初高中数学衔接内容

初高中数学衔接教材初高中数学衔接教材 专题一专题一 数与式的运算数与式的运算 1 1 绝对值 1 2 乘法公式 1 3 二次根式 1 分式 专题二专题二 分解因式分解因式 专题三专题三 一元二次方程一元二次方程 专题四专题四 函数函数 4 1 平面直角坐标系 一次函数 反比例函数 4 2 二次函数 y ax2 bx c 的图像和性质 4 3 二次函数的三种表示方式 4 4 二次函数的简单应用 专题五专题五 方程与不等式方程与不等式 5 1 二元二次方程组解法 5 2 一元二次不等式解法 专题六专题六 相似形相似形 6 1 平行线分线段成比例定理 6 2 相似形 专题七专题七 三角形的三角形的 四心四心 专题八专题八 圆圆 8 1 直线与圆 圆与圆的位置关系 8 2 点的轨迹 专题一专题一 数与式的运算数与式的运算 1 1绝对值 要点回顾要点回顾 1 1 绝对值 绝对值 1 1 绝对值的代数意义 绝对值的代数意义 即 即 a 2 2 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义 的距离 的距离 3 3 两个数的差的绝对值的几何意义 两个数的差的绝对值的几何意义 表示表示 的距离 的距离 ab 4 4 两个绝对值不等式两个绝对值不等式 0 xa a 0 xa a 例题选讲例题选讲 例例 1 1 解下列不等式 1 2 421x 13xx 练 习 1 填空 1 若 则 x 若 则 x 5 x4 x 2 如果 且 则 b 若 则 c 5 ba1 a21 c 2 选择题 下列叙述正确的是 A 若 则 B 若 则 ab ab ab ab C 若 则 D 若 则ab ab ab ab 3 化简 x 5 2x 13 x 5 4 解答题 已知 求 的值 0 5 423 2 cbacba 1 2 乘法公式乘法公式 乘法公式乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式 1 1 平方差公式 平方差公式 2 2 完全平方和公式 完全平方和公式 3 3 完全平方差公式 完全平方差公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式 公式公式 1 1 2 abc 公式公式 2 2 立方和公式立方和公式 33 ab 公式公式 3 3 立方差公式立方差公式 33 ab 例题选讲例题选讲 例例 1 1 计算 1 2 22 1 2 3 xx 22 11111 5225104 mnmmnn 3 4 22 1 1 1 1 xxxxxx 22222 2 xxyyxxyy 例 2 已知 求的值 4abc 4abbcac 222 abc 练 习 1 填空 1 22 1111 9423 abba 2 4m 22 164 mm 3 2222 2 4 abcabc 2 选择题 1 若是一个完全平方式 则等于 2 1 2 xmxk k A B C D 2 m 2 1 4 m 2 1 3 m 2 1 16 m 2 不论 为何实数 的值 ab 22 248abab A 总是正数 B 总是负数 C 可以是零 D 可以是正数也可以是负数 1 3 二次根式 二次根式 1 1 式子式子叫做二次根式 其性质如下 叫做二次根式 其性质如下 0 a a 1 2 3 4 2 a 2 a ab b a 2 2 平方根与算术平方根的概念 平方根与算术平方根的概念 叫做叫做的平方根 记作的平方根 记作 a 0 xa a 其中其中叫做叫做的算术平方根 的算术平方根 a 0 a a 3 3 立方根的概念 立方根的概念 叫做叫做的立方根 记为的立方根 记为a 3 xa 例 1 将下列式子化为最简二次根式 1 2 3 4 12b 2 0 a b a 6 4 0 x y x 2592 例例 2 2 计算 1 2 3 23 22 1 2 1 xxx 3 4 11 ab 3 28 2 x xx 例 3 化简 1 2 94 5 2 2 1 2 01 xx x 练习 1 填空 1 若 则的取值范围是 2 5 3 3 5x xxx x 3 4 246 543 962 150 4 若 则 5 2 x 1111 1111 xxxx xxxx 2 选择题 等式成立的条件是 22 xx xx A B C D 2x 0 x 2x 02x 3 若 求的值 22 11 1 aa b a ab 4 解答 设 求代数式的值 23 1 23 1 yx yx yxyx 22 1 分式 分式 1 1 分式的意义分式的意义 形如的式子 若B中含有字母 且 则称为分式分式 当时 分式 A B 0B A B 0B 具有下列性质 1 2 A B 2 2 繁分式繁分式 当分式的分子 分母中至少有一个是分式时 就叫做繁分式 A B A B 3 3 分母 子 有理化分母 子 有理化 把分母 子 中的根号化去 叫做分母 子 有理化 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母把分母 子 中的根号化去 叫做分母 子 有理化 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母 的有理化因式 化去分母中的根号的过程 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式 化的有理化因式 化去分母中的根号的过程 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式 化 去分子中的根号的过程去分子中的根号的过程 例 1 若 求常数的值 54 2 2 xAB x xxx A B 例 2 1 试证 其中 n 是正整数 111 1 1n nnn 2 计算 111 1 22 39 10 3 证明 对任意大于1 的正整数n 有 1111 2 33 4 1 2n n 例 3 设 且 e 1 2c2 5ac 2a2 0 求 e 的值 c e a 练 习 1 填空题 对任意的正整数 n 1 2 n n 11 2nn 2 选择题 若 则 22 3 xy xy x y A B C D 5 4 4 5 6 5 3 正数满足 求的值 x y 22 2xyxy xy xy 4 计算 1111 1 22 33 499 100 专题检测 一 专题检测 一 1 解不等式 1 2 13x 327xx 3 2116xx 2 填空 1 1819 23 23 2 若 则的取值范围是 22 1 1 2aa a 3 11111 1223344556 4 则 1 2 a 1 3 b 2 22 3 352 aab aabb 5 若 则 22 20 xxyy 22 22 3xxyy xy 3 选择题 1 若 则 2ababba A B C D ab ab 0ab 0ba 2 计算等于 1 a a A B C D a aa a 4 求值 1 已知 求的值 1xy 33 3xyxy 2 已知 求的值 11 23 xy yy xyxy 5 解方程 2 2 11 2 3 10 xx xx 6 计算 1111 1 32 43 59 11 7 试证 对任意的正整数 n 有 111 1 2 32 3 4 1 2 n nn 1 4 专题二专题二 因式分解因式分解 要点回顾要点回顾 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形 它与整式乘法是相反方向的变形 在分式运算 解方程 及各种恒等变形中起着重要的作用 是一种重要的基本技能 因式分解的方法较多 除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法 平方差公式和完全平方公式 外 还有公式法 立方和 立方差公式 十字相乘法和分组分解法等等 1 1 公式法 公式法 常用的乘法公式 常用的乘法公式 1 1 平方差公式 平方差公式 2 2 完全平方和公式 完全平方和公式 3 3 完全平方差公式 完全平方差公式 4 4 2 abc 5 5 立方和公式立方和公式 33 ab 6 6 立方差公式立方差公式 33 ab 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形 所以把整式乘法公式反过来写 运用上述公式可以进 行因式分解 2 2 分组分解法 分组分解法 从前面可以看出 能够直接运用公式法分解的多项式 主要是二项式和三项式 而对于四项以上的 多项式 如既没有公式可用 也没有公因式可以提取 因此 可以先将多项式分组mambnanb 处理 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法 分组分解法的关键在于如何分组 常见题型 常见题型 1 1 分组后能提取公因式 分组后能提取公因式 2 2 分组后能直接运用公式 分组后能直接运用公式 3 3 十字相乘法 十字相乘法 1 1 型的因式分解型的因式分解 2 xpq xpq 这类式子在许多问题中经常出现 其特点是 二次项系数是 1 常数项是两个数之积 一次 项系数是常数项的两个因数之和 2 xpq xpq 2 xpxqxpqx xpq xpxp xq 2 xpq xpqxp xq 运用这个公式 可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 2 2 一般二次三项式 一般二次三项式型的因式分解型的因式分解 2 axbxc 由我们发现 二次项系数分解成 常数项 2 121 22 11 21122 a a xa ca c xc ca xca xc a 12 a a 分解成 把写成 这里按斜线交叉相乘 再相加 就得到 如果它正c 1 2 c c 1212 a a c c 11 22 ac ac 1 22 1 a ca c 好等于的一次项系数 那么就可以分解成 其中位 2 axbxc b 2 axbxc 1122 a xca xc 11 a c 于上一行 位于下一行 这种借助画十字交叉线分解系数 从而将二次三项式分解因式的方法 22 a c 叫做十字相乘法 十字相乘法 必须注意 分解因数及十字相乘都有多种可能情况 所以往往要经过多次尝试 才能确定一个二次 三项式能否用十字相乘法分解 4 4 其它因式分解的方法 其它因式分解的方法 其他常用的因式分解的方法 其他常用的因式分解的方法 1 1 配方法 配方法 2 2 拆 添项法 拆 添项法 例题选讲例题选讲 例 分解因式 1 2 3 34 381a bb 76 aab 22 xab xyaby 4 5 6 1xyxy 2222 ab cdab cd 222 2428xxyyz 7 8 9 2 524xx 2 215xx 22 6xxyy 10 11 12 2 1252xx 22 568xxyy 222 8 12xxxx 练习练习 1 分解因式 1 2 3 1a 42 4139xx 3 4 22 222bcabacbc 22 35294xxyyxy 5 6 2 53xx 2 2 23xx 7 8 22 34xxyy 222 2 7 2 12xxxx 3 三边 满足 试判定的形状 ABC abc 222 abcabbcca ABC 4 分解因式 x2 x a2 a 专题三专题三 一元二次方程一元二次方程 要点回顾要点回顾 1 1 一元二次方程的根的判断式 一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 用配方法将其变形为 2 0 0 axbxca 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况 因此 把叫做一元二次方程 2 4bac 2 4bac 的根的判别式 表示为 2 0 0 axbxca 2 4bac 对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有 有 1 1 当当 0 0 时 方程有两个不相等的实数根 时 方程有两个不相等的实数根 2 2 当当 0 0 时 方程有两个相等的实数根 时 方程有两个相等的实数根 3 3 当当 0 0 时 方程没有实数根 时 方程没有实数根 2 2 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 定理 如果一元二次方程定理 如果一元二次方程的两个根为的两个根为 那么 那么 2 0 0 axbxca 12 x x 1212 xxx x 说明 说明 一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现 所以通常把此定理称为 韦达定理韦达定理 上述定理成立的前提是 0 特别地 特别地 对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 px q 0 若 x1 x2是其两根 由韦达定理可知 x1 x2 p x1 x2 q 即 p x1 x2 q x1 x2 所以 方程 x2 px q 0 可化为 x2 x1 x2 x x1 x2 0 由于 x1 x2是一元二次方程 x2 px q 0 的 两根 所以 x1 x2也是一元二次方程 x2 x1 x2 x x1 x2 0 因此有 以两个数以两个数 x1 x2为根的一元二次方程 二次项系数为为根的一元二次方程 二次项系数为 1 是 是 x2 x1 x2 x x1 x2 0 例题选讲例题选讲 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况 其中 a 为常数 如果方程有实数根 写出方程的实数根 1 x2 3x 3 0 2 x2 ax 1 0 3 x2 ax a 1 0 4 x2 2x a 0 例 2 已知方程的一个根是 2 求它的另一个根及 k 的值 2 560 xkx 例 3 已知关于 x 的方程 x2 2 m 2 x m2 4 0 有两个实数根 并且这两个实数根的平方和比两个根 的积大 21 求 m 的值 例 4 已知两个数的和为 4 积为 12 求这两个数 例 5 若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x2 5x 3 0 的两根 1 求 x1 x2 的值 2 求的值 22 12 11 xx 3 x13 x23 一般规律 一般规律 若若 x1和和 x2分别是一元二次方程分别是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 则 则 x1 x2 其中 其中 a b2 4ac 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2 x a 4 0 的一根大于零 另一根小于零 求实数 a 的取值范围 练 习 1 选择题 1 方程的根的情况是 22 2 330 xkxk A 有一个实数根 B 有两个不相等的实数根 C 有两个相等的实数根 D 没有实数根 2 若关于 x 的方程 mx2 2m 1 x m 0 有两个不相等的实数根 则实数 m 的取值范围是 A m B m 1 4 1 4 C m 且 m 0 D m 且 m 0 1 4 1 4 2 填空 1 若方程 x2 3x 1 0 的两根分别是 x1和 x2 则 12 11 xx 2 方程 mx2 x 2m 0 m 0 的根的情况是 3 以 3 和 1 为根的一元二次方程是 3 已知 当 k 取何值时 方程 kx2 ax b 0 有两个不相等的实数根 2 816 1 0aab 4 已知方程 x2 3x 1 0 的两根为 x1和 x2 求 x1 3 x2 3 的值 专题检测专题检测 A 组组 1 选择题 1 已知关于 x 的方程 x2 kx 2 0 的一个根是 1 则它的另一个根是 A 3 B 3 C 2 D 2 2 下列四个说法 方程 x2 2x 7 0 的两根之和为 2 两根之积为 7 方程 x2 2x 7 0 的两根之和为 2 两根之积为 7 方程 3 x2 7 0 的两根之和为 0 两根之积为 7 3 方程 3 x2 2x 0 的两根之和为 2 两根之积为 0 其中正确说法的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 关于 x 的一元二次方程 ax2 5x a2 a 0 的一个根是 0 则 a 的值是 A 0 B 1 C 1 D 0 或 1 4 若关于 x 的方程 x2 k2 1 x k 1 0 的两根互为相反数 则 k 的值为 A 1 或 1 B 1 C 1 D 0 2 填空 1 方程 kx2 4x 1 0 的两根之和为 2 则 k 2 方程 2x2 x 4 0 的两根为 则 2 2 3 已知关于 x 的方程 x2 ax 3a 0 的一个根是 2 则它的另一个根是 4 方程 2x2 2x 1 0 的两根为 x1和 x2 则 x1 x2 5 若 m n 是方程 x2 2005x 1 0 的两个实数根 则 m2n mn2 mn 的值等于 6 如果 a b 是方程 x2 x 1 0 的两个实数根 那么代数式 a3 a2b ab2 b3的值是 3 试判定当 m 取何值时 关于 x 的一元二次方程 m2x2 2m 1 x 1 0 有两个不相等的实数根 有两 个相等的实数根 没有实数根 4 求一个一元二次方程 使它的两根分别是方程 x2 7x 1 0 各根的相反数 5 已知关于 x 的方程 x2 kx 2 0 1 求证 方程有两个不相等的实数根 2 设方程的两根为 x1和 x2 如果 2 x1 x2 x1x2 求实数 k 的取值范围 6 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1和 x2 求 1 x1 x2 和 12 2 xx 2 x13 x23 B 组组 1 选择题 1 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2 8x 7 0 的两根 则这个直角三角形的斜边 长等于 A B 3 C 6 D 93 2 若 x1 x2是方程 2x2 4x 1 0 的两个根 则的值为 12 21 xx xx A 6 B 4 C 3 D 3 2 3 如果关于 x 的方程 x2 2 1 m x m2 0 有两实数根 则 的取值范围为 A B C 1 D 1 1 2 1 2 4 已知 a b c 是 ABC 的三边长 那么方程 cx2 a b x 0 的根的情况是 4 c A 没有实数根 B 有两个不相等的实数根 C 有两个相等的实数根 D 有两个异号实数根 2 填空 若方程 x2 8x m 0 的两根为 x1 x2 且 3x1 2x2 18 则 m 3 关于 x 的方程 x2 4x m 0 的两根为 x1 x2满足 x1 x2 2 求实数 m 的值 4 已知 x1 x2是关于 x 的一元二次方程 4kx2 4kx k 1 0 的两个实数根 1 是否存在实数 k 使 2x1 x2 x1 2 x2 成立 若存在 求出 k 的值 若不存在 说明理由 3 2 2 求使 2 的值为整数的实数 k 的整数值 12 21 xx xx 3 若 k 2 试求的值 1 2 x x 5 已知关于 x 的方程 2 2 2 0 4 m xmx 1 求证 无论 m 取什么实数时 这个方程总有两个相异实数根 2 若这个方程的两个实数根 x1 x2满足 x2 x1 2 求 m 的值及相应的 x1 x2 6 若关于 x 的方程 x2 x a 0 的一个大于 1 另一根小于 1 求实数 a 的取值范围 专题四专题四 函数函数 4 14 1 平面直角坐标系 一次函数 反比例函数平面直角坐标系 一次函数 反比例函数 要点回顾要点回顾 1 1 平面直角坐标系 平面直角坐标系 1 1 组成平面直角坐标系 叫做轴或x 横轴 叫做轴或纵轴 轴与轴统称坐标轴 他们的公共原点称为直角坐标系的原点 yxyo 2 2 平面直角坐标系内的对称点 平面直角坐标系内的对称点 对称点或对称直线方程对称点的坐标 轴x 轴y 原点 点 a b 直线xa 直线yb 直线yx 直线yx 2 2 函数图象 函数图象 1 1 一次函数 一次函数 称是的一次函数 记为 k b 是常数 k 0 yxykxb 特别的 当 0 时 称是的正比例函数 byx 2 2 正比例函数的图象与性质 正比例函数的图象与性质 函数 y kx k 是常数 k 0 的图象是 的一条直线 当 时 图象过原点及第一 第三象限 y 随 x 的增大而 当 时 图象过原点及第二 第四象限 y 随 x 的增大而 3 3 一次函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 函数 k b 是常数 k 0 的图象是过点 0 b 且与直线 y kx 平ykxb 行的一条直线 设 k 0 则当 时 y 随 x 的增大而 当 时 y 随 x 的增大ykxb 而 4 4 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象与性质 函数 k 0 是双曲线 当 时 图象在第一 第三象限 在每 k y x 个象限中 y 随 x 的增大而 当 时 图象在第二 第四象限 在每个象限中 y 随 x 的 增大而 双曲线是轴对称图形 对称轴是直线与 又是中心对称图形 对称中心yx yx 是原点 例题选讲例题选讲 例例 1 1 已知 根据下列条件 求出 点坐标 1 2 Ay 2 3B x AB 1 关于 x 轴对称 2 关于 y 轴对称 3 关于原点对称 ABABAB 例例 2 2 已知一次函数 y kx 2 的图象过第一 二 三象限且与 x y 轴分别交于 两点 O为原点 AB 若 AOB 的面积为 2 求此一次函数的表达式 例例 3 3 如图 反比例函数的图象与一次函数的图象交于 两点 k y x ymxb 13 A 1 B n 1 求反比例函数与一次函数的解析式 2 根据图象回答 当取何值时 反比例函数的值大于一次函数的值 x 巩固练习巩固练习 1 函数与在同一坐标系内的图象可以是 ykxm 0 m ym x x y O A x y O B x y O C x y O D 2 如图 平行四边形ABCD中 A在坐标原点 D在第一象限角平分线上 又知 求点的坐标 6AB 2 2AD B C D 3 如图 已知直线与双曲线交于两点 且点的横 1 2 yx 0 k yk x AB A 坐标为 1 求的值 4k y x A O B 图 12 图 12 O x A y B 2 过原点的另一条直线 交双曲线于两点 点在第一象限 若由点为顶Ol 0 k yk x PQ PP 点组成的四边形面积为 求点的坐标 24P 4 2 二次函数二次函数 要点回顾要点回顾 问题 1 函数 y ax2与 y x2的图象之间存在怎样的关系 通过研究 我们可以得到以下结论 二次函数二次函数 y ax2 a 0 的图象可以由的图象可以由 y x2的图象各点的纵坐标变为原来的的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到 在二次函数倍得到 在二次函数 y ax2 a 0 中 二次项系数中 二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小 问题 2 函数 y a x h 2 k 与 y ax2的图象之间存在怎样的关系 通过研究 我们可以得到以下结论 二次函数二次函数 y a x h 2 k a 0 中 中 a 决定了二次函数图象的开口大小及方向 决定了二次函数图象的开口大小及方向 h 决定了二次函数图象决定了二次函数图象 的左右平移 而且的左右平移 而且 h 正左移 正左移 h 负右移负右移 k 决定了二次函数图象的上下平移 而且决定了二次函数图象的上下平移 而且 k 正上移 正上移 k 负下移负下移 由上面的结论 我们可以得到研究二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象的方法 y ax2 bx c a 0 的图象可以看作是将函数 y ax2的图象作左右平移 上下平移得到的 于是 二 次函数 y ax2 bx c a 0 具有下列性质 1 当 当 a 0 时 函数时 函数 y ax2 bx c 图象开口向上 顶点坐标为图象开口向上 顶点坐标为 对称轴为直线 对称轴为直线 2 4 24 bacb aa x 当 当 x 时 时 y 随着随着 x 的增大而减小 当的增大而减小 当 x 时 时 y 随着随着 x 的增大而增大 当的增大而增大 当 x 2 b a2 b a 2 b a 时 函数取最小值时 函数取最小值 y 2 b a 2 4 4 acb a 2 当当 a 0 时 函数时 函数 y ax2 bx c 图象开口向下 顶点坐标为图象开口向下 顶点坐标为 对称轴为直线 对称轴为直线 2 4 24 bacb aa x 当 当 x 时 时 y 随着随着 x 的增大而增大 当的增大而增大 当 x 时 时 y 随着随着 x 的增大而减小 当的增大而减小 当 x 2 b a2 b a 2 b a 时 函数取最大值时 函数取最大值 y 2 b a 2 4 4 acb a 函数函数 y a bx c 图象图象作图要领 2 x 确定开口方向 由二次项系数 a 决定 确定对称轴 对称轴方程为 a b x 2 确定图象与 x 轴的交点情况 若 0 则与 x 轴有两个交点 可由方程 bx c 0 求出求出 若 0 则与 x 轴有一个交点 可由方程 2 x x2 bx c 0 求出求出 若 0 则与 x 轴有无交点 确定图象与 y 轴的交点情况 令 x 0 得出 y c 所以交点坐标为 0 c 由以上各要素出草图 练习 练习 作出以下二次函数的草图 1 2 3 6 2 xxy12 2 xxy1 2 xy 例 1 求二次函数 y 3x2 6x 1 图象的开口方向 对称轴 顶点坐标 最大值 或最小值 并指出 当 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 或减小 并画出该函数的图象 例 2 某种产品的成本是 120 元 件 试销阶段每件产品的售价 x 元 与产品的日销售量 y 件 之间关 系如下表所示 x 元130150165 y 件705035 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 那么 要使每天所获得最大的利润 每件产品的销售价应定为多 少元 此时每天的销售利润是多少 练 习 1 选择题 1 下列函数图象中 顶点不在坐标轴上的是 A y 2x2 B y 2x2 4x 2 C y 2x2 1 D y 2x2 4x 2 函数 y 2 x 1 2 2 是将函数 y 2x2 A 向左平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位得到的 B 向右平移 2 个单位 再向上平移 1 个单位得到的 C 向下平移 2 个单位 再向右平移 1 个单位得到的 D 向上平移 2 个单位 再向右平移 1 个单位得到的 2 填空题 1 二次函数 y 2x2 mx n 图象的顶点坐标为 1 2 则 m n 2 已知二次函数 y x2 m 2 x 2m 当 m 时 函数图象的顶点在 y 轴上 当 m 时 函数图象的顶点在 x 轴上 当 m 时 函数图象经过原点 3 函数 y 3 x 2 2 5 的图象的开口向 对称轴为 顶点坐标为 当 x 时 函数取最 值 y 当 x 时 y 随着 x 的增大而减小 3 求下列抛物线的开口方向 对称轴 顶点坐标 最大 小 值及 y 随 x 的变化情况 并画出其图 象 1 y x2 2x 3 2 y 1 6 x x2 4 已知函数 y x2 2x 3 当自变量 x 在下列取值范围内时 分别求函数的最大值或最小值 并求当 函数取最大 小 值时所对应的自变量 x 的值 1 x 2 2 x 2 3 2 x 1 4 0 x 3 4 3 二次函数的三种表示方式二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习 我们知道 二次函数可以表示成以下两种形式 1 一般式 一般式 y ax2 bx c a 0 2 顶点式 顶点式 y a x h 2 k a 0 其中顶点坐标是 其中顶点坐标是 h k 除了上述两种表示方法外 它还可以用另一种形式来表示 为了研究另一种表示方式 我们先来研 究二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴交点个数 当抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴相交时 其函数值为零 于是有 ax2 bx c 0 并且方程 的解就是抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴交点的横坐标 纵坐标为零 于是 不难发 现 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴交点个数与方程 的解的个数有关 而方程 的解的个数又与方程 的根的判别式 b2 4ac 有关 由此可知 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴交点个数与根的判别式 b2 4ac 存在下列关系 1 当 当 0 时 抛物线时 抛物线 y ax2 bx c a 0 与与 x 轴有两个交点 反过来 若抛物线轴有两个交点 反过来 若抛物线 y ax2 bx c a 0 与与 x 轴有两个交点 则轴有两个交点 则 0 也成立 也成立 2 当 当 0 时 抛物线时 抛物线 y ax2 bx c a 0 与与 x 轴有一个交点 抛物线的顶点 轴有一个交点 抛物线的顶点 反过来 若抛物线 反过来 若抛物线 y ax2 bx c a 0 与与 x 轴有一个交点 则轴有一个交点 则 0 也成立 也成立 3 当 当 0 时 抛物线时 抛物线 y ax2 bx c a 0 与与 x 轴没有交点 反过来 若抛物线轴没有交点 反过来 若抛物线 y ax2 bx c a 0 与与 x 轴没有交点 则轴没有交点 则 0 也成立 也成立 于是 若抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴有两个交点 A x1 0 B x2 0 则 x1 x2是方程 ax2 bx c 0 的两根 所以 x1 x2 x1x2 b a c a 即 x1 x2 x1x2 b a c a 所以 y ax2 bx c a 2 bc xx aa a x2 x1 x2 x x1x2 a x x1 x x2 由上面的推导过程可以得到下面结论 若抛物线若抛物线 y ax2 bx c a 0 与与 x 轴交于轴交于 A x1 0 B x2 0 两点 则其函数关系式可以表示为两点 则其函数关系式可以表示为 y a x x1 x x2 a 0 这样 也就得到了表示二次函数的第三种方法 3 交点式 交点式 y a x x1 x x2 a 0 其中 其中 x1 x2是二次函数图象与是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标 轴交点的横坐标 今后 在求二次函数的表达式时 我们可以根据题目所提供的条件 选用一般式 顶点式 交点式 这三种表达形式中的某一形式来解题 例 1 已知某二次函数的最大值为 2 图像的顶点在直线 y x 1 上 并且图象经过点 3 1 求二次函数的解析式 例 2 已知二次函数的图象过点 3 0 1 0 且顶点到 x 轴的距离等于 2 求此二次 函数的表达式 例 3 已知二次函数的图象过点 1 22 0 8 2 8 求此二次函数的表达式 练习练习 1 选择题 1 函数 y x2 x 1 图象与 x 轴的交点个数是 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无法确定 2 函数 y x 1 2 2 的顶点坐标是 1 2 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 2 填空 1 已知二次函数的图象与 x 轴交于点 1 0 和 2 0 则该二次函数的解析式可设为 y a a 0 2 二次函数 y x2 2x 1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 3 3 根据下列条件 求二次函数的解析式 1 图象经过点 1 2 0 3 1 6 2 当 x 3 时 函数有最小值 5 且经过点 1 11 3 函数图象与 x 轴交于两点 1 0 和 1 0 并与 y 轴交于 0 2 22 4 44 4 二次函数的简单应用二次函数的简单应用 一 函数图象的平移变换与对称变换一 函数图象的平移变换与对称变换 1 1 平移变换 平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时 有什么特点 依据这一特点 可以怎样来研究二 次函数的图象平移 例 1 求把二次函数y x2 4x 3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析 式 1 向右平移 2 个单位 向下平移 1 个单位 2 向上平移 3 个单位 向左平移 2 个单 位 2 2 对称变换 对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时 有什么特点 依据 这一特点 可以怎样来研究二次函数的图象平移 我们不难发现 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直 线进行对称变换时 具有这样的特点 只改变函数图象的位置 或开口方向 不改变其形状 因此 在研究二次函数图象的对称 变换问题时 关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解 决问题 例 2 求把二次函数 y 2x2 4x 1 的图象关于下列直线对称后 所得到图象 对应函数解析式 1 直线 x 1 2 直线 y 1 练习练习 1 把函数 y x 1 2 4 的图象向左平移 2 个单位 向下平移 3 个单位 所得图象对 应的解析式为 A y x 1 2 1 B y x 1 2 1 C y x 3 2 4 D y x 3 2 1 2 函数 y 2 x 1 2 2 是将函数 y 2 2 x A 向左平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位得到的 B 向右平移 2 个单位 再向上平移 1 个单位得到的 C 向下平移 2 个单位 再向右平移 1 个单位得到的 D 向上平移 2 个单位 再向右平移 1 个单位得到的 专题五专题五 方程与不等式方程与不等式 5 1 二元二次方程组解法二元二次方程组解法 一个含有两个未知数 并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程 这样的方程叫做二元二次方程二元二次方程 其 中 叫做这个方程的二次项二次项 叫做一次项 2 xxy 2 yxy 我们看下面的两个方程组 22 4310 210 xyxy xy 22 22 20 560 xy xxyy 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的 第二个方程组是由两个二元二次 方程组成的 像这样的方程组叫做二元二次方程组 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法代入消元法来解 例 1 解方程组 22 440 220 xy xy 例 2 解方程组 7 12 xy xy 练 习 1 下列各组中的值是不是方程组 22 13 5 xy xy 的解 1 2 3 4 2 3 x y 3 2 x y 1 4 x y 2 3 x y 2 解下列方程组 1 2 22 5 625 yx xy 3 10 xy xy x y O y 1 A 1 1 B 1 3 图 2 2 8 3 4 22 1 54 3 xy yx 2 22 2 8 yx xy 5 25 2 不不 等等 式式 要点回顾要点回顾 1 1 1 1 定义 形如定义 形如 为关于为关于的一元一次不等式 的一元一次不等式 x 一元一次不等式最终可以化为的形式 axb 1 当时 不等式的解为 0a b x a 2 当时 不等式的解为 0a b x a 3 当时 不等式化为 0a 0 xb 若 则不等式的解是全体实数 若 则不等式无解 0b 0b 2 2 一元二次不等式及其解法 一元二次不等式及其解法 1 1 定义 形如定义 形如 为关于为关于的一元二次不等式 的一元二次不等式 x 2 2 一元二次不等式一元二次不等式与二次函数与二次函数及一元二次方程及一元二次方程 2 0 0 axbxc 或 2 0 yaxbxca 的关系的关系 简称 三个二次简称 三个二次 2 0axbxc 一般地 一元二次不等式可以结合相应的二次函数 一元二次方程求解 步骤如下 一般地 一元二次不等式可以结合相应的二次函数 一元二次方程求解 步骤如下 1 1 化为化为 并求方程的根的根 2 0 0 axbxc 或 2 0axbxc 2 2 画相应的二次函数图象 并观察 如果图象与轴有两个交点 此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根x 12 0 0 xx 也可由根的判别式来判断 则 12 x x0 如果图象与轴只有一个交点 此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根x 0 2 b a 也可由根的判别式来判断 则 2 2 x b xx a 0 如果图象与轴没有交点 此时对应的一元二次方程没有实数根 也可由根的判别式来判x0 断 则 3 3 简单分式不等式的解法 简单分式不等式的解法 解简单的分式不等式的方法 对简单分式不等式进行等价转化 转化为整式不等式 应当注意分母不解简单的分式不等式的方法 对简单分式不等式进行等价转化 转化为整式不等式 应当注意分母不 为零为零 例题选讲例题选讲 例例 1 1 解下列不等式 1 2 2 60 xx 1 2 2 21 xxxx 例例 2 2 解下列不等式 1 2 3 2 280 xx 2 440 xx 2 20 xx 例例 3 3 已知对于任意实数 恒为正数 求实数的取值范围 x 2 2kxxk k 例例 4 4 解下列不等式 1 2 23 0 1 x x 1 3 2x 例例 5 5 求关于的不等式的解 x 2 22m xmxm 巩固练习巩固练习 1 解下列不等式 1 2 2 20 xx 2 3180 xx 3 4 2 31xxx 9 3 3 x xx 2 解下列不等式 1 2 3 4 1 0 1 x x 31 2 21 x x 2 1 x 2 21 0 21 xx x 3 解下列不等式 1 2 22 222xxx 2 111 0 235 xx 4 解关于的不等式 x 2 1mxm 5 已知关于的不等式的解是一切实数 求的取值范围 x 2 0mxxm m 6 若不等式的解是 求的值 2 23 1 xx kk 3x k 7 取何值时 代数式的值不小于 0 a 2 1 2 2 2aa 8 已知不等式的解是求不等式的解 2 0 0 axbxca 2 3xx 或 2 0bxaxc 专题六 相似形 6 1 平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 如图 3 1 2 有 当然 也可以得出 在运用该定理解决问 123 lll ABDE BCEF ABDE ACDF 题的过程中 我们一定要注意线段之间的对应关系 是 对应 线段成比例 例例 1 如图 3 1 2 123 lll 且求 2 3 4 ABBCDF DE EF 例 2 在中 为边上的点 求证 ABC D E AB AC DEBC ADAEDE ABACBC 从上例可以得出如下结论 平行于三角形的一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 平行于三角形的一边 并且和其它两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形的 三边对应成比例 例 3 已知 在上 能否在上找到一点 使得线段ABC DAC 2 1AD DC ABE 的中点在上 ECBD 例 4 在中 为的平分线 求证 ABCVADBAC ABBD ACDC 例 4 的结论也称为角平分线性质定理 可叙述为角平分线分对边成比例 等于该角的两边 之比 练习 1 1 如图 3 1 6 下列比例式正确的是 123 lll A B ADCE DFBC ADBC BEAF C D CEAD DFBC AFBE DFCE 2 如图 3 1 7 DEBC EFAB5 ADcm 求 3 2 DBcm FCcm BF 3 如图 在中 AD 是角 BAC 的平分线 ABCV AB 5cm AC 4cm BC 7cm 求 BD 的长 4 如图 在中 的外角平分线交的延长线于ABCVBAC ADBC 点 求证 D ABBD ACDC 5 如图 在的边 AB AC 上分别取 D E 两点 使ABCV BD CE DE 延长线交 BC 的延长线于 F 求证 DFAC EFAB 图 3 1 6 图 3 1 7 图 3 1 8 图 3 1 9 6 2 相似形 我们学过三角形相似的判定方法 想一想 有哪些方法可以判定两个三角形相似 有 哪些方法可以判定两个直角三角形相似 例 5 如图 3 1 11 四边形 ABCD 的对角线相交于点 O BACCDB 求证 DACCBD 例 6 如图 3 1 12 在直角三角形 ABC 中 为直角 BAC ADBCD 于 求证 1 2 ABBD BC 2 ACCD CB 2 2 ADBD CD 例 7 在中 ABCV ADBCD DEABE DFACF 于于于 求证 AE ABAF AC 练习 1 如图 3 1 15 D 是的边 AB 上的一点 过 D 点作 DE BC 交ABCV AC 于 E 已知 AD DB 2 3 则等于 ADEBCDE SS V四边形 A B C D 2 34 94 54 21 2 若一个梯形的中位线长为 15 一条对角线把中位线分成两条线段 这两条线段的比是 3 2 则梯形的上 下底长分别是 3 已知 的三边长分别是 3 4 5 与其相似的的最大边长是 15 求ABCV A B CV 的面积 A B C A B C SV 4 已知 如图 3 1 16 在四边形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 1 请判断四边形 EFGH 是什么四边形 试说明理由 2 若四边形 ABCD 是平行四边形 对角线 AC BD 满足什么条件 时 3 EFGH 是菱形 是正方形 5 如图 3 1 17 点 C D 在线段 AB 上 是等边三角形 PCDV 1 当 AC CD DB 满足怎样的关系时 ACPVPDBV 2 当 时 求的度数 ACPVPDBVAPB 图 3 1 10 图 3 1 12 图 3 1 15 图 3 1 16 图 3 1 17 习题习题 A 组组 1 如图 3 1 18 中 AD DF FB AE EG GC FG 4 则 ABCV A DE 1 BC 7 B DE 2 BC 6 C DE 3 BC 5 D DE 2 BC 8 2 如图 3 1 19 BD CE 是的中线 P Q 分别是 BD CE 的中点 则等于ABCV PQ BC A 1 3 B 1 4 C 1 5 D 1 6 3 如图 3 1 20 中 E 是 AB 延长线上一点 DE 交 BC 于点ABCDY F 已知 BE AB 2 3 求 4 BEF S VCDF SV 4 如图 3 1 21 在矩形 ABCD 中 E 是 CD 的中点 交 AC 于 F BEAC 过 F 作 FG AB 交 AE 于 G 求证 2 AGAF FC B 组组 1 如图 3 1 22 已知中 AE EB 1 3 BD DC 2 1ABCV AD 与 CE 相交于 F 则的值为 EFAF FCFD A B 1 C D 2 1 2 3 2 2 如图 3 1 23 已知周长为 1 连结三边的中点构成ABCVABCV 第二个三角形 再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角 形 依此类推 第 2003 个三角形周长为 A B C D 1 2002 1 2003 2002 1 2 2003 1 2 3 如图 3 1 24 已知 M 为的边 AB 的中点 CM 交 BD 于ABCDY 点 E 则图中阴影部分的面积与面积的比是 ABCDY A B C D 1 3 1 4 1 6 5 12 4 如图 3 1 25 梯形 ABCD 中 AD BC EF 经过梯形对角线的交点 O 且 EF AD 1 求证 OE OF 2 求的值 OEOE ADBC 3 求证 112 ADBCEF 图 3 1 18 图 3 1 19 图 3 1 20 图 3 1 22 图 3 1 23 图 3 1 24 图 3 1 25 图 3 1 21 C 组组 1 如图 3 1 26 中 P 是边 AB 上一点 连结 CP ABCV 1 要使 还要补充的一个条件是 ACPVABCV 2 若 且 则 ACPVABCV 2 1AP PB BC PC 2 如图 3 1 27 点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点 且 BACBDCDAE 1 求证 BE ADCD AE 2 根据图形的特点 猜想可能等于那两条线段的比 BC DE 只 须写出图中已有线段的一组比即可 并证明你的猜想 3 如图 3 1 28 在中 AB AC 点 D 为 BC 上RtABCV90oA 任一点 于F 于E M为BC 的中点 试DFAB DEAC 判断是什么形状的三角形 并证明你的结论 MEFV 专题七专题七 三角形的三角形的 四心四心 三角形是最重要的基本平面图形 很多较复杂的图形问