2015年全国高考数学卷文科卷1及解析

试卷第 1 页 总 5 页 2015 年全国高考数学卷文科卷年全国高考数学卷文科卷 1 一 选择题一 选择题 1 已知集合 32 6 8 10 12 14 Ax xnnNB 则集合AB 中 的元素个数为 A 5 B 4 C 3 D 2 2 已知点 0 1 3 2 AB 向量 4 3 AC 则向量BC A 7 4 B 7 4 C 1 4 D 1 4 3 已知复数z满足 1 1zii 则z A 2i B 2i C 2i D 2i 4 如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这 3 个数为一组 勾股数 从1 2 3 4 5中任取 3 个不同的数 则这 3 个数构成一组勾股数的概率 为 A 3 10 B 1 5 C 1 10 D 1 20 5 已知椭圆 E 的中心为坐标原点 离心率为 1 2 E 的右焦点与抛物线 2 8C yx 的焦点重合 A B是 C 的准线与 E 的两个交点 则AB A 3 B 6 C 9 D 12 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今 有委米依垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在 屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的弧长为 8 尺 米堆的高为 5 尺 米堆的体积和堆放的米各为多少 已知 1 斛米的体积 约为 1 62 立方尺 圆周率约为 3 估算出堆放的米有 A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛 7 已知 n a是公差为 1 的等差数列 n S为 n a的前n项和 若 84 4SS 则 10 a A 17 2 B 19 2 C 10 D 12 8 函数 cos f xx 的部分图像如图所示 则 f x的单调递减区间为 A 13 44 kkkZ B 13 2 2 44 kkkZ C 13 44 kkkZ D 13 2 2 44 kkkZ 试卷第 2 页 总 5 页 9 执行右面的程序框图 如果输入的0 01t 则输出的n A 5 B 6 C 10 D 12 10 已知函数 1 2 22 1 log 1 1 x x f x xx 且 3f a 则 6 fa A 7 4 B 5 4 C 3 4 D 1 4 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为r 组成一个几何体 该几 何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为1620 则r A 1 B 2 C 4 D 8 12 设函数 yf x 的图像与2x ay 的图像关于直线yx 对称 且 2 4 1ff 则a A 1 B 1 C 2 D 4 二 填空题二 填空题 13 数列 n a中 11 2 2 nnn aaa S 为 n a的前 n 项和 若126 n S 则n 14 已知函数 3 1f xaxx 的图像在点 1 1f的处的切线过点 2 7 则 a 15 若 x y 满足约束条件 20 210 220 xy xy xy 则 z 3x y 的最大值为 16 已知F是双曲线 2 2 1 8 y C x 的右焦点 P 是 C 左支上一点 0 6 6A 当APF 周长最小时 该三角形的面积为 三 解答题三 解答题 17 本小题满分 12 分 已知 a b c分别是ABC 内角 A B C的对边 2 sin2sinsinBAC 若ab 求cos B 若90B 且 2 a 求ABC 的面积 试卷第 3 页 总 5 页 18 本小题满分 12 分 如图四边形 ABCD 为菱形 G 为 AC 与 BD 交点 BEABCD 平平 证明 平面AEC 平面BED 若120ABC AEEC 三棱锥EACD 的体积为 6 3 求该三 棱锥的侧面积 19 本小题满分 12 分 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了 解年宣传费 x 单位 千元 对年销售量 y 单位 t 和年利润 z 单位 千元 的影响 对近 8 年的宣传费 i x和年销售量 1 2 8 i y i 数据作了初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 x y w 8 2 1 i i xx 8 2 1 i i ww 8 1 ii i xxyy 8 1 ii i ww yy 46 656 36 8289 81 61469108 8 表中 i w i x w 1 8 8 1 i i w 根据散点图判断 yabx 与ycdx 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 根据 的判断结果及表中数据 建立 y 关于 x 的回归方程 III 已知这种产品的年利润 z 与 x y 的关系为0 2zyx 根据 的结果回答下列问题 当年宣传费90 x 时 年销售量及年利润的预报值时多少 当年宣传费x为何值时 年利润的预报值最大 附 对于一组数据 11 u v 22 u v nn u v 其回归线vu 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为 试卷第 4 页 总 5 页 A1 2 1 n ii i n i i uu vv uu AA vu 20 本小题满分 12 分 已知过点 1 0A且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 22 231xy 交于 M N 两点 求 k 的取值范围 12OM ON 其中 O 为坐标原点 求MN 21 本小题满分 12 分 设函数 2 ln x f xeax 讨论 f x的导函数 fx 的零点的个数 证明 当0a 时 2 2lnf xaa a 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB 是直径 AC 是切线 BC 交与点 E 若 D 为 AC 中点 求证 DE 是切线 若 求的大小 3OACE ACB 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中 直线 1 2Cx 圆 22 2 121Cxy 以坐 标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 求 12 C C的极坐标方程 若直线 3 C的极坐标方程为 R 4 设 23 C C的交点为 M N 求 2 C MN 的面积 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 12 0f xxxa a 当1a 时求不等式 1f x 试卷第 5 页 总 5 页 的解集 若 f x 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6 求 a 的取值范 围 答案第 1 页 总 8 页 参考答案参考答案 1 D 解析 试题分析 由条件知 当 n 2 时 3n 2 8 当 n 4 时 3n 2 14 故 A B 8 14 故选 D 考点 集合运算 2 A 解析 试题分析 ABOBOA 3 1 BC ACAB 7 4 故选 A 考点 向量运算 3 C 解析 试题分析 1 1zii z 2 12 12 2 iii i ii 故选 C 考点 复数运算 4 C 解析 试题分析 从 1 2 3 4 51 2 3 4 5中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取 法 其中的勾股数只有 3 4 5 故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种 故所求概率为 1 10 故选 C 考点 古典概型 5 B 解析 试题分析 抛物线 2 8C yx 的焦点为 2 0 准线方程为2x 椭 圆 E 的右焦点为 2 0 椭圆 E 的焦点在 x 轴上 设方程为 22 22 1 0 xy ab ab c 2 1 2 c e a 4a 222 12bac 椭圆 E 方程为 22 1 1612 xy 将2x 代入椭圆 E 的方程解得 A 2 3 B 2 3 AB 6 故选 B 考点 抛物线性质 椭圆标准方程与性质 6 B 解析 试题分析 设圆锥底面半径为 r 则 1 2 38 4 r 所以 16 3 r 所以米堆 的体积为 2 1116 3 5 433 320 9 故堆放的米约为 320 9 1 62 22 故 选 B 考点 圆锥的性质与圆锥的体积公式 7 B 解析 试题分析 公差1d 84 4SS 11 11 88 74 44 3 22 aa 解得 1 a 1 2 101 119 99 22 aad 故选 B 考点 等差数列通项公式及前 n 项和公式 8 D 解析 答案第 2 页 总 8 页 试题分析 由五点作图知 1 42 53 42 解得 4 所以 cos 4 f xx 令22 4 kxkkZ 解得 1 2 4 k x 3 2 4 k kZ 故单调减区间为 1 2 4 k 3 2 4 k kZ 故选 D 考点 三角函数图像与性质 9 C 解析 试题分析 执行第 1 次 t 0 01 S 1 n 0 m 1 2 0 5 S S m 0 5 2 m m 0 25 n 1 S 0 5 t 0 01 是 循环 执行第 2 次 S S m 0 25 2 m m 0 125 n 2 S 0 25 t 0 01 是 循环 执行第 3 次 S S m 0 125 2 m m 0 0625 n 3 S 0 125 t 0 01 是 循 环 执行第 4 次 S S m 0 0625 2 m m 0 03125 n 4 S 0 0625 t 0 01 是 循环 执行第 5 次 S S m 0 03125 2 m m 0 n 5 S 0 03125 t 0 01 是 循 环 执行第 6 次 S S m 0 2 m m 0 n 6 S 0 t 0 01 是 循环 执行第 7 次 S S m 0 2 m m 0 n 7 S 0 t 0 01 否 输出 n 7 故选 C 考点 程序框图 10 A 解析 试题分析 3f a 当1a 时 1 223 a f a 则 1 21 a 此等式显然不成立 当1a 时 2 log 1 3a 解得7a 6 fa 1 f 1 1 7 22 4 故选 A 考点 分段函数求值 指数函数与对数函数图像与性质 11 B 解析 试题分析 由正视图和俯视图知 该几何体是半球与半个圆柱的组合体 圆 柱的半径与球的半径都为 r 圆柱的高为 2r 其表面积为 22 1 4222 2 rrrrrr 22 54rr 16 20 解得 r 2 故 选 B 考点 简单几何体的三视图 球的表面积公式 圆柱的测面积公式 12 C 解析 试题分析 设 x y是函数 yf x 的图像上任意一点 它关于直线 yx 对称为 yx 由已知知 yx 在函数2x ay 的图像上 2 y a x 解得 2 log yxa 即 2 log f xxa 答案第 3 页 总 8 页 22 2 4 log 2log 41ffaa 解得2a 故选 C 考点 函数对称 对数的定义与运算 13 6 解析 试题分析 11 2 2 nn aaa 数列 n a是首项为 2 公比为 2 的等比 数列 2 1 2 126 1 2 n n S 264 n n 6 考点 等比数列定义与前 n 项和公式 14 1 解析 试题分析 2 31fxax 1 31fa 即切线斜率31ka 又 1 2fa 切点为 1 2a 切线过 2 7 27 31 12 a a 解得a 1 考点 利用导数的几何意义求函数的切线 常见函数的导数 15 4 解析 试题分析 作出可行域如图中阴影部分所示 作出直线 0 l 30 xy 平 移直线 0 l 当直线l z 3x y 过点 A 时 z 取最大值 由 2 0 21 0 xy xy 解得 A 1 1 z 3x y 的最大值为 4 考点 简单线性规划解法 16 12 6 解析 试题分析 设双曲线的左焦点为 1 F 由双曲线定义知 1 2 PFaPF APF 的周长为 PA PF AF PA 1 2 aPF AF PA 1 PF AF 2a 由于2 aAF 是定值 要使 APF 的周长最小 则 PA 1 PF最小 即 P A 1 F共线 0 6 6A 1 F 3 0 直线 1 AF的方程为1 36 6 xy 即 3 2 6 y x 代入 2 2 1 8 y x 整理得 2 6 6960yy 解得2 6y 或 8 6y 舍 所以 P 点的纵坐标为2 6 11 APFAFFPFF SSS 11 6 6 66 2 6 22 12 6 答案第 4 页 总 8 页 考点 双曲线的定义 直线与双曲线的位置关系 最值问题 17 1 4 1 解析 试题分析 先由正弦定理将 2 sin2sinsinBAC 化为变得关系 结 合条件ab 用其中一边把另外两边表示出来 再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值 由 知 2 2bac 根据勾股定理和即可求出 c 从而 求出ABC 的面积 试题解析 由题设及正弦定理可得 2 2bac 又ab 可得2bc 2ac 由余弦定理可得 222 1 cos 24 acb B ac 由 1 知 2 2bac 因为B 90 由勾股定理得 222 acb 故 22 2acac 得2ca 所以DABC 的面积为 1 考点 正弦定理 余弦定理 运算求解能力 18 见解析 3 2 5 解析 试题分析 由四边形 ABCD 为菱形知 AC BD 由 BE 平面 ABCD 知 AC BE 由线面垂直判定定理知 AC 平面 BED 由面面垂直的判定定理知平面 AEC 平面BED 设 AB x 通过解直角三角形将 AG GC GB GD 用 x 表示出来 在RtDAEC 中 用 x 表示 EG 在RtDEBG 中 用 x 表示 EB 根据条件三棱锥EACD 的体积为 6 3 求出 x 即可求出三棱锥 EACD 的侧面积 试题解析 因为四边形 ABCD 为菱形 所以 AC BD 因为 BE 平面 ABCD 所以 AC BE 故 AC 平面 BED 又 AC 平面 AEC 所以平面 AEC 平面 BED 设 AB x 在菱形 ABCD 中 由 ABC 120 可得 AG GC 3 2 x GB GD 2 x 因为 AE EC 所以在RtDAEC 中 可得 EG 3 2 x 由 BE 平面 ABCD 知DEBG 为直角三角形 可得 BE 2 2 x 由已知得 三棱锥 E ACD 的体积 3 1166 32243 E ACD VAC GD BEx 故 x 2 从而可得 AE EC ED 6 答案第 5 页 总 8 页 所以DEAC 的面积为 3 DEAD 的面积与DECD 的面积均为5 故三棱锥 E ACD 的侧面积为3 2 5 考点 线面垂直的判定与性质 面面垂直的判定 三棱锥的体积与表面积的 计算 逻辑推理能力 运算求解能力 19 ycdx 适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型 100 668yx 46 24 解析 试题分析 由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数 令wx 先求出建立y关于w的线性回归方程 即可y关于x的 回归方程 利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值 再根据年利率 z 与 x y 的关系为 z 0 2y x 即可年利润 z 的预报值 根据 的结果知 年利润 z 的预报值 列出关于x的方程 利用二次函 数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用 试题解析 由散点图可以判断 ycdx 适合作为年销售y关于 年宣传费用x的回归方程类型 令wx 先建立y关于w的线性回归方程 由于 8 1 8 2 1 ii i i i ww yy d ww 108 8 68 16 cydw 563 68 6 8 100 6 y关于w的线性回归方程为 100 668yw y关于x的回归方程为 100 668yx 由 知 当x 49 时 年销售量y的预报值 100 668 49y 576 6 576 6 0 24966 32z 根据 的结果知 年利润 z 的预报值 0 2 100 668 13 620 12zxxxx 当x 13 6 6 8 2 即46 24x 时 z 取得最大值 故宣传费用为 46 24 千元时 年利润的预报值最大 12 分 考点 非线性拟合 线性回归方程求法 利用回归方程进行预报预测 应用 意识 20 47 47 33 2 解析 试题分析 设出直线 l 的方程 利用圆心到直线的距离小于半径列出 关于 k 的不等式 即可求出 k 的取值范围 设 1122 M x yN xy 将直线 l 方程代入圆的方程化为关于 x 的一元二次方程 利用韦达定理将 1212 x xy y用 k 表示出来 利用平面向量数量积的坐标公式及 12OM ON 列出关于 k 方程 解出 k 即可求出 MN 试题解析 由题设 可知直线 l 的方程为1ykx 答案第 6 页 总 8 页 因为 l 与 C 交于两点 所以 2 23 1 1 1 k k 解得 4747 33 k 时 fx 存在唯一零点 见解析 解析 试题分析 先求出导函数 分0a 与0a 考虑 fx 的单调性及性 质 即可判断出零点个数 由 可设 fx 在 0 的唯一零 点为 0 x 根据 fx 的正负 即可判定函数的图像与性质 求出函数的最小 值 即可证明其最小值不小于 2 2lna a a 即证明了所证不等式 试题解析 f x的定义域为 0 2 20 x a fxex x 当0a 时 0fx fx 没有零点 当0a 时 因为 2x e单调递增 a x 单调递增 所以 fx 在 0 单调 递增 又 0fa 当 b 满足0 4 a b 且 1 4 b 时 b 0f 时 fx 存在唯一零点 由 可设 fx 在 0 的唯一零点为 0 x 当 0 0 xx 时 0fx 故 f x在 0 0 x 单调递减 在 0 x 单调递增 所以当 0 xx 时 f x取得最小值 最小值为 0 f x 由于 0 2 0 2 0 x a e x 所以 00 0 22 2ln2ln 2 a f xaxaaa xaa 答案第 7 页 总 8 页 故当0a 时 2 2lnf xaa a 考点 常见函数导数及导数运算法则 函数的零点 利用导数研究函数图像 与性质 利用导数证明不等式 运算求解能力 22 见解析 60 解析 试题分析 由圆的切线性质及圆周角定理知 AE BC AC AB 由直 角三角形中线性质知 DE DC OE OB 利用等量代换可证 DEC OEB 90 即 OED 90 所以 DE 是圆 O 的切线 设 CE 1 由得 3OACE AB 设 AE 由勾股定理得 由直角三角形射影定理2 3x 2 12BEx 可得 列出关于的方程 解出 即可求出 ACB 的大小 2 AECE BE Axx 试题解析 连结 AE 由已知得 AE BC AC AB 在 Rt AEC 中 由已知得 DE DC DEC DCE 连结 OE OBE OEB ACB ABC 90 DEC OEB 90 OED 90 DE 是圆 O