勾股定理16种经典证明方法

1 1 勾股定理的证明勾股定理的证明 证法证法 1 1 做 8 个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b 斜边长为 c 再做三个边长分别为 a b c 的正 方形 把它们像上图那样拼成两个正方形 从图上可以看到 这两个正方形的边长都是 a b 所以面积相等 即 abcabba 2 1 4 2 1 4 222 整理得 222 cba 证法证法 2 2 邹元治证明 邹元治证明 以 a b 为直角边 以 c 为斜边做四个全等的直角三角形 则每个直角三角形的面积等于 ab 2 1 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状 使 A E B 三点在一条直线上 B F C 三点在一条直线上 C G D 三点在一条直线上 Rt HAE Rt EBF AHE BEF AEH AHE 90 AEH BEF 90 HEF 180 90 90 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形 它的面积等于 c2 Rt GDH Rt HAE HGD EHA HGD GHD 90 EHA GHD 90 又 GHE 90 DHA 90 90 180 ABCD 是一个边长为 a b 的正方形 它的面积等于 2 ba 2 2 2 1 4cabba 222 cba 证法证法 3 3 赵爽证明 赵爽证明 以 a b 为直角边 b a 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形 则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状 Rt DAH Rt ABE HDA EAB HAD HAD 90 EAB HAD 90 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 它的面积等于 c2 DG C F A H E B a b c a b c a b c a b c b ab a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b a c G D A C B F EH 2 2 a ba b c c AB C D E P H G F E D C BA a b c a b c ab c a b c EF FG GH HE b a HEF 90 EFGH 是一个边长为 b a 的正方形 它的面积等于 2 ab 2 2 2 1 4cabab 222 cba 证法证法 4 4 18761876 年美国总统年美国总统 GarfieldGarfield 证明 证明 以 a b 为直角边 以 c 为斜边作两个全等的直角三角形 则每个直角三角形的面积等于 ab 2 1 把这两个直角 三角形拼成如图所示形状 使 A E B 三点在一条直线上 Rt EAD Rt CBE ADE BEC AED ADE 90 AED BEC 90 DEC 180 90 90 DEC 是一个等腰直角三角形 它的面积等于 2 2 1 c 又 DAE 90 EBC 90 AD BC ABCD 是一个直角梯形 它的面积等于 2 2 1 ba 2 2 2 1 2 1 2 2 1 cabba 222 cba 证法证法 5 5 梅文鼎证明 梅文鼎证明 做四个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b 斜边长为 c 把它们拼成如图那样的一个多边 形 使 D E F 在一条直线上 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P D E F 在一条直线上 且 Rt GEF Rt EBD EGF BED EGF GEF 90 BED GEF 90 BEG 180 90 90 又 AB BE EG GA c ABEG 是一个边长为 c 的正方形 ABC CBE 90 Rt ABC Rt EBD ABC EBD EBD CBE 90 即 CBD 90 又 BDE 90 BCP 90 BC BD a BDPC 是一个边长为 a 的正方形 同理 HPFG 是一个边长为 b 的正方形 设多边形 GHCBE 的面积为 S 则 2 1 2 22 abSba abSc 2 1 2 2 3 3 c c c ba c b a A B C E F P Q M N 222 cba 证法证法 6 6 项明达证明 项明达证明 做两个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b b a 斜边长为 c 再做一个边长为 c 的正 方形 把它们拼成如图所示的多边形 使 E A C 三点在一条直线上 过点 Q 作 QP BC 交 AC 于点 P 过点 B 作 BM PQ 垂足为 M 再过点 F 作 FN PQ 垂足为 N BCA 90 QP BC MPC 90 BM PQ BMP 90 BCPM 是一个矩形 即 MBC 90 QBM MBA QBA 90 ABC MBA MBC 90 QBM ABC 又 BMP 90 BCA 90 BQ BA c Rt BMQ Rt BCA 同理可证 Rt QNF Rt AEF 从而将问题转化为 证法 4 梅文鼎证明 证法证法 7 7 欧几里得证明 欧几里得证明 做三个边长分别为 a b c 的正方形 把它们拼成如图所示形状 使 H C B 三点在一条直线上 连结 BF CD 过 C 作 CL DE 交 AB 于点 M 交 DE 于点 L AF AC AB AD FAB GAD FAB GAD FAB 的面积等于 2 2 1 a GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半 矩形 ADLM 的面积 2 a 同理可证 矩形 MLEB 的面积 2 b 正方形 ADEB 的面积 矩形 ADLM 的面积 矩形 MLEB 的面积 222 bac 即 222 cba 证法证法 8 8 利用相似三角形性质证明 利用相似三角形性质证明 证法证法 9 9 杨作玫证明 杨作玫证明 做两个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b b a 斜边长为 c 再做一个边长为 c 的正方形 把它们拼成如图所示的多边形 过 A 作 AF AC AF 交 GT 于 F AF 交 DT 于 R 过 B 作 BP AF 垂足为 P 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直 垂足为 E DE 交 AF 于 H BAD 90 PAC 90 DAH BAC 又 DHA 90 BCA 90 AD AB c Rt DHA Rt BCA DH BC a AH AC b 由作法可知 PBCA 是一个矩形 所以 Rt APB Rt BCA 即 PB CA b AP a 从而 PH b a Rt DGT Rt BCA 9 8 7 6543 21 P Q R T H G F E D CB A a b c a b cc c c b a c b a AB C D E F G H M L K 4 4 Rt DHA Rt BCA Rt DGT Rt DHA DH DG a GDT HDA 又 DGT 90 DHF 90 GDH GDT TDH HDA TDH 90 DGFH 是一个边长为 a 的正方形 GF FH a TF AF TF GT GF b a TFPB 是一个直角梯形 上底 TF b a 下底 BP b 高 FP a b a 用数字表示面积的编号 如图 则以 c 为边长的正方形的面积为 54321 2 SSSSSc abaabbSSS 2 1 438 abb 2 1 2 985 SSS 8 2 43 2 1 SabbSS 81 2 SSb 把 代入 得 9881 2 21 2 SSSSbSSc 92 2 SSb 22 ab 222 cba 证法证法 10 10 李锐证明 李锐证明 设直角三角形两直角边的长分别为 a b b a 斜边的长为 c 做三个边长分别为 a b c 的正方形 把它们拼 成如图所示形状 使 A E G 三点在一条直线上 用数字表示面积的编号 如图 TBE ABH 90 TBH ABE 又 BTH BEA 90 BT BE b Rt HBT Rt ABE HT AE a GH GT HT b a 又 GHF BHT 90 DBC BHT TBH BHT 90 GHF DBC DB EB ED b a HGF BDC 90 Rt HGF Rt BDC 即 27 SS 过 Q 作 QM AG 垂足是 M 由 BAQ BEA 90 可知 ABE QAM 而 AB AQ c 所以 Rt ABE Rt QAM 又 Rt HBT Rt ABE 所以 Rt HBT Rt QAM 即 58 SS 由 Rt ABE Rt QAM 又得 QM AE a AQM BAE AQM FQM 90 BAE CAR 90 AQM BAE FQM CAR 又 QMF ARC 90 QM AR a Rt QMF Rt ARC 即 64 SS 54321 2 SSSSSc 61 2 SSa 873 2 SSSb 又 27 SS 58 SS 64 SS 87361 22 SSSSSba M H Q R T G FE D C B A c b a 8 7 6 5 4 3 2 1 5 5 52341 SSSSS 2 c 即 222 cba 证法证法 11 11 利用切割线定理证明 利用切割线定理证明 证法证法 12 12 利用多列米定理证明 利用多列米定理证明 证法证法 13 13 作直角三角形的内切圆证明 作直角三角形的内切圆证明 证法证法 14 14 利用反证法证明 利用反证法证明 证法证法 15 15 辛卜松证明 辛卜松证明 设直角三角形两直角边的长分别为 a b 斜边的长为 c 作边长是 a b 的正方形 ABCD 把正方形 ABCD 划分成上 方左图所示的几个部分 则正方形 ABCD 的面积为 abbaba2 22 2 把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的 几个部分 则正方形 ABCD 的面积为 2 2 2 1 4cabba 2 2cab 222 22cababba 222 cba 证法证法 16 16 陈杰证明 陈杰证明 设直角三角形两直角边的长分别为 a b b a 斜边的长为 c 做两个边长分别为 a b 的正方形 b a 把它 们拼成如图所示形状 使 E H M 三点在一条直线上 用数字表示面积的编号 如图 在 EH b 上截取 ED a 连结 DA DC 则 AD c EM EH HM b a ED a DM EM ED ab a b 又 CMD 90 CM a AED 90 AE b Rt AED Rt DMC EAD MDC DC AD c ADE ADC MDC 180 ADE MDC ADE EAD 90 ADC 90 作 AB DC CB DA 则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 BAF FAD DAE FAD 90 BAF DAE 连结 FB 在 ABF 和 ADE 中 AB AD c AE AF b BAF DAE ABF ADE AFB AED 90 BF DE a 点 B F G H 在一条直线上 ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 2 c 2 b 2 a A A D D BB CC b a b