六种经典线性规划例题

1 线性规划常见题型及解法 由由已已知知条条件件写写出出约约束束条条件件 并并作作出出可可行行域域 进进而而通通过过平平移移直直线线在在可可行行域域内内求求线线性性目目标标函函 数数的的最最优优解解是是最最常常见见的的题题型型 除除此此之之外外 还还有有以以下下六六类类常常见见题题型型 一一 求求线线性性目目标标函函数数的的取取值值范范围围 例例 1 1 若若 x x y y 满满足足约约束束条条件件 则则 z z x x 2 2y y 的的取取值值范范围围是是 2 2 2 x y xy A A 2 2 6 6 B B 2 2 5 5 C C 3 3 6 6 D D 3 3 5 5 解解 如如图图 作作出出可可行行域域 作作直直线线l l x x 2 2y y 0 0 将将 l l向向右右上上方方平平移移 过过点点A A 2 2 0 0 时时 有有最最小小值值 2 2 过过点点 B B 2 2 2 2 时时 有有最最大大值值6 6 故故选选 A A 二二 求求可可行行域域的的面面积积 例例 2 2 不不等等式式组组表表示示的的平平面面区区域域的的面面积积为为 260 30 2 xy xy y A A 4 4 B B 1 1 C C 5 5 D D 无无穷穷大大 解解 如如图图 作作出出可可行行域域 A AB BC C 的的面面积积即即为为所所求求 由由梯梯形形O OM MB BC C 的的面面积积减减去去梯梯形形O OM MA AC C 的的面面积积即即 可可 选选 B B 三三 求求可可行行域域中中整整点点个个数数 例例 3 3 满满足足 x x y y 2 2 的的点点 x x y y 中中整整点点 横横纵纵坐坐标标都都是是整整数数 有有 A A 9 9 个个 B B 1 10 0 个个 C C 1 13 3 个个 D D 1 14 4 个个 解解 x x y y 2 2 等等价价于于 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 xyxy xyxy xyxy xyxy 作作出出可可行行域域如如右右图图 是是正正方方形形内内部部 包包括括边边界界 容容易易得得到到整整 x y O x y O2 2 x 2 y 2 x y 2 B A 2x y 6 0 5 x y 3 0 O y x A B C M y 2 2 点点个个数数为为1 13 3 个个 选选 D D 四四 求求线线性性目目标标函函数数中中参参数数的的取取值值范范围围 例例 4 4 已已知知 x x y y 满满足足以以下下约约束束条条件件 使使 z z x x a ay y a a 0 0 取取 5 50 3 xy xy x 得得最最小小值值的的最最优优解解有有无无数数个个 则则 a a 的的值值为为 A A 3 3 B B 3 3 C C 1 1 D D 1 1 解解 如如图图 作作出出可可行行域域 作作直直线线l l x x a ay y 0 0 要要使使目目标标函函数数z z x x a ay y a a 0 0 取取得得最最小小值值的的最最优优解解 有有无无数数个个 则则将将l l向向右右上上方方平平移移后后与与直直线线x x y y 5 5 重重合合 故故a a 1 1 选选 D D 五五 求求非非线线性性目目标标函函数数的的最最值值 例例 5 5 已已知知 x x y y 满满足足以以下下约约束束条条件件 则则 z z x x2 2 y y2 2的的最最大大值值和和最最小小值值分分别别是是 220 240 330 xy xy xy A A 1 13 3 1 1 B B 1 13 3 2 2 C C 1 13 3 D D 4 5 13 2 5 5 解解 如如图图 作作出出可可行行域域 x x2 2 y y2 2是是点点 x x y y 到到原原点点的的距距 离离的的平平方方 故故最最大大值值为为点点A A 2 2 3 3 到到原原点点的的距距离离的的平平方方 即即 A AO O 2 2 1 13 3 最最小小值值为为原原点点到到直直线线2 2x x y y 2 2 0 0 的的距距离离的的平平方方 即即为为 选选 C C 4 5 六六 比值问题比值问题 当目标函数形如 ya z xb 时 可把 z 看作是动点 P x y与定点 Q b a连线的斜率 这样目标函数的最值就转 化为 PQ 连线斜率的最值 例例 已知变量x y满足约束条件则 的取值范围是 x y 2 0 x 1 x y 7 0 y x A 6 B 6 9 5 9 5 C 3 6 D 3 6 x y 5 x y 5 0 O y xx 3 2x y 2 0 5 x 2y 4 0 3x y 3 0 O y x A