x 3 b 8x 7 有无数多解 解 原方程化为最简方程 3a 2b 8 x 2a 3b 7 根据 0 x 0 时 方程有无数多解 可知 当 时 原方程有无数多解 0732 0823 ba ba 解这个方程组得 1 2 b a 答 当 a 2 且 b 1 时 原方程有无数多解 练习九练习九 1 根据方程的解的定义 写出下列方程的解 x 1 0 x2 9 x 9 x 3 3x 1 3x 1 x 2 2 x 2 关于 x 的方程 ax x 2 无解 那么 a 3 在方程 a a 3 x a 中 当 a 取值为 时 有唯一的解 当 a 时无解 当 a 第 20 页 共 49 页 时 有无数多解 当 a 时 解是负数 4 k 取什么整数值时 下列等式中的 x 是整数 x x x x k 4 1 6 kk k32 1 23 k k 5 k 取什么值时 方程 x k 6x 的解是 正数 是非负数 6 m 取什么值时 方程 3 m x 2m 1 的解 是零 是正数 7 已知方程的根是正数 那么 a b 应满足什么关系 2 2 1 4 63 ax 8 m 取什么整数值时 方程的解是整数 mm x 3 2 1 1 3 第 21 页 共 49 页 9 已知方程有无数多解 求 a b 的值 axx b 2 3 1 1 2 第十讲第十讲 二元一次方程的整数解二元一次方程的整数解 一 内容提要一 内容提要 1 二元一次方程整数解存在的条件 在整系数方程 ax by c 中 若 a b 的最大公约数能整除 c 则方程有整数解 即 如果 a b c 则方程 ax by c 有整数解 显然 a b 互质时一定有整数解 例如方程 3x 5y 1 5x 2y 7 9x 3y 6 都有整数解 反过来也成立 方程 9x 3y 10 和 4x 2y 1 都没有整数解 9 3 3 而 3 不能整除 10 4 2 2 而 2 不能整除 1 一般我们在正整数集合里研究公约数 a b 中的 a b 实为它们的绝对值 2 二元一次方程整数解的求法 若方程 ax by c 有整数解 一般都有无数多个 常引入整数 k 来表示它的通解 即所有的解 k 叫 做参变数 方法一 整除法方法一 整除法 求方程 5x 11y 1 的整数解 解 x 1 5 111y y yyy 2 5 1 5 101 设是整数 则 y 1 5k 2 kk y 5 1 把 2 代入 1 得 x k 2 1 5k 11k 2 原方程所有的整数解是 k 是整数 ky kx 51 211 方法二 公式法方法二 公式法 设 ax by c 有整数解则通解是 x0 y0可用观察法 0 0 yy xx akyy bkxx 0 0 3 求二元一次方程的正整数解 求出整数解的通解 再解 x y 的不等式组 确定 k 值 用观察法直接写出 二 例题二 例题 例 1 求方程 5x 9y 18 整数解的通解 解 x 5 3 23 5 31015 5 918y y yyy 第 22 页 共 49 页 设 k 为整数 y 3 5k 代入得 x 9 9k k y 5 3 原方程整数解是 k 为整数 ky kx 53 99 又解 当 x o 时 y 2 方程有一个整数解它的通解是 k 为整数 2 0 y x ky yx 52 90 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的 例 2 求方程 5x 6y 100 的正整数解 解 x 1 5 20 5 6100y y y 设 k 为整数 则 y 5k 2 k y 5 把 2 代入 1 得 x 20 6k 解不等式组 0 0 y x 05 0620 k k 得 0 k k 的整数解是 1 2 3 6 20 正整数解是 5 14 y x 10 8 y x 15 2 y x 例 3 甲种书每本 3 元 乙种书每本 5 元 38 元可买两种书各几本 解 设甲种书买 x 本 乙种书买 y 本 根据题意得 3x 5y 38 x y 都是正整数 x 1 时 y 7 是一个整数解 7 1 y x 通解是 k 为整数 ky kx 37 51 解不等式组得解集是 整数 k 0 1 2 037 051 k k 3 7 5 1 k 把 k 0 1 2 代入通解 得原方程所有的正整数解 7 1 y x 4 6 y x 1 11 y x 答 甲 乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本 练习十练习十 1 求下列方程的整数解 公式法 x 7y 4 5x 11y 3 整除法 3x 10y 1 11x 3y 4 第 23 页 共 49 页 2 求方程的正整数解 5x 7y 87 5x 3y 110 3 一根长 10000 毫米的钢材 要截成两种不同规格的毛坯 甲种毛坯长 300 毫米 乙种毛坯长 250 毫 米 有几种截法可百分之百地利用钢材 4 兄弟三人 老大 20 岁 老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97 求兄弟三人的岁数 5 下列方程中没有整数解的是哪几个 答 填编号 4x 2y 11 10 x 5y 70 9x 3y 111 18x 9y 98 91x 13y 169 120 x 121y 324 6 一张试巻有 20 道选择题 选对每题得 5 分 选错每题反扣 2 分 不答得 0 分 小军同学得 48 分 他最多得几分 第 24 页 共 49 页 7 用观察法写出方程 3x 7y 1 几组整数解 y 14 2 x 3 71y 第十一讲第十一讲 二元一次方程组解的讨论二元一次方程组解的讨论 一 内容提要一 内容提要 1 二元一次方程组的解的情况有以下三种 222 111 cybxa cybxa 当时 方程组有无数多解 两个方程等效 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 当时 方程组无解 两个方程是矛盾的 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 当 即 a1b2 a2b1 0 时 方程组有唯一的解 2 1 2 1 b b a a 这个解可用加减消元法求得 1221 2112 1221 1221 baba acac y baba bcbc x 2 方程的个数少于未知数的个数时 一般是不定解 即有无数多解 若要求整数解 可按二元一次 方程整数解的求法进行 3 求方程组中的待定系数的取值 一般是求出方程组的解 把待定系数当已知数 再解含待定系数 的不等式或加以讨论 见例 2 3 二 例题二 例题 第 25 页 共 49 页 例 1 选择一组 a c 值使方程组 cyax yx 2 75 有无数多解 无解 有唯一的解 解 当 5 a 1 2 7 c 时 方程组有无数多解 解比例得 a 10 c 14 当 5 a 1 2 7 c 时 方程组无解 解得 a 10 c 14 当 5 a 1 2 时 方程组有唯一的解 即当 a 10 时 c 不论取什么值 原方程组都有唯一的解 例 2 a 取什么值时 方程组 的解是正数 3135yx ayx 解 把 a 作为已知数 解这个方程组 得 2 315 2 331 a y a x 0 0 y x 0 2 315 0 2 331 a a 解不等式组得 解集是 6 5 31 3 31 a a 3 1 10 5 1 a 答 当 a 的取值为 6时 原方程组的解是正数 3 1 10 5 1 a 例 3 m 取何整数值时 方程组的解 x 和 y 都是整数 14 42 yx myx 解 把 m 作为已知数 解方程组得 8 2 8 8 1 m y m x x 是整数 m 8 取 8 的约数 1 2 4 8 y 是整数 m 8 取 2 的约数 1 2 取它们的公共部分 m 8 1 2 解得 m 9 7 10 6 经检验 m 9 7 10 6 时 方程组的解都是整数 例 4 古代问题 用 100 枚铜板买桃 李 榄橄共 100 粒 己知桃 李每粒分别是 3 4 枚铜板 而榄 橄 7 粒 1 枚铜板 问桃 李 榄橄各买几粒 解 设桃 李 榄橄分别买 x y z 粒 依题意得 2 100 7 1 43 1 100 zyx zyx 由 1 得 x 100 y z 3 第 26 页 共 49 页 把 3 代入 2 整理得 y 200 3z 7 z 设 k 为整数 得 z 7k y 200 20k x 300 27kk z 7 x y z 都是正整数 解得 k 是整数 07 020200 027300 k k k 0 10 9 100 k k k 10 k3 和不等式 2 的解集 x 2 的交集 x 3 如数轴所示 320 第 28 页 共 49 页 4 一类问题 它的答案要同时符合几个条件 一般可用交集来解答 把符合每个条件的所有的解 即 解的集合 分别求出来 它们的公共部分 即交集 就是所求的答案 有时可以先求出其中的一个 一般是元素最多 的解集 再按其他条件逐一筛选 剔除 求得答案 如例 2 二 例题二 例题 例 1 一个自然数除以 3 余 2 除以 5 余 3 除以 7 余 2 求这个自然数的最小值 解 除以 3 余 2 的自然数集合 A 2 5 8 11 14 17 20 23 26 除以 5 余 3 的自然数集 B 3 8 13 18 23 28 除以 7 余 2 自然数集合 C 2 9 16 23 30 集合 A B C 的公共元素的最小值 23 就是所求的自然数 例 2 有两个二位的质数 它们的差等于 6 并且 平方数的个位数字相同 求这两个数 解 二位的质数共 21 个 它们的个位数字只有 1 3 7 9 即符合条件的质数它们的个位数的集 合是 1 3 7 9 其中差等于 6 的有 1 和 7 3 和 9 13 和 7 三组 平方数的个位数字相同的只有 3 和 7 1 和 9 二组 同时符合三个条件的个位数字是 3 和 7 这一组 故所求质数是 23 17 43 37 53 47 73 67 共四组 例 3 数学兴趣小组中订阅 A 种刊物的有 28 人 订阅 B 种刊物的有 21 人 其中 6 人两种都订 只有一 人两种都没有订 问只订 A 种 只订 B 种的各几人 数学兴趣小组共有几人 解 如图左 右两椭圆分别表示订阅 A 种 B 种刊物的人数集合 则两圆重叠部分就是它们的交集 A B 两种都订的人数集合 只订 A 种刊物的人数是 28 6 22 人 只订 B 刊物的人数是 21 6 15 人 小组总人数是 22 15 6 1 44 人 设 N N A N B N AB N 分别表示总人数 订 A 种 B 种 AB 两种 都不订的人数 则得 公式一 N N A N B N AB N 例 4 在 40 名同学中调查 会玩乒乓球的有 24 人 篮球有 18 人 排球有 10 人 同时会玩乒乓球和篮 球的有 6 人 同时会玩乒乓球和排球的有 4 人 三种球都会的只有 1 人 问 有多少人 只会打乒乓球 同时会打篮球和排球 只会打排球 解 仿公式一 得 公式二 N N A N B N C N AB N AC N BC N ABC N 只会打乒乓球的是 24 6 4 1 15 人 求 N BC 可用公式二 40 24 18 10 6 4 N BC 1 N BC 3 即同时会打篮球和排球的是 3 人 只会打排球的是 10 3 1 6 人 例 5 十进制中 六位数能被 33 整除 求 x 和 y 的值8719xy 解 0 x y 9 0 x y 18 9 x y 9 x y x y 33 3 11 1 9 x y 8 7 的和是 3 的倍数 故 x y 2 5 8 11 14 17 A AB BC C 1 1 A AB B 6 6 A AC C 4 4 A A 2 24 4 B B 1 18 8 C C 1 10 0 AB B 21A 28 B 15 A 22 6 第 29 页 共 49 页 1 x 8 9 y 7 是 11 的倍数 故 x y 4 7 x y 和 x y 是同奇数或同偶数 它们的交集是下列四个方程组的解 4 8 yx yx 4 14 yx yx 7 11 yx yx 7 17 yx yx 解得 6 2 y x 9 5 y x 2 9 y x 5 12 y x x 12 不合题意舍去 答 x 2 y 6 或 x 5 y 9 或 x 9 y 2 练习十二练习十二 1 负数集合与分数集合的交集是 2 等腰直角三角形集合是 三角形集合与 三角形集合的交集 3 12 的正约数集合 A 30 的正约数集合 B 12 和 30 的公约数集合 C 集合 C 是集合 A 和集合 B 的 4 解下列不等式组并把解集 不是空集 表示在数轴上 5 63 x x 05 2 x x 22 1 3 1 x x 02 02 x x 5 某数除以 3 余 1 除以 5 余 1 除以 7 余 2 求某数的最小值 6 九张纸各写着 1 到 9 中的一个自然数 不重复 甲拿的两张数字和是 10 乙拿的两张数字差是 1 丙拿的两张数字积是 24 丁拿的两张数字商是 3 问剩下的一张是多少 第 30 页 共 49 页 7 求符合如下三条件的两位数 能被 3 整除 它的平方 立方的个位数都不变 两个数位上的数字 积的个位数与原两位数的个位数字相同 8 据 30 名学生统计 会打篮球的有 22 人 其中 5 人还会打排球 有 2 人两种球都不会打 那么 会 打排球有几人 只会打排球是几人 9 100 名学生代表选举学生会正付主席 对侯选人 A 和 B 进行表决 赞成 A 的有 52 票 赞成 B 的有 60 票 其中 A B 都赞成的有 36 人 问对 A B 都不赞成的有几人 10 数 理 化三科竞赛 参加人数按单科统计 数学 24 人 物理 18 人 化学 10 人 按两科统计 参加数理 数化 理化分别是 13 4 5 人 没有三科都参加的人 求参赛的总人数 只参加数学科的 人数 本题如果改为有 2 人三科都参加呢 第 31 页 共 49 页 11 053 yxyx 12 十进制中 六位数能被 21 整除 求 x y 的值 仿例 5 2851xy 第 32 页 共 49 页 第十三讲第