勾股定理综合性难题及答案

1 勾股定理练习题勾股定理练习题 1 如图 已知 在中 分别以此直角三角形的三边为直径画半圆 试 ABC 90ACB 说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等 2 直角三角形的面积为 斜边上的中线长为 则这个三角形周长为 Sd A B 2 2dSd 2 dSd C D 2 22dSd 2 2 dSd 3 如图所示 在中 且 Rt ABC 90 45BACACABDAE 3BD 求的长 4CE DE 4 如图在 Rt ABC 中 3 4 90 BCACC 在 Rt ABC 的外部拼接一个合适的直角三 角形 使得拼成的图形是一个等腰三角形 如图所示 要求 在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法 在图中标明拼接的直角三角 形的三边长 请同学们先用铅笔画出草图 确定后再用 0 5mn 的黑色签字笔画出正确的图形 5 已知 如图 ABC 中 C 90 点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点 A B P C 第 6 题图 2 OD BC OE AC OF AB 点 D E F 分别是垂足 且 BC 8cm CA 6cm 则点 O 到三边 AB AC 和 BC 的距离分别等于 cm 6 如图 在 ABC 中 AB AC P 为 BC 上任意一点 请说明 AB2 AP2 PB PC 7 在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子 一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处 另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 则这棵树高多少米 8 长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45 角 作业时调整为 60 角 如图所示 则梯子的 顶端沿墙面升高了 m 9 已知 如图 ABC 中 C 90 D 为 AB 的中点 E F 分别在 AC BC 上 且 DE DF 求证 AE2 BF2 EF2 C O AB D E F 第 5 题图 3 10 已知 如图 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 CB 的四等分点且 CE CB 4 1 求证 AF FE 11 已知 ABC 中 a2 b2 c2 10a 24b 26c 338 试判定 ABC 的形状 并说明你的 理由 12 已知 a b c 是 ABC 的三边 且 a2c2 b2c2 a4 b4 试判断三角形的形状 13 如图 长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm 高为 6cm 如果用一根细线从点 A 开始经 过四个侧面缠绕一圈到达点 B 那么所用细线最短需要多长 如果从点 A 开始经过四个侧面缠 绕 n 圈到达点 B 那么所用细线最短需要多长 14 三角形的三边长为 abcba2 22 则这个三角形是 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 4 勾股定理练习题答案勾股定理练习题答案 1 如图 已知 在中 分别以此直角三角形的三边为直径画半圆 试 ABC 90ACB 说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等 2 直角三角形的面积为 斜边上的中线长为 则这个三角形周长为 Sd A B 2 2dSd 2 dSd C D 2 22dSd 2 2 dSd 解 设两直角边分别为 斜边为 则 由勾股定理 得 a b c2cd 1 2 Sab 222 abc 所以 2 2222 2444abaabbcSdS 所以 所以 故选 C 2 2abdS abc 2 22dSd 3 如图所示 在中 且 Rt ABC 90 45BACACABDAE 3BD 求的长 4CE DE 解 如右图 因为为等腰直角三角形 所以 ABC 45ABDC 所以把绕点旋转到 则 AEC AAFB AFBAEC 所以 连结 所以为直角三角形 4 45BFECAFAEABFC DFDBF 由勾股定理 得 所以 222222 435DFBFBD 5DF 因为所以 45 DAE 45DAFDABEAC 所以 所以 ADEADF SAS 5DEDF 5 4 如图在 Rt ABC 中 3 4 90 BCACC 在 Rt ABC 的外部拼接一个合适的直角三 角形 使得拼成的图形是一个等腰三角形 如图所示 要求 在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法 在图中标明拼接的直角三角 形的三边长 请同学们先用铅笔画出草图 确定后再用 0 5mn 的黑色签字笔画出正确的图形 解 要在 Rt ABC 的外部接一个合适的直角三角形 使得拼成的图形是一个等腰三角形 关键是腰与底边的确定 要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长 这需要用到勾股定理 知识 下图中的四种拼接方法供参考 5 已知 如图 ABC 中 C 90 点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点 OD BC OE AC OF AB 点 D E F 分别是垂足 且 BC 8cm CA 6cm 则点 O 到三边 AB AC 和 BC 的距离分别等于 cm 6 如图 在 ABC 中 AB AC P 为 BC 上任意一点 请说明 AB2 AP2 PB PC 作 AD BC 交 BC 于 D AB BD AD 1 AP PD AD 2 1 2 得 AB AP BD PD 10 C O AB D E F 第 5 题图 A B P C 第 6 题图 6 AB AP BD PD BD PD AB AC D 是 BC 中点 BD PD PC BD PD PB AB AP PB PC 7 在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子 一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处 另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 则这棵树高多少米 8 长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45 角 作业时调整为 60 角 如图所示 则梯子的 顶端沿墙面升高了 m 9 已知 如图 ABC 中 C 90 D 为 AB 的中点 E F 分别在 AC BC 上 且 DE DF 求证 AE2 BF2 EF2 证明 过点 A 作 AM BC 交 FD 延长线于点 M 连接 EM AM BC MAE ACB 90 MAD B AD BD ADM BDF ADM BDF AM BF MD DF 又 DE DF EF EM AE2 BF2 AE2 AM2 EM2 EF2 10 已知 如图 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 CB 的四等分点且 CE CB 4 1 求证 AF FE 7 解 连结 AE 设正方形的边长为 4a 计算得出 AF EF AE 的长 由 AF2 EF2 AE2得 AF FE 11 已知 ABC 中 a2 b2 c2 10a 24b 26c 338 试判定 ABC 的形状 并说明你的 理由 解 原式变为 a 5 2 b 12 2 c 13 2 0 所以 a 5 b 12 c 13 所以 a2 b2 c2所以 ABC 为直角三角形 12 已知 a b c 是 ABC 的三边 且 a2c2 b2c2 a4 b4 试判断三角形的形状 13 如图 长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm 高为 6cm 如果用一根细线从点 A 开始经 过四个侧面缠绕一圈到达点 B 那么所用细线最短需要多长 如果从点 A 开始经过四个侧面缠 绕 n 圈到达点 B 那么所用细线最短需要多长 将长方体展开 连接 A B