2011-2012学年高三数学上学期单元测试（5）新人教版

高中学生学科素质训练系列试题高三上学期数学单元测试 高中学生学科素质训练系列试题高三上学期数学单元测试 5 5 原人教版原人教版 平面向量 第五章 平面向量 第五章 注意事项 1 本试题分为第 卷和第 卷两部分 满分 150 分 考试时间为 120 分钟 2 答第 卷前务必将自己的姓名 考号 考试科目涂写在答题卡上 考试结束 试题 和答题卡一并收回 3 第 卷每题选出答案后 都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 ABCD 涂黑 如需改动 必须先用橡皮擦干净 再改涂其它答案 第 卷 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的代 号填在题后的括号内 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 下列四个命题中 正确命题的个数是 共线向量是在同一条直线上的向量 若两个向量不相等 则它们的终点不可能是同一点 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是与 与分别共线 ABCDBCAD A 1 B 2 C 3 D 4 2 在四边形ABCD中 a a 2b b 4a a b b 5a a 3b b 其中a a b b不共线 则四ABBCCD 边形ABCD为 A 平行四边形B 矩形C 梯形D 菱形 3 在以下关于向量的命题中 不正确的是 A 若向量a a x y 向量b b y x x y 0 则a a b b B 四边形ABCD是菱形的充要条件是 且 ABDCABAD C 点G是 ABC的重心 则 0 0GAGBCG D ABC中 和的夹角等于 180 AABCA 4 下面三种说法中 正确的说法是 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面的所有向量的基底 一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内的所有向量的基底 零向量不可作为基底中的向量 A B C D 5 把的图象沿向量a a平移后得到的图象 则向量a a的坐标32cos xy 3 2sin xy 为 A 3 B 3 C 3 D 3 6 6 12 12 6 在 ABC中 AD BE CF分别是BC CA AB边上的中线 G是它的交点 则下列等式中 不正确的是 A B 2 3 BG BEDG 2 1 AG C 2D CGFG 3 1 DA 2 1 3 2 FC BC 7 若 3e e1 5e e1 且 则四边形ABCD是 ABCDADBC A 平行四边形B 菱形C 等腰梯形D 不等腰梯形 8 若 8 5 则 的取值范围是 ABACBC A 3 8 B 3 8 C 3 13 D 3 13 9 已知A B C三点不共线 O是 ABC内的一点 若 0 0 则O是 ABC的 OA OBOC A 重心B 垂心 C 内心D 外心 10 已知四边形ABCD是菱形 点P在对角线AC上 不包括端点A C 则等于 AP A 0 1 B 0 ABADABBC 2 2 C 0 1 D 0 ABADBCAB 2 2 11 已知三点 A 0 8 B 4 0 C 5 3 D 点内分 的比为 1 3 E 点AB 在 BC 边上 且使 BDE 的面积是 ABC 面积的一半 则向量的坐标是 DE A 3 6 B 3 8 C 3 8 D 3 8 12 已知 3 1 1 2 则满足 9 与 4 的向量是 a b x a x b x A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 3 2 第 卷 二 填空题 请把答案填在题中横线上 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 13 设向量与的夹角为 且 则 a b 3 3 a 1 1 2 ab cos 14 已知向量a b不共线 实数x y满足向量等式 3xa 10 y b 2xb 4y 4 a 则 x y 15 已知点 A 1 B 0 0 C 0 设 BAC 的平分线33 AE 与 BC 相交于 E 那么有等于 其中 CEBC 16 已知 D为 ABC的边BC上的中点 E是AD上的一点 且 3 若 a a 则 AEEDADEAEBEC 用a a表示 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 个大题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 如图 ABCD是一个梯形 AB CD 且AB 2CD M N分别是DC和AB 的中点 已知 a a b b 试用a a b b表示ABADBC 和 MN 18 本小题满分 12 分 已知常数 0 在矩形 ABCD 中 a AB 4 BC 4 0 O 为 AB 的中点 点 E F aa G 分别在 BC CD DA 上移动 且 DA DG CD CF BC BE P 为 GE 与 OF 的交点 如图 问题否存在两个定点 使 P 到这两点的距离的和为定值 若存在 求出这两点 的坐标及此定值 若不存在 请说明理由 19 本小题满分 12 分 在 ABC 中 2 AB ACAB AC 1 求 2 2的值 AB AC 2 当 ABC 面积过大时 求 A 的大小 20 本小题满分 12 分 在 ABC中 DE BC 与边AC相交于点E ABC的ABAD 4 1 中线AM与DE相交于点N 设 a a b b 试用a a b b表示 ABACDN 21 本小题满分 12 分 设曲线 C 的方程 将曲线 C 按向量a a h k 平移后xxy 3 得曲线 C1 1 写出曲线 C1的方程 2 证明曲线 C 与 C1关于点 A 对称 2 h 2 k 22 本小题满分 12 分 将函数进行平移 使得到的图形与抛物线 2 2xy 的两个交点关于原点对称 求平移后的函数解析式 242 2 xxy 参考答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 A 解析 平行向量即共线向量 不一定在同一条直线上 故 错 不等向量的终点可 相同 故 错 与已知非零向量共线的单位向量有两个 一个同向 一个反向 故 错 2 C 解析 8a a 2b b 2 四边形ABCD为梯形 ADCDBCAB BCBCAD 3 C 解析 若点G是 ABC的重心 则有 0 0 而C的结论是GAGBGC 0 0 显然是不成立的 选 C GAGBCG 4 B 解析 任何一对不共线向量都可作为平面内所有向量的基底 基底有无穷多对 0 0 与 任何向量共线 所以不能作为基底中的向量 错 对 5 C 解析 解法 1 设向量a a h k 则代入得 kyy hxx 3 2sin xy 3 2sin hxky 即 与对照得khxy 3 22sin 3 2 2sin 32cos xxy 3 1223 2 khh a a 3 12 解法 2 由与对照得3 2 2sin 32cos xxy 3 2sin xy 所以平移向量a a 3 122 2 3 2 yyxxxx 3 12 6 D 解析 B不正确 A C正确易得 对于D 2 1 DGGAAG 2 1 故D正确 3 1 3 2 DAGCDGFC 2 1 BC 7 C 解析 3e e1 5e e1 与平行且方向相反 易ABCDCD 3 5 ABABCD 知 又 四边形ABCD是等腰梯形 CDABADBC 8 C 解析 BCACAB 当 同向时 8 5 3 当 反向时 8 5 13 ABACBCABACBC 当 不平行时 3 13 综上 3 13 ABACBCBC 9 A 解析 如图 以 为邻边作AOCF交AC于点E 则 OAOCOFOAOC 又 2 OCOA OBOFOEOB 10 A 解析 由向量的运算法则 而点P在对角线AC上 所以与ACABADAP 同向 且 0 1 ACAPACAPABAD 11 B 解析 由已知得 则 AD 3 1 DB AB DB 4 3 又 而 sinDBE 2 1 ABC BDE S S BDE S 2 1 DBBE sinABC 且 BDE ABC ABC S 2 1 ABBC 即得 BCAB BEDB 2 1 3 2 BC BE 又点 E 在边 BC 上 2 点 E 分所成比 EC BE BC 2 由定比分点坐标公式有 即 E 2 2 42 5 2 12 02 3 2 12 E E x y 又由 得 D 1 6 1 0 4 3 1 1 1 3 8 6 1 1 3 D D x y 3 8 向量的坐标为 3 8 DEDE 12 B 解析 设 t s x 由 2 3 939 244 x ats tsx b 3 2 s t x 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 解析 3 10 10 22 3 323 231 1 bx ybax yxy 设由 2311 1 2 2312 xx b yy 得 2222 3 1 3 23 10 cos 10 3312 a b a b ab 14 4 2 解析 由题意 解得 xy yx 210 443 2 4 y x 15 3 解析 由已知得由已知得 且且 1 0 1 0 即即 又又 1 BECE 1 BC CE BCAB ACCE 3 3 12 16 a a b b 解析 如图 由 a a 3知 a a a a 又由于ED是 ADAEEDEA 4 3 ED 4 1 BEC的中线 故由三角形中线向量公式知 ED 2 1 ECEB a a a a a a A A 2 1 2 EDECEB 4 3 ECEBEA 2 1 4 1 三 解答题三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 解法 1 连结CN 则ANDC 四边形ANCD是平行四边形 b b 又 0 0 CNAD CNBCNB b b A A b b a a a a B B NBCNBC 2 1 ANCNCMCNMN 2 1 4 1 4 1 解法 2 0 0 DACDBCAB 即 a a a a b b 0 0 b b A A BC 2 1 BC 2 1 又 在四边形ADMN中 有 0 0 NAMNDMAD 即 b b a a a a 0 0 a a B B 4 1 MN 2 1 4 1 MN 18 解 由题意得 A 2 0 B 2 0 C 2 4 D 2 4 aa 设 k 0 k 1 DA DG CD CF BC BE 则 E 2 4k F 2 4k 4 G 2 4 4k aaaa 又令 P 则 2 4k 4xyOPxyOF a 2 4 4k 4 8k 4 GPxyaaGEaa 与共线 4 2 4k 0 OPOFa xy 即 2 1 2k a xy 与共线 4 4 4k 2 8k 4 0 GPGEyaaxaa 即 2 1 2k aya x 由 消去 k 得 1 2 1 2 22 a ayx 1 当 点 P 的轨迹是圆弧 不存在符合题意的两定点 2 a 2 1 2 当 点 P 的轨迹是椭圆弧 其焦点 0 0 2 a 2 1 a 2 1 2 aa 为所求的符合题意的两定点 此时点 P 到它们的距离和为定值 2 2 1 2 aa 19 解 1 由已知得 2 2 8 22 2 2 4 AB AC ABAB ACAC ABAC 2 AB 2 AB AB cos ACAC AC A 2 1 ABC SAACABsin 2 1 ACAB A 2 cos1 2 1 AACABACAB 22222 cos 2 1 4 22 ACAB 2 1 34 2 2 22 ACAB 当且仅当 2 时 取等号 ABAC 当 ABC 面积取最大值时 A 3 2 1 AB AB cos AC AC A 3 20 解 因为M为BC的中点 所以有 b b a a a a b b 2 1 2 1 2 1 ABACBCBM 2 1 BMABAM 因为 AMANBMDN 根据向量共线的充要条件 存在实数 和 使得 b b a a 2 1 BMDN a a b b 2 1 AMAN 因为a a b b a a a a b b DNADAN 4 1 2 1 4 1 2 2 根据基本定理有 解方程得 可得 b b a a 22 224 1 4 1 8 1 DN 21 解 1 设 P 为曲线 C 上任意一点 按向量a a h k 平移后得对应点 P yx 由平移公式得所以 yx xxh yyk xxh yyk 代入中 得 xxy 3 3 hxhxky 即平移后的曲线 C1的方程为 khxhxy 3 2 在曲线上任取一点 B1 设点 B2 关于点 A 的对称点 即 A 为 B1 11 y x 22 y x 与 B2的中点 所以有 22 22 2121 kyyhxx 所以代入曲线 C 的方程中 得满足方程 2121 ykyxhx 22 yx 和 khxhxxhxhyk 2 3 22 3 22 由此可知点 B2 在曲线 C1上 反过来 同理可证明 在曲线 C1上的任意点关于 22 y x 点 A 的对称点也在曲线 C 上 综上 曲线 C 与 C1关于点 A 对称 22 解法 1 设平移向量a a h k 则按a a平移之后得到的图象的解析式为 2 2xy khxy 2 2 设 M m n 和是与的两个交点 则 nmM 242 2 xxykhxy 2 2 解得或 2 2 242 2 4 2 nmm nmm 1 4 m n 1 4 m n 点 1 4 和点 1 4 在函数的图象上 khxy 2 2 2 2 1 2 1 4 4 2 1 4 hhk khk 故求得解析式 即 4 1 2 2 xy242 2 xxy 解法 2 将按向量a a h k 平移 设 P 为上任一点 按 2 2xy