初中物理功和能总复习

1 功和机械能功和机械能 复习复习 一 功 一 功 1 力学里所说的功包括两个必要因素 一是作用在物体上的力作用在物体上的力 二是物体在力的方向上通力的方向上通 过的距离过的距离 2 不做功的三种情况 有力无距离 有距离无力 力和距离垂直 有力无距离 有距离无力 力和距离垂直 巩固 巩固 某同学踢足球 球离脚后飞出10m远 足球飞出10m的过程中人不做功 原 因是足球靠惯性飞出 3 力学里规定 功等于力跟物体在力的方向上通过的距离的乘积 功等于力跟物体在力的方向上通过的距离的乘积 公式 W FS 4 功的单位 焦耳 1J 1N m 把一个鸡蛋举高 1m 做的功大约是 0 5 J 5 应用功的公式注意 分清哪个力对物体做功 或者说哪个施力物体对哪个受力物体做 了功 计算时 F 就是这个力 公式中 S 一定是在力的方向上通过的距离 强调对应 功的单位 焦 1 牛 米 1 焦 二 功的原理 二 功的原理 1 内容 使用机械时 人们所做的功 都不会少于直接用手所做的功 即 使用任何机械使用机械时 人们所做的功 都不会少于直接用手所做的功 即 使用任何机械 都不省功都不省功 2 说明 功的原理是一个普遍的结论 对于任何机械都适用 功的原理告诉我们 使用机械要省力必须省力必须费距离费距离 要省距离必须省距离必须费力费力 既省力又省 距离的机械是没有的 使用机械虽然不能省功 但人类仍然使用 是因为使用机械或者可以省力 或者可 以省距离 也可以改变力的方向 给人类工作带来很多方便 功的原理包括两层含义 一 对于理想机械 忽略摩擦和机械本身的重力 使用 机械时 人们所做的功 FS 直接用手对重物所做的功 二 对于非理想机械而言 人们利用机械所做的功要大于不用机械而直接用手做的功 多做的那部分功就是克服机械 自重和摩擦所做的功 3 应用 斜面 理想斜面 斜面光滑 理想斜面遵从功的原理 理想斜面公式 FL Gh 其中 F 沿斜面方向的推力 L 斜面长 G 物重 h 斜面高度 如果斜面与物体间的摩擦为 f 则 FL fL Gh 这样 F 做功就大于直接对物体做功 Gh 三 机械效率 三 机械效率 有用功 定义 对人们有用的功 公式 W有用 Gh 提升重物 W总 W额 W总 斜面 W有用 Gh 2 额外功 定义 并非我们需要但又不得不做的功 公式 W额 W总 W有用 G动h 忽略轮轴摩擦的动滑轮 滑轮组 斜面 W额 f L 3 总功 定义 有用功加额外功或动力所做的功 公式 W总 W有用 W额 FS W有用 斜面 W总 fL Gh FL 4 机械效率 定义 有用功跟总功的比值 2 公式 有用 总 斜 面 定滑轮 动滑轮 2 2 滑轮组 竖直方向提升重物 有用功总小于总功 所以机械效率总小于 1 通常用 百分数 表示 某滑轮 机械效率为 60 表示有用功占总功的 60 提高机械效率的方法 尽可能满载来增大有用功 减小机械自重 减小机械部 件间的摩擦来减小额外功 5 机械效率的测量 原 理 有用 总 应测物理量 钩码重力 G 钩码提升的高度 h 拉力 F 绳的自由端移动的距离 S 器 材 除钩码 铁架台 滑轮 细线外还需 刻度尺 弹簧测力计 步骤 必须匀速拉动弹簧测力计使钩码升高 目的 保证测力计示数大小不变 结论 影响滑轮组机械效率高低的主要因素有影响滑轮组机械效率高低的主要因素有 A 动滑轮越重 个数越多则额外功相对就多 B 提升重物越重 做的有用功相对就多 C 摩擦 若各种摩擦越大做的额外功就多 绕线方法绕线方法和和重物提升高度重物提升高度不影响滑轮机械效率不影响滑轮机械效率 6 斜面机械效率的测量 原理 应测物理量 器材 步骤 匀速拉动弹簧测力计 结论 影响斜面机械效率高低的主要因素有 斜面的倾斜程度摩擦力的大小 四 功率 四 功率 1 定义 单位时间内所做的功 2 物理意义 表示做功快慢的物理量 3 公式 Fv 4 单位 主单位 W 常用单位 kW MW 马力 换算 1kW 103W 1MW 106 W 1 马力 735W 某小轿车功率 66kW 它表示 小轿车 s 内做功 66000J 5 机械效率和功率的区别 P W t 3 功率和机械效率是两个不同的概念 功率表示做功的快慢 即单位时间内完成的功 机 械效率表示机械做功的效率 即所做的总功中有多大比例的有用功 五 机械能五 机械能 一一 动能和势能 动能和势能 1 能量 一个物体能够做功 我们就说这个物体具有能 理解 能量表示物体做功本领大小的物理量 能量可以用能够做功的多少来衡量 一个物体 能够做功 并不是一定 要做功 也不是 正在做功 或 已经做 功 如 山上静止的石头具有能量 但它没有做功 也不一定要做功 2 知识结构 3 探究决定动能大小的因素 猜想 动能大小与物体质量和速度有关 实验研究 研究对象 小钢球 方法 控制变量 如何判断动能大小 看小钢球能推动木快做功的多少 如何控制速度不变 使钢球从同一高度滚下 则到达斜面底端时速度大小相同 如何改变钢球速度 使钢球从不同同高度滚下 分析归纳 保持钢球质量不变时结论 运动物体质量相同时 速度越大动能越大 保持钢球速度不变时结论 运动物体速度相同时 质量越大动能越大 得出结论 物体动能与质量和速度有关 速度越大动能越大 质量越大动能也越 大 练习 右表中给出了一头牛漫步 行走和一名中学生百米赛跑时的 一些数据 分析数据 可以看出 对物体动能大小影响较大的是 速 度你判断的依据 人的质量约为 牛的 1 12 而速度约为牛的 12 倍此时动能为牛的 12 倍说明速度对动能影响大 4 机械能 动能和势能统称为机械能 理解 有动能的物体具有机械能 有势能的物体具有机械能 同时具有动能和 势能的物体具有机械能 二二 动能和势能的转化 动能和势能的转化 1 知识结构 2 动能和重力势能间的转化规律 质量一定的物体 如果加速下降 则动能增大 重力势能减小 重力势能转化为动能 物体质量 m kg速度 v m s 1 动能 E J 牛约 600约 0 5约 75 中学生约 50约 6约 900 机 械 能 势能 重力 势能 定义 物体由于被举高而具有的能量 决定其大小的因素 物体质量越大 举得越高 势能就越大 弹性 势能 定义 发生形变的物体具有的能量 决定其大小的因素 物体弹性形变越大 弹性 势能就越大 动能 定义 物体由于运动而具有的能量 决定其大小的因素 物体速度越大 质量越大 动能就越大 动能 转化 转化 势能 弹性势能 重力势能 4 质量一定的物体 如果减速上升 则动能减小 重力势能增大 动能转化为重力势能 3 动能与弹性势能间的转化规律 如果一个物体的动能减小 而另一个物体的弹性势能增大 则动能转化为弹性势能 如果一个物体的动能增大 而另一个物体的弹性势能减小 则弹性势能转化为动能 4 动能与势能转化问题的分析 首先分析决定动能大小的因素 决定重力势能 或弹性势能 大小的因素 看动 能和重力势能 或弹性势能 如何变化 还要注意动能和势能相互转化过程中的能量损失和增大 如果除重力和弹力外没有其 他外力做功 即 没有其他形式能量补充或没有能量损失 则动能势能转化过程中机械能 不变 题中如果有 在光滑斜面上滑动 则 光滑 表示没有能量损失 机械能守恒 斜 面上匀速下滑 表示有能量损失 机械能不守恒 三 功和能的关系 物体做功过程就是能的转化过程 物体做功越多 说明某种能转化为别的形式的能就 越多 如重物从高处下落的过程就是重力做机械功的过程 从而实现重力势能转化为动能 的过程 弯弓射箭的过程就是通过弹力做功从而将弓的弹性势能转化为箭的动能的过程 用电器工作时的过程就是通过电流做功将电能转化其它能的过程 一 掌握恒力做功的计算 判断某个力一 掌握恒力做功的计算 判断某个力 F F 是否做功 是正功还是负功 或克服力是否做功 是正功还是负功 或克服力 F F 做功 做功 提高对物理量确切含义的理解能力 提高对物理量确切含义的理解能力 例例 1 1 用水平恒为 F 作用于质量为 M 的物体 使之在光滑的水平面上沿力的方向移动 位移 s 该恒力做功为 W1 再用该恒力 F 作用于质量 m m M 的物体上 使之在粗糙的 水平面上移动同样位移 s 该恒力 F 做功为 W2 两次恒力 F 做功的关系正确的是 A W1 W2 B W1 W2 C W1 W2 D 无法判断 正确答案 C 说明说明 根据做功的定义 恒力 F 所做的功 只与 F 的大小及在力 F 的方向上相对不动参照 物发生的位移的大小乘积有关 不需考虑其他力的影响 因此两次该力 F 不变 在力的方 向上相对不动参照物发生的位移 s 相同 所以 力 F 所做的功相等 正确答案选 C 项 例例 2 2 如图 5 4 所示 三角劈质量为 M 放在光滑水平面上 三角劈的斜面光滑 将 质量为 m 的物块放在三角劈斜面顶端由静止滑下 则在下滑过程中 M 对 m 的弹力对 m 所 做的功为 W1 m 对 M 的弹力对 M 所做的功为 W2 下列关系正确的是 A W1 0 W2 0 B W1 0 W2 0 5 C W1 0 W2 0 D W1 0 W2 0 正确答案 D 说明说明 当 m 沿三角劈的斜面下滑时 因水平面光滑 M 在 m 的压紧下将向右加速运动 用 图 5 5 分析物理现象 画出物块 m 的实际位移的方向 由于弹力 N 恒垂直斜面 因而 N 与 s 夹角 90 所以 M 对 m 的弹力对 m 物块做负功 即 W1 0 而 m 对 M 弹力 N 对三角 劈的水平位移的夹角小于 90 因而 m 对 M 的弹力 N 对 M 所做的功 W2 0 做正功 即 W2 0 所以选 D 项是正确的 该题也可由系统的机械能守恒来研究 M 与 m 组成一个系统 系统内只有重力和弹力做功 系统的机械能守恒 由于 M 在 m 压紧下向右运动 M 的动能不断增大 而由机械能守恒可 知 m 的机械能不断减小 因而 M 对 m 的弹力一定对 m 做负功 m 对 M 的弹力对 M 一定做正 功 所以 正确答案为 D 项 例例 3 3 以一定的初速度竖直向上抛出一个小球 小球上升的最大高度为 h 运动中空 气阻力大小恒为 f 则小球从抛出点抛出到再回到原抛出点的过程中 空气阻力对小球做 的功应为 A 0 B fh C 2fh D 4fh 正确答案 C 说明 有些同学错选 A 项 其原因是认为整个过程位移为零 由公式 W Fscos 可得 Wf 0 错误的另一原因是 没有准确掌握公式 W Fscos 直接计算时 F 必须必须是恒力 大 小和方向均不变 另外 缺乏对物理过程的分析 小球在上升和下降过程中空气阻力都 是做负功 所以全过程空气阻力对小球所做的功应为 Wf Wf 上 Wf 下 fh fh 2fh 例例 4 4 如图 5 6 所示 某力 F 10N 作用于半径 R 1m 的转盘的边缘上 力 F 的大小保 持不变 但方向始终保持与作用点的切线方向一致 则转动一周这个力 F 做的总功应为 A 0J B 20 J C 10J D 20J 正确答案 B 6 说明说明 某个力做功 其大小不变而方向改变 在计算这个力所做功时 切莫把初末位置的 位移 s 直接代入 WF F s cos 来计算总功 由于力 F 的方向始终保持与作用点的速度方 向 切线方向 一致 因此 这个力做功不能为零 此时应把圆周划分很多小段 s 研 究 如图 5 7 所示 当各小段弧长 si 足够小 si 0 时 在这 si 内 F 方向几乎 与该小段位移方向重合 WF F s1 F s2 F si F2 R 通过该题 能提高准确理解功这基本量的物理意义的能力 例例 5 5 质量为 M 的长木板放在光滑的水平面上 如图 5 8 所示 一质量为 m 的滑块 以某一速度 v 沿长木板表面从 A 点滑至 B 点在木板上前进了 Lm 而长木板前进了 sm 若滑 块与木板间动摩擦因数为 问 a 摩擦力对滑块所做的功多大 b 摩擦力对木板所做 的功多大 解解 a 滑块受力情况如图 5 9 a 所示 滑块在摩擦力的方向上相对地面的位移为 s L 摩擦力对滑块所做的功为 Wm f s L 7 b 木板受力情况如图 5 9 b 所示 木板在摩擦力的方向上相对地面位移为 s 摩擦力对木板所做的功为 WM fs 说明 滑动摩擦力可以做正功 滑动摩擦力也可以做负功 在滑块与长木板组成的系统中 这一对滑动摩擦力所做的总功一定为负值 请同学们思考 这是为什么 若该题改为 m 与 M 叠放在水平地面上 对 M 施加一水平力 F 作用 使 m 和 M 一起沿水平地面加速运动中 则静摩擦力对 m 做正功 静摩擦力对 M 做负功 但这一对静摩擦力在对 m 和 M 组成的系统 内所做的总功一定为零 请同学们思考 这又是为什么 例例 6 6 如图 5 10 所示 定滑轮至滑块高度为 H 已知细绳的拉力为 FN 恒定 滑 块沿水平地面由 A 点前进 s 米至 B 点 滑块在初 末位置时细绳与水平方向夹角分别为 和 求滑块由 A 点运动到 B 点过程中 拉力 F 对滑块所做的功 解解 拉力 F 做功等于该力乘以细绳经过滑轮的长度 即力的作用点在 F 方向上的位移大小 例例 7 7 在光滑水平面上有一静止的物体 现以水平恒力甲推这一物体 作用一段时间 后 换成相反方向的水平恒力乙推这一物体 当恒为乙作用时间与恒为甲作用时间相同时 物体恰好回到原处 此时物体的动能为 32J 则在整个过程中 恒力甲做的功等于 J 恒力乙做的功等于 J 解解 如图 5 11 所示 OA 段作用力为 F 甲 ABO 段作用力为 F 乙 设 AB s 向右为正 则 有 8 由牛顿第二定律 另有 将 代入 得 所以有 F 乙 3F 甲 显然 恒力甲做正功 W 甲 F 甲 s 恒力乙的方向和物体在恒力乙作用下的位移的方向相 同 所以 恒力乙也做正功 W 乙 F 乙 s 则 所以 W甲 8J W乙 24J 说明说明 此题较为复杂 对学生的分析综合能力要求较高 解决本题要分析清楚物理过程 且要对恒力做功公式有非常深刻的理解 两恒力先后作用下物体的两位移的大小是相等的 两位移的方向是与对应的恒力方向相同的 两力都做正功 这样 两个力所做功的关系问 题就转化为求两个力的大小关系问题 例例 8 8 如图 5 12 所示 质量为 m 的物体 P 放在光滑的 倾角为 的 直角劈上 同时用力 F 向右推劈 使 P 与劈保持相对静止 当前进水平位移 为 s 时 劈对 P 做的功为多少 9 解解 物体 P 相对光滑斜面静止 说明它们具有相同的水平加速度 对 P 进行受力分析 如 图 5 12 所示 P 所受支持力 N 和重力 mg 的合力一定水平向右 劈对 P 做的功为 例例 9 9 如图 5 13 所示 质量为 2kg 的物体水平放置在运货滚梯上 沿 AB 方向以加速 度 a 4m s2从 A 点移到 B 点 AB 间距离为 2m AB 连线与竖直方向夹角为 60 求 1 摩擦力对物体所做的功 2 弹力对物体所做的功 解解 如图 5 14 对物体进行受力分析 将沿 AB 方向的加速度 a 沿水平方向和竖直方向分解 根据牛顿第二定律列方程 由 式解得 根据功的定义式 10 例例 10 10 某人用恒力 F 100N 通过滑轮把物体 M 拉上斜面 如图 5 15 所示 作用力 F 的方向与斜面的夹角为 60 若物体沿斜面运动 1m 则力对物体做功为 A 100J B 150J C 200J D 条件不足无法确定 解解 如图 5 15 所示 拉力 T F T 做功为 WT T S 100 1 100 J F 做功为 则拉力对物体做功为 W WT WF 100 50 150 J 二 掌握功率的确切含义 能正确区分平均功率和即时功率二 掌握功率的确切含义 能正确区分平均功率和即时功率 例例 11 11 一质量为 m 的滑块静止在光滑水平地面上 从 t 0 开始 将一个大小为 F 的 水平拉力作用在滑块上 如图 5 16 所示 在 t t1时刻力 F 的功率应是 答案 C 说明说明 该题要求的是 t1 时刻时刻的即时功率 应使用公式 P Fvt 11 必须分清是求平均功率还是即时功率 例例 12 12 质量 mkg 的物块从离地面高 H 米处作自由落体运动 取地面为参考平面 求 a 前 ns 内重力所做的功 b 第 ns 内重力对物体做功的平均功率 c 第 ns 末重力做的功的即时功率 解解 a 在前 ns 内 物块在重力方向上的位移为 s 重力所做的功为 W1 b 第 n s 内重力所做的功为 W2 其平均功率为 P c 第 n 秒末即时速度为 vn 即时功率为 P vn gt gn m s P mgvn nmg2 W 例例 13 13 汽车质量为 m 额定功率为 P 在水平长直路面上从静止开始沿直线行驶 设 行驶中受到恒定阻力 f 求 a 汽车所能达到的最大速度 vm b 汽车从一开始以加速度 a 匀加速起动 汽车能保持匀加速运动的最长时间 tm c 汽车在 tm 后 加速度和速度变化 12 解解 a 汽车运动中牵引力 F 与阻力 f 相等时 加速度 a 0 此时速度 vm 最大 汽车输出 功率即为额定功率 P 额 P 出 F 引 v fmvm P 额 b 汽车以加速度 a 匀加速起动 F 引 f ma 维持匀加速运动的牵引力 F 引 f ma 汽车作匀加速运动时 a 不变 又知阻力 f 不变 此时汽车牵引力 F 不变 依公式 P Fv 可 知 汽车运动速度 v at 在不断增大 欲保持 F 不变 必须增大汽车的输出功率 当 P 出 P 额时 汽车的匀加速运动将结束 其保持匀加速运动时间为 tm P 额 F 牵 vt F 牵 atm 汽车在匀加速运动中 发动机所做的功 即牵引力 F 所做的功为 c 当汽车匀加速运动阶段结束后 t tm 汽车在水平方向受力由 F 牵 f 变至 F 牵 f 在 这一过程中汽车在其运动方向上作变加速运动 运动的加速度变小 其运动速度增大 当 F 牵 f 时 汽车运动的加速度为零 a 0 此时 运动速度达最大 vm 例例 14 14 质量为 m 的集装箱被额定功率为 P 的升降机提起 集装箱的最大速度能达到 v0 那么 当集装箱的速度为 v v v0 时 它能获得的最大加速度 am 等于多少 解解 依题意 设运动阻力为 f 升降机对集装箱的拉力为 F F f ma P 额 fv0 P 额 Fv 13 例例 15 15 以初速度 v0 做平抛运动的物体 重力在第 1s 末和第 2s 末的功率之比为 a 重力在第 1s 内和第 2s 内的平均功率之比为 b 则 解解 做平抛运动的物体 在竖直方向上做自由落体运动 设第 1s 末和第 2s 末物体在竖直 方向上的速度分别为 v1 和 v2 1s 内和 2s 内在竖直方向的位移分别为 h1 和 h2 则 v1 gt1 g 1 g v2 gt2 g 2 2g 所以第 1s 末和第 2s 末重力的瞬时功率为 P1 mgv1 mg P2 mgv2 2mg2 第 1s 内和第 2s 内重力的平均功率为 14 本题应选 A 例例 16 16 保持机车的功率不变 列车从车站出发沿平直的铁路行驶 5min 速度增大到 72km h 在这段时间内 列车行驶的距离 s A 一定等于 3000m B 一定大于 3000m C 一定小于 3000m D 条件不足 无法判定 解解 解这个问题常见的错误认为 机车功率不变 则列车做匀加速直线运动 v0 0 vt 72km h 20m s t 5 min 300s 于是车行驶的距离为 实际上 由于功率 P Fv 机车提供的牵引力 可见 P 一定时 F 随列车速度 v 的增大而减小 根据牛顿第二定律 列车的加速度 即使是列车受到的阻力 f 大小不变 实际上 f 还会随速度 v 的增大而增大 其加速度 a 也要随 v 的增大而减小 因此 在功率不变的条件下 列车做的不是匀加速直线运动 其 速度图象也不是图 5 17 中的直线 1 列车做的是加速度逐渐减小的加速运动 当速度增大 到使其牵引力减至与阻力大小相等时 列车达到最大速度 此后将做匀速直线运动 列车 的速度图象如图 5 17 中的曲线 2 其斜率 表示加速度的大小 逐渐减小 15 曲线 2 与横轴及纵坐标线 t 300s 围成的面积 表示位移大小 大于直线 1 与横轴及纵坐标 线 t 300s 所围成的面积 大小为 300m 即 5min 内列车行驶的距离 s 3000m 由此可见应选 B 例例 17 17 一跳绳运动员质量 m 50kg 1min 跳 N 180 次 假设 运动员跳绳时克服重力做功的平均功率多大 每次跳跃人克服重力做功 克服重力做功的平均功率 三 正确理解动能定理及掌握动能定理的一般应用 凡动力学问题 涉及位移 动能 功 三 正确理解动能定理及掌握动能定理的一般应用 凡动力学问题 涉及位移 动能 功 应考虑应用动能定理来解题应考虑应用动能定理来解题 例例 18 18 质量为 m 的金属块 当初速度为 v0 时 在水平面上滑行的最大距离为 s 如 果将金属块质量增加到 2m 初速度增大到 2v0 在同一水平面上该金属块最多能滑行的距 离为 16 解解 当质量为 m 速度为 v0 时 根据动能定理 当质量为 2m 速度为 2v0时 根据动能定理 由 式得 s s 1 4 故选 C 例例 19 19 如图 5 18 所示 两个物体用轻绳经光滑的滑轮拴在一起 质 量分别为 m1 和 m2 m2 在地面上 m1 离地面的高度为 h m1 m2 由静止 释放 则 m1 落地后 m2 还能上升的高度为 解解 设 m1 落地瞬间 m1 和 m2 的共同速度为 v 对 m1 m2 分别受力分析 如图 5 18 所示 根据动能定理 此后 m2 做竖直上抛运动 设还能上升的高度为 17 故应选 A 例例 20 20 质量为 5 吨的汽车 以额定功率行驶 速度由 10m s 增加到最大速度 20m s 行程为 3km 用时 3min 设汽车行驶过程中所受阻力不变 求汽车发动机的额定功率是多 少 解解 根据动能定理 而 WF P 额 t Wf f s 并且知道 当 F f 时 速度最大 即 解得 P 额 25000 W 25 kW 例例 21 21 质量为 m 的滑块由仰角 30 的斜面底端 A 点沿斜面上 滑 如图 5 19 所示 已知滑块在斜面底端时初速度 v0 4m s 滑块与 接触面的动摩擦因数为 0 2 且斜面足够长 求滑块最后静止时的位 置 解解 依动能定理列方程 由 A 点运动到 B 点 18 得 sAB 1 2 m 由 B 点运动至 nC 点 mgsin30 sAB mgcos30 sAB mgsAC 0 得 sAC 1 96 m 例例 22 22 物块质量为 m 由高 H 斜面上端静止开始沿斜面下滑 滑至水平面 C 点处停止 测得水平位移 s 若物块与接触面间动摩擦因数相同 求动摩擦因数 解解 以滑块为研究对象 其受力分析如图 5 20 所示 根据动能定理有 H s 0 例例 23 23 如图 5 21 所示 斜面倾角为 质量为 m 的滑块 距挡板 P 的距离为 s0 以初速度 v0 沿斜面上滑 滑块与斜面间动摩擦因数为 若滑块每次与挡板相碰均无机 械能损失 求滑块停止时经过的路程 解解 以小球为研究对象 其受力分析如图所示 小球往复多次最后停止在挡板处 根据动能定理列方程 例例 24 24 总质量为 M 的列车 沿水平直线轨道匀速前进 其末节车厢质量为 m 中途脱 节 司机发觉时 机车已行驶 L 的距离 于是立即关闭油门 除去牵引力 设运动的阻力 与质量成正比 机车牵引力是恒定的 求当列车的两部分都停止时 它们间的距离为多少 19 解解 依题意 画草图 5 22 标明各部分运动的位移 对车头 M m 脱钩后的全过程 依 动能定理列方程 设阻力 f k M m g 对末节车厢 依动能定理列方程 又 s s1 s2 由于原来列车匀速运动 所以牵引力 F kMg 由 联立得 说明说明 如果物体运动有几个过程 关键是分清楚整个过程有几个力做功及其研究对象的初 末状态的动能 另一解法 依题意列方程 kMgL k M m g s 说明说明 假设机车脱钩时 立即关闭油门 由于运动阻力与其质量成正比 所以两部分同时 分别做加速度相同的匀减速运动 匀减速运动的初速度也相同 故两部分停止相距的距离 20 为零 若以末节车厢为参照物 机车在运动L段时牵引力 kMg 所做的功为 kMgL 使机车动 能增加 那么 机车所增加的动能全部消耗在机车相对末节车厢克服阻力做功之中 其阻 力相对末节车厢所做的功为 k M m g s 故有方程 kMgL k M m g s 成立 例例 25 25 如图 5 23 所示 在一个固定盒子里有一个质量为 m 的滑块 它与盒子底面动 摩擦因数为 开始滑块在盒子中央以足够大的初速度 v0 向右运动 与盒子两壁碰撞若 干次后速度减为零 若盒子长为L 滑块与盒壁碰撞没有能量损失 求整个过程中物体与 两壁碰撞的次数 解解 以滑块为研究对象 滑块在整个运动过程中克服摩擦力做功消耗了滑块的初始动能 依动能定理列方程 设碰撞 n 次 有 四 用动能定理求变力做功 加深理解和灵活运用动能定理解题四 用动能定理求变力做功 加深理解和灵活运用动能定理解题 例例 26 26 用汽车从井下提重物 重物质量为 m 定滑轮高 H 如图 5 24 所示 已知汽 车由 A 点静止开始运动至 B 点时速度为 vB 此时细绳与竖直方向夹角为 这一过程中细 绳的拉力做功多大 解解 细绳对重物的拉力为变力 应用动能定理列方程 以重物为研 究对象 列方程 由图所示 v 为 vB 的分速度 按 vB 分解得 联立 解得 21 例例 27 27 如图 5 25 所示 一质量为 m 的小球用长为L的细绳悬挂于 O 点 小球在始终 保持水平方向 F 力作用下缓慢地由 P 位置移到 Q 位置 求力 F 所做的功 解解 小球移动过程中水平力 F 的大小在变化 变大 依题意 小球在运动 上升 中只有两个力做功 应用动能定理列方程 WF mgL 1 cos 0 0 WF mgL 1 cos 例例 28 28 如图 5 26 所示 质量为 m 小球被细绳经过光滑小孔而牵引在光滑水平面上做 圆周运动 拉力为 F1 值时 匀速转动 半径为 R1 当细绳拉力为 F2 值 小球仍作匀速圆 周运动 转动半径为 R2 求此过程中拉力 F 所做的功 解解 细绳的拉力是变力 提供小球作匀速圆周运动的向心力 应用动能定理列方程 由 式得 五 掌握重力做功的特点 机械能概念 机械能守恒的判断及一般应用 提高分析 综合 能力 例例 29 29 如图 5 27 所示 桌面高度为 h 质量为 m 的小球从离桌面高 H 处自由落 下 不计空气阻力 假设桌面处的重力势能为零 小球落到地面前的瞬间的机械能应为 A mgh B mgH C mg H h D mg H h 正确答案 B 22 说明说明 机械能是动能和势能的总和 因选取桌面为参考平面 所以 开始时机械能为 mgH 由于小球在下落过程中只有重力做功 所以 小球在未碰地之前机械能守恒 也就是 说 在任一时刻的机械能都与初始时刻的机械能相等 都为 mgH 所以 选 B 项是正确 的 有些同学错选 D 项 原因是对机械能及参考平面的性质没有掌握准确 机械能是动能 和势能的总和 即 E Ep Ek 小球在自由落下过程中重力势能减小而动能增大 但机械能 没有减小 例例 30 30 物体在地面附近以 2m s2 的加速度匀减速竖直上升 在上升过程中 物体的 机械能的变化应是 A 不变 B 减小 C 增大 D 无法确定 正确答案 C 说明说明 若物体只受重力作用 在地面附近其加速度应为 g 9 8m s2 而该题中物体上升时 的加速度小于 g 这说明该物体受有向上的拉力 在上升过程中 这个力做正功 因此物 体的机械能增大 故选 C 项是正确的 有些同学错选 B 项 A 项 其原因是没有准确掌握 机械能及如何判断物体受几个力作用 是做正功还是做负功 例例 31 31 如图 5 28 所示 光滑半圆上有两个小球 质量分别为 m 和 M 由细绳挂 着 今由静止开始释放 求小球 m 至 C 点时的速度 解解 以两球和地球组成的系统为研究对象 在过程中只有重力做功 机械能守恒 选取初态位置为参考平面 有 说明说明 做机械能守恒定律的应用问题 必须会画出示意图 画出各物体初态位置和末态 位置 选好参考平面 找准初态系统总的机械能和末态系统总的机械能 该题只有重力做 功 系统的机械能守恒 列方程 也可应用动能定理列方程 例例 32 32 质量均为 m 的三个小球 A B C 用两条长均为L的细绳连接着 置高为 h 的 光滑水平平台上 且L h 如图 5 29 所示 在平台边缘的轨道恰好能使小球无摩擦地通 23 过 A 球刚好跨过平台边缘 若 A 球 B 球相继落地后均不弹起 求 C 小球刚离开桌面边缘 时的速度 解解 在运动过程中 只有重力做功 根据机械能守恒定律列 方程 取水平地面为参考平面 当 A 球着地时 小球 C 以 v2 离开桌面为所求 式 式联立解得 说明说明 要正确建立物理模型 当 A 球着地前细绳总是牵连着小球运动 当 A 球着地 AB 间细绳处于松弛状态 仅有 BC 间细绳牵连着 B 球 C 球 重力对 A 球做功使三个球的动能 增加 重力对 B 球做功使 B 和 C 二个球的动能增加 通过训练提高分析问题的能力 例例 33 33 有三个质量均为 m 的物体 A B C C 物体在 OO 细绳中点处 如图 5 30 所 示 细绳与滑轮摩擦不计 OO L 令将 C 物体由静止开始释放 求 C 物体能下落的最大高 度 解法一解法一 以三个物体为一整体作为研究对象 系统只受重力作用 设 C 物体下落最大距离为 s 时 A B 二物体上升距地面高度为 h mgs 2mgh 0 24 解法二解法二 以动能定理列方程 以 A 物体为研究对象 列方程有 Th mgh 0 以 B 物体为研究对象 列方程有 Th mgh 0 以 C 物体为研究对象 列方程有 mgs 2Th 0 由 得 mgs 2mgh 0 说明说明 该题是求最大下落距离 即速度达到零时 物体下落距离最大 反映了物体在外力 作用下 在一段位移上速度发生了变化 可应用动能定理处理 但是该题所研究对象并非 单一物体而是三个物体 若将三个物体视为一整体应用机械能守恒定律来解题极为方便 例例 34 34 下列实例 均不计空气阻力 中的运动物体 机械能守恒的应是 A 被起重机吊起的货物正在匀加速上升 B 物体做平抛运动 C 物体沿粗糙斜面匀速下滑 D 一个轻质弹簧上端固定 下端系一重物 重物沿竖直方向作上下振动 正确答案 B D 说明说明 判断系统的机械能是否守恒 必须依据机械能守恒的条件 具体步骤 a 确定研究 对象 b 进行受力分析 c 分析这些力做功的情况 d 对照机械能守恒的条件加以判 断 有些同学错选 A 项和 C 项 其原因是机械能守恒的条件不清楚 A 取货物和地球组成的系统为研究对象 货物在竖直方向上受到重力和拉力作用 在匀 加速上升的过程中 除了重力做功外 拉力也做功 系统机械能增加 所以 机械能不守 恒 25 B 取物体和地球组成的系统为研究对象 仅受重力 只有重力做功 故系统机械能守 恒 C 取物体和地球组成的系统为研究对象 物体受重力 斜面对它的支持力和摩擦力 由 于摩擦力参与做功 故系统机械能不守恒 D 取弹簧 重物和地球组成的系统为研究对象 在重物沿竖直方向上做上下振动时 重 力和弹力对物体做功 故系统机械能守恒 例例 35 35 如图 5 31 所示 质量为 m 的小球由长为L的细绳 质量 不计 固定在 O 点 令将小球水平拉至 A 点静止释放 在 O 点正下方何 处钉一铁钉 O 方能使小球绕 O 点在竖直平面内做圆周运动 解解 由题意求 O 位置 即确定圆周运动的半径 r OO L r 根据小球在竖直平面维持圆周运动的条件 以小球为研究对象 根据动能定理 得 由 式得 例例 36 36 如图 5 32 所示 一根轻质细杆的两端分别固定着 A B 两个小球 O 点是一光 滑转轴 细杆能绕 O 点在竖直平面内自由转动 已知 AO 长为l BO 长为 2l A 球质量为 m B 球质量为 M 使细杆从水平位置由静止开始转动 求当 B 球转到 O 点正下方时 它对 细杆的拉力 并就 m 值的变化情况讨论这个拉力的变化范围 解解 取 A B 包括细杆 两球与地球组成系统为研究对象 由于 O 轴 作用于杆的力不做功 没有位移 内力只有重力和弹力 杆与球间的 作用力 故系统机械能守恒 取 O 轴所在水平面为参考面 即重力 势能为零 依机械能守恒定律 列方程 26 A B 两球转动角速度相同 有方程 vB 2l vA l B 球作圆周运动 有方程 由 联立解得 讨论 1 当 m M 时 TB 最大 此时 TB 3Mg 2 当 m 2M 时 B 球不可能向下摆 3 当 m 2M 时 TB 最小 此时 TB Mg 这时 B 球以接近零的速率慢慢下摆 说明说明 a 应用机械能守恒定律时只需考虑始末状态的机械能 不必考虑中间过程 这对解 决变力做功 变加速运动等复杂的力学问题较为方便 b 零势能的参考平面可以任意选 取 本题若选取最高点 A 为零势点 则有方程 上述方程所解得的结果相同 不过 选取恰当的零势能位置将给解题带来方便 c 注意分 析问题 没有 A 球时 杆对 B 球的作用力始终指向圆心 O 它对 B 球不做功 B 球与地球所 组成的系统机械能守恒 但有 A 球时 杆对 B 球的作用力不再指向圆心 O 它对 B 球做功 B 球与地球所组成的系统机械能不守恒 或理解为 当 B 球下摆时 A 球要向上转 A 球的 重力势能与动能都增加 能量由 B 球提供 故 B 球与地球组成的系统机械能不守恒 由上 述分析 取以 A B 包括细杆 两球和地球所组成的系统 由于 O 轴作用于杆的力不做功 27 没有位移 内力只有重力和弹力 杆与球间弹力 故系统机械能守恒 由上述分析 可 见选取研究对象的重要性 例例 37 37 如图 5 33 所示 均匀铁链长为L 平放在距地面高为 全部离开桌面的瞬间 其速度为 取地面为零势面 则释放时和铁链全部离开桌面的瞬间 铁链的重力势能分别为 设铁链全部离开桌面的瞬间 铁链的速度为 v 则根据机械能守恒定律 28 故应选 C 例例 38 38 如图 5 34 所示的装置中 木块 M 与地面间无摩擦 子弹以一定的速度沿水平 方向射向木块并留在其中 然后将弹簧压缩至最短 现将木块 子弹 弹簧作为研究对象 从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中系统的 A 机械能守恒 B 机械能不守恒 C 产生的热能等于子弹动能的减少量 D 弹簧压缩至最短时 动能全部转化成势能 解解 子弹以一定的速度沿水平方向射向木块并留在其中这一过程中 摩擦力对 M 做的功 M 位移小 小于子弹克服摩擦力做的功 机械能减少 机械能不守恒 子弹减少的动能一部分 转化成热能 另一部分转化成 M 的动能和弹簧的势能 然后将弹簧压缩至最短这一过程中 只有系统内弹力做功 机械能守恒 但全过程机械能不守恒 从子弹射向木块直至弹簧被 压缩至最短 动能一部分转化成热能 另一部分转化成势能 B 正确 例例 39 39 一个人把重物加速上举到某一高度 则下列说法正确的是 A 物体所受合外力对它所做的功等于它的动能的增量 B 人对物体所做的功等于物体机械能的增量 C 人对物体所做的功和重力对物体所做的功的代数和等于物体机械能的增量 D 克服重力所做的功等于物体的重力势能的增量 解解 根据动能定理可知物体加速上升的过程中 合外力对物体做的功等于动能的增量 A 正确 29 对于重物和地球组成的系统 人对物体的作用力是外力 人对物体做正功 物体的机械能 增加 且等于人对物体所做的功 B 正确 根据 WG Ep 克服重力所做的功等于物体重力势能的增量 D 正确 此题选 A B D 例例 40 40 如图 5 35 所示 长为 2L的轻杆上端及其正中央固定两个质量均为 m 的小球 杆竖直立在光滑的水平面上 杆原来静止 现让其自由倒下 设杆在倒下过程中着地端始 终不离开地面 则 A 着地时的速度为 解解 将 A B 球视为系统 此系统在运动过程中 只有重力做功 系统机械能守恒 则有 系统在运动过程中 受地面竖直向上的弹力 重力也在竖直方向上 因此落地时其速度只 可能竖直向下 没有水平分量 它们绕共同轴 O 点转动 其角速度相同 有 30 例例 41 41 如图 5 36 所示 用长为L的细绳悬挂一质量为 m 的小球 再把小球拉到 A 点 使悬线与水平方向成 30 然后松手 问小球运动到悬点正下方 B 点时悬线中的张力多大 解解 小球自 A 点到 B 点应分为两个阶段 小球从 A 释放后 由于绳松弛 所以球做自由落 体运动 直到将绳拉直 即关于释放位置的对称点 C 处 如图 5 37 所示 以后进入圆轨道 小球进入圆形轨道时只有切向速度 而自由落体的小球在 C 点的速度是向下的 故径向分 量由于绳的作用而变为零 因此该连接点处有能量损失 在以后运动中只有重力做功 机 械能守恒 球从 A 到 C 下落位移为L 由自由落体运动规律知 从 C 到 B 过程中 根据机械能守恒定律 选 B 点所在水平面为零势面 有 在 B 点对球受力分析 由牛顿第二定律得 31 例例 42 42 如图 5 38 所示 劲度系数为 k1 的轻质弹簧两端分别与质量为 m1 m2 的物块 1 2 拴接 劲度系数为 k2 的轻质弹簧上端与物块 2 拴接 下端压在桌面上 不拴接 整 个系统处于平衡状态 现施力将物块 1 缓慢地竖直上提 直到下面那个弹簧的下端刚脱离 桌面 在此过程中 物块 2 的重力势能增加了 物块 1 的重力势能增加了 1996 年高考题 解解 以桌面为零重力势能面 上提前系统处于静止状态 设弹簧 k2 的压缩量为 l2 则 有 F 弹 2 k2 l2 m1 m2 g 当弹簧 k2 刚离开桌面时 物块 2 上升的高度为 h2 l2 设上提之前 弹簧 k1 的压缩量为 l1 取物块 1 为研究对象 物块 1 处于平衡状态 则 有 F 弹 1 k1 l1 m1g 设上提到弹簧 k2 刚离开桌面时 弹簧 k1 的伸长量为 l 1 取物块 2 为研究对象 物块 2 处于平衡状态 则有 F 弹 1 k1 l 1 m2g 设弹簧 k1 和弹簧 k2 的原长为l1 和l2 则将物块 1 2 提起前后 物块 1 距桌面的高度分 别为 h1 l1 l2 l1 l2 32 h2 l1 l2 l 1 所以 物块 1 上提前后的高度差 h1 为 h1 h2 h1 l 1 l1 l2 所以 Ep1 m1g h1 例例 43 43 一质量 m 2kg 的小球从光滑斜面上高 h 3 5m 处由静止滑下 斜面底端紧接着 一个半径 R 1m 的光滑圆环 如图 5 39 求 1 小球滑至圆环顶点时对环的压力 2 小球至少应从多高处静止滑下才能越过圆环最高点 3 小球从 h 2m 处静止滑下时将在何处脱离圆环 g 10m s2 解解 1 设小球滑至环顶时速度为 v 所受环的弹力为 N 以轨道最低点所在水平面为零势 面 由机械能守恒和圆周运动条件得 由 式联立解得 则小球滑至圆环顶点时对环的压力为 N N 40 N 33 2 刚好越过圆环时 在环顶球与环间的弹力为零 只有重力提供向心力 设小球至少应从 h1 高处静止下滑 由机械能守恒和圆周运动条件得 由 式联立解得 3 由于 h 2m 2 5m 故环在还没有到达环顶前即与环脱离 设脱离 时圆环的位置半径与竖直方向夹角为 如图 5 40 由机械能守 恒和圆周运动条件有 由 式联立解得 例例 44 44 如图 5 41 所示 质量为 m 的小球用轻绳系住绕 O 点在竖直平面内做圆周运 动 当小球运动到与 O 点在同一水平面上的右端 34 A 4mg B 3mg 解解 当小球运动到 P 点时依题绳恰好在水平位置 即绳的张力 T 和 T mg 又球在 P 点时绳的张力为向心力 设 P 点小球的速度为 v1 则有 即 所以小球在 P 点的速度和动能分别为 取最低点 M 所在水平面为零重力势能面 则小球在 P 点的重力势能和总能量为 设小球到 M 点时速度为 v2 在 M 点小球总能量为 根据机械能守恒 E1 E2 35 在 M 点向心力 F 向 2 T mg 则 由 式联立解得 T 4mg 例例 45 45 一内壁光滑的环形细圆管 位于竖直平面内 环的半径为 R 比细管的半径大 得多 在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球 可视为质点 A 球的质量为 m1 B 球 的质量为 m2 它们沿环形圆管顺时针运动 经过最低点时的速度都为 v0 设 A 球运动到最 低点时 B 球恰好运动到最高点 若要此时两球作用于圆管的合力为零 那么 m1 m2 R 与 v0 应满足的关系式为 解解 A 球在最低点 对 A 球受力分析 如图 5 42 所示 根据牛顿第二定律 则 A 球对圆管向下的压力为 对 B 球 选圆管最低点所在水平面为零重力势能面 根据机械能守恒定律 由 式联立得 36 则 B 球对圆管向上的压力为 两球作用于圆管的合力为零 则 N A N B 0 将 式代入 式得 六 熟练运用能量守恒定律解决有关的动力学问题 尤其应特别注意 摩擦力做功与产生六 熟练运用能量守恒定律解决有关的动力学问题 尤其应特别注意 摩擦力做功与产生 热能间的关系热能间的关系 例例 4