2012版高考数学 3-2-1精品系列专题09 立体几何 理 （学生版）

用心 爱心 专心1 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0909 立体几何立体几何 理理 学生版 学生版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 考纲原文 2 点 直线 平面之间的位置关系 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了解如 下可以作为推理依据的公理和定理 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么 这条直线上所有的点在此平面内 公理 2 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平 面 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共 直线 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理 空间中如果一个角的两 边与另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 以立体几何的上述定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面平行 垂直的有 关性质与判定定理 理解以下判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行 那么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行 那么这两个平面平行 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 那么该直线与 此平面垂直 如果一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面互相垂直 理解以下 性质定理 并能够证明 如果一条直线与一个平面平行 经过该直线的任一个平面与此平 面相交 那么这条直线就和交线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它 们的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 如果两个平面垂直 那么一个 平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 能运用公理 定理和已获得的结论证 明一些空间图形的位置关系的简单命题 考纲解读 空间几何体的三视图是考查的重点 以小题为主 由给出的三视图 或其一部分 然 后想像其直观图并求其体积与表面积 是常见题型 注意由给出的三视图 或其一部分 然后想像或作出其直观图 从而与点 线 面的位置关系问题相结合 注意由空间几何体 可以画出它的三视图 反之由三视图也可还原几何体 两者之间相互转化 注意与球有关 的问题 表面积 体积 组合体及其三视图 注意三视图与不等式 求棱长的范围 体积 的最值等 的结合 点 线 面的位置关系是考查的重点 尤其是文科 注意符号语言 文字语言 图形语言的转换 尤其在选择填空题中 注意总结常见的一些几何体 以及它 们非常规放置的情况 理科要注意与空间向量的结合 考点考点 pk 名师考点透析名师考点透析 用心 爱心 专心2 中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图 了解空间几何体的不同表示形 式 会画某建筑物的视图与直观图 空间几何体的结构与视图主要培养观察能力 归纳能力和空间想象能力 能通过观察 几何体的模型和实物 总结出柱 锥 台 球等几何体的结构特征 能识别三视图所表示 的空间几何体 会用材料制作模型 培养动手能力 考点考点二 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 例例2 2 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形 正视图 或称主 视图 是一个底边长为8 高为4的等腰三角形 侧视图 或称左视 图 是一个底边长为6 高为4的等腰三角形 1 求该几何体的体积V 2 求该几何体的侧面积S 名师点睛名师点睛 理解柱 锥 台的侧面积 表面积 体积的计算方法 了解 它们的侧面展开图 及其对计算侧面积的作用 会根据条件计算表面积和体积 理解球的 表面积和体积的计算方法 把握平面图形与立体图形间的相互转化方法 并能综合运用立体几何中 所学知识解决有关问题 考点三 考点三 点 线 面的位置关系点 线 面的位置关系 例例 3 3 如图 1 在空间四边形 ABCD 中 点 E H 分别是边 AB AD 的中点 F G 分别是边 BC CD 上的点 且 CF CB CG CD 2 3 则 A EF 与 GH 互相平行 B EF 与 GH 异面 C EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上 也可能不在直线 AC 上 D EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 名师点睛名师点睛 理解空间中点 线 面的位置关系 了解四个公理及其推 论 空间两直线的三种位置关系及其判定 异面直线的定义及其所成角 的求法 通过大量图形的观察 实验 实现平面图形到立体图形的飞跃 培 养空间想象能力 会用平面的基本性质证明共点 共线 共面的问题 考点四 考点四 直线与平面 平面与平面平行的判定与性质直线与平面 平面与平面平行的判定与性质 例例 4 4 在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D 中 E是线段 11 AC的中点 ACBDF 求证 CE BD 求证 图 1 用心 爱心 专心3 CE 平面 1 ABD 求三棱锥 1 DABC 的体积 名师点睛名师点睛 掌握直线与平面平行 平面与平面平行的判定与性质定理 能用判定定 理证明线面平行 面面平行 会用性质定理解决线面平行 面面平行的问题 通过线面平行 面面平行的证明 培养学生空间观念及及观察 操作 实验 探索 合情推理的能力 名师点睛名师点睛 掌握直线与平面垂直 平面与平面垂直的判定与性质 定理 能用判定定理证明线线垂直 线面垂直 面面垂直 会用性质定 理解决线面垂直 面面垂直的问题 通过线面垂直 面面垂直的证明 培养学生空间观念及及观察 操 作 实验 探索 合情推理的能力 考点六 考点六 空间中的夹角与距离空间中的夹角与距离 例例 6 6 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别 BD BC 的中点 CA CB CD BD 2 求证 AO 平面 BCD 求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值 求点 E 到平面的距离 本小题主要考查直线与平面的位置关系 异面直线所 成的角以及点到平面的距离基本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 名师点睛名师点睛 空间中的各种角包括异面直线所成的角 直线与平面所成的角和二面角 要理解各种角的概念定义和取值范围 其范围依次为 0 90 0 90 和 0 180 1 两条异面直线所成的角 求法 先通过其中一条直线或者两条直线的平移 找出这两条异面直线所成的角 1 然后通过解三角形去求得 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得 但是注意到异 2 面直线所成角得范围是 2 0 向量所成的角范围是 0 如果求出的是钝角 要注意 转化成相应的锐角 2 直线和平面所成的角 求法 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 除特殊位置外 主要是指平面 的斜线与平面所成的角 根据定义采用 射影转化法 3 二面角的度量是通过其平面角来实现的 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手 所以作二面角的平面角就成为 解题的关键 通常的作法有 定义法 利用三垂线定理或逆定理 自 A B CD E F 第 5 题图 用心 爱心 专心4 空间一点作棱垂直的垂面 截二面角得两条射线所成的角 俗称垂面法 此外 当作二面 角的平面角有困难时 可用射影面积法解之 cos S S 其中S 为斜面面积 S 为 射影 面积 为斜面与射影面所成的二面角 空间中的距离是立体几何的重要内容 其内容主要包括 点点距 点线距 点面距 线线 距 线面距 面面距 其中重点是点点距 点线距 点面距以及两异面直线间的距离 因 此 掌握点 线 面之间距离的概念 理解距离的垂直性和最近性 理解距离都指相应线 段的长度 懂得几种距离之间的转化关系 所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到 平面的距离 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离 一个点到 平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离 求法 一找二证三求 三步 1 都必须要清楚地写出来 等体积法 2 三年高考三年高考 1010 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 20122012 年高考试题及解析年高考试题及解析 一 选择题 1 2012 年高考 新课标理 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O的求面上 ABC 是边长为1的正三角形 SC为球O的直径 且2SC 则此棱锥的体积为 A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 2 2012 年高考 新课标理 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗线画 出的是某几何体的三视图 则此几何体的体积为 A 6B 9C D 3 2012 年高考 浙江理 已知矩形ABCD AB 1 BC 2 将 ABD沿矩形的 对角线BD所在的直线进行翻着 在翻着过程中 A 存在某个位置 使得直线AC与直线BD垂直 B 存在某个位置 使得直线AB与直线CD垂直 C 存在某个位置 使得直线AD与直线BC垂直 D 对任意位置 三直线 AC与BD AB与CD AD与BC 均不垂直 4 2012 年高考 重庆理 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 2和a 且长为a的棱 与长为2的棱异面 则a的取值范围是 A 0 2 B 0 3 C 1 2 D 1 3 5 2012 年高考 四川理 如图 半径为R的半球O的底面圆O在 平面 内 过点O作平面 的垂线交半球面于点A 过圆O的 直径CD作平面 成45 角的平面与半球面相交 所得交线上 C A O D B P 用心 爱心 专心5 到平面 的距离最大的点为B 该交线上的一点P满足60BOP 则A P两点 间的球面距离为 A 2 arccos 4 RB 4 R C 3 arccos 3 RD 3 R 6 2012 年高考 陕西理 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCABC 1 2CACCCB 则直线 1 BC与直线 1 AB夹角的余 弦值为 A 5 5 B 5 3 C 2 5 5 D 3 5 7 2012 年高考 江西理 如图 已知正四棱锥 S ABCD 所有棱长都为 1 点 E 是侧棱 SC 上一 动点 过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上 下两部分 记 SE x 0 x 1 截面下 面部分的体积为 V x 则函数 y V x 的图像大致为 8 2012 年高考 湖南理 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示 则该几何体的俯视图 不可能是 A 图图 1 BCD 用心 爱心 专心6 MainMain DocumentDocument Only Only 2012 年高考 湖北理 我国古代数学名著 九章算术 中 开立圆术 曰 置积尺数 以十六乘之 九而一 所得开立方除之 即立圆径 开立圆术 相当于给 出了已知球的体积V 求其直径d的一个近似公式 316 9 dV 人们还用过一些类似的 近似公式 根据 3 14159 判断 下列近似公式中最精确的一个是 A 316 9 dV B 3 2dV C 3 300 157 dV D 3 21 11 dV 一 必考题 11 14 题 9 2012 年高考 湖北理 已知某几何体的三视图如图所 示 则该几 何体的体积为 A 8 3 B 3 C 10 3 D 6 10 2012 年高考 广东理 立体几何 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 A 12 B 45 C 57 D 81 11 2012 年高考 福建理 一个几何体的三视图形状都相同 大小均 相等 那么这个几何体不可以是 A 球B 三棱柱C 正方形D 圆柱 12 2012 年高考 大纲理 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 2 2 2 ABCCE 为 1 CC的中点 则直线 1 AC 与平面 BED的距离为 A 2B 3C 2 D 1 13 2012 年高考 北京理 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表 面积是 A 286 5 B 306 5 C 56 12 5 D 60 12 5 侧视 图 正视 图 2 4 2 2 俯视 图 用心 爱心 专心7 14 2012 年高考 安徽理 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在 平面 内 且bm 则 是 ab 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 即不充分 不必要条件 二 填空题 15 2012 年高考 天津理 个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体 的体积为 3 m 16 2012 年高考 浙江理 已知某三棱锥的三视图 单位 cm 如图 所示 则该三棱锥的体积等于 cm3 17 2012 年高考 四川理 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 M N分别是CD 1 CC的中点 则异面直线 1 AM与DN所 成角的大小是 MainMain DocumentDocument Only Only 2012 年高考 上海理 如图 AD与BC是四面 体ABCD中互相垂直的棱 BC 2 若AD 2c 且AB BD AC CD 2a 其中a c为常数 则四面体ABCD的体积的最大值是 18 2012 年高考 上海理 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面 则 该圆锥的体积为 19 2012 年高考 山东理 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1 E F分别为线段 11 AA BC上的点 则三棱锥 1 DEDF 的体 积为 20 2012 年高考 辽宁理 已知正三棱锥P ABC 点P A B C都 在半径为3的求面上 若PA PB PC两两互相垂直 则球心到 截面ABC的距离为 21 2012 年高考 辽宁理 一个几何体的三视图如图所示 则该几 何体的表面积为 MainMain DocumentDocument Only Only 2012 年高考 江苏 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 3 1 36 3 22 3 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 N M B1 A1 C1 D1 B D C A A B C D D AB C 1 C 1 D 1 A 1 B 用心 爱心 专心8 3cmABAD 1 2cmAA 则四棱锥 11 ABB D D 的体积为 cm3 22 2012 年高考 大纲理 三棱柱 111 ABCABC 中 底面边长和侧棱长都相等 11 60BAACAA 则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为 23 2012 年高考 安徽理 某几何体的三视图如图所示 该几何体的表面 积是 三 解答题 24 2012 年高考 天津理 如图 在四棱锥PABCD 中 PA丄平面 ABCD AC丄AD AB丄BC 0 45ABC 2PA AD 1AC 证明PC丄AD 求二面角APCD 的正弦值 设 E 为棱PA上的点 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 0 30 求 AE 的长 25 2012 年高考 新课标理 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 1 1 2 ACBCAA D是棱 1 AA的中点 BDDC 1 1 证明 BCDC 1 2 求二面角 11 CBDA 的大小 26 2012 年高考 浙江理 如图 在四棱锥P ABCD中 底面是边长为 2 3的菱形 且 BAD 120 且PA 平面ABCD PA 2 6 M N分别为PB PD 的中点 证明 MN 平面ABCD 过点A作AQ PC 垂足为点Q 求二面角A MN Q的平面角的余弦值 D C B A P 用心 爱心 专心9 27 2012 年高考 重庆理 本小题满 分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如图 在直三棱柱 111 CBAABC 中 AB 4 AC BC 3 D 为 AB 的中点 求点 C 到平面 11 A ABB 的距离 若 11 ABAC 求二面角 11 ACDC 的平面角的余弦值 28 2012 年高考 四川理 如图 在三棱锥PABC 中 90APB 60PAB ABBCCA 平面PAB 平面ABC 求直线PC与平面ABC所成角的大小 求二面角BAPC 的大小 MainMain DocumentDocument Only Only 2012 年高考 上海理 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 底面ABCD E是PC的中点 已知AB 2 AD 22 PA 2 求 1 三角形PCD的面积 2 异面直线BC与AE所成的角的大小 MainMain DocumentDocument Only Only 2012 年高考 上海春 如图 正四棱柱 1111 ABCDA B C D 的底面边 长为1 高为2 M为线段AB的中点 求 1 三棱锥 1 CMBC 的体积 2 异面直线CD与 1 MC所成角的大小 结果用反三角函数值表示 A B C P A B C D P E AB CD A1 B1 C1D1 M 用心 爱心 专心10 29 2012 年高考 陕西理 1 如图 证明命题 a是平面 内的一条直线 b是 外的一条 直线 b不垂直于 c是直线b在 上的投影 若ab 则ac 为真 2 写出上述命题的逆命题 并判断其真假 不需要证明 30 2012 年高考 辽宁理 如图 直三棱柱 ABCA B C 90BAC ABACAA 点M N分别为 A B和 B C的中点 证明 MN 平面 A ACC 若二面角 AMNC 为直二面角 求 的值 31 2012 年高考 江西理 在三棱柱 111 ABCABC 中 已知 1 5 4ABACAABC 在 1 A在底面ABC的投影是线段BC的中点O 1 证明在侧棱 1 AA上存在一点E 使得OE 平面 11 BBC C 并求出AE的长 用心 爱心 专心11 2 求平面 11 ABC与平面 11 BBC C夹角的余弦值 MainMain DocumentDocument Only Only 2012 年高考 湖南理 如图 5 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD AB 4 BC 3 AD 5 DAB ABC 90 E 是 CD 的中点 证明 CD 平面 PAE 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等 求四棱锥 P ABCD 的体积 32 2012 年高考 湖北理 如图 1 45ACB 3BC 过动点A作ADBC 垂足D在线 段BC上且异于点B 连接AB 沿AD将 ABD折起 使90BDC 如图 2 所示 当BD的长为多少时 三棱锥ABCD 的体积最大 当三棱锥ABCD 的体积最大时 设点E M分别为棱BC AC的中点 试在 棱CD上确定一点N 使得EN BM 并求EN与平面BMN所成角的大小 33 2012 年高考 广东理 如图 5 所示 在四棱锥PABCD 中 底面 ABCD为矩形 PA 平面ABCD 点E在线段PC上 PC 平面 BDE A B C D P E 图图 5 D A BC A C D B 图 2 图 1 M E 用心 爱心 专心12 证明 BD 平面PAC 若1PA 2AD 求二面角BPCA 的正切值 若二面角 11 AB EA 的大小为30 求AB的长 34 2012 年高考 大纲理 注意 在试题 卷上作答无效 如图 四棱锥PABCD 中 底面 ABCD为菱形 PA 底面ABCD 2 2AC 2 PAE 是PC上的一点 2PEEC 1 证明 PC 平面BED 2 设二面角APBC 为90 求PD与平面PBC所成角的大小 35 2012 年高考 北京理 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 BC 3 AC 6 D E 分别是 AC AB 上的点 且 DE BC DE 2 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1C CD 如图 2 1 求证 A1C 平面 BCDE 2 若 M 是 A1D 的中点 求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小 3 线段 BC 上是否存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 说明理由 E C BD A P 用心 爱心 专心13 36 2012 年高考 安徽理 平面图形 111 ABB AC C如图 4 所示 其中 11 BBC C是矩形 1 2 4BCBB 2ABAC 1111 5ABAC 现将该平面图形分别沿BC和 11 BC 证明 1 AABC 求 1 AA的长 求二面角 1 ABCA 的余弦值 1111 年高考试题及解析年高考试题及解析 1 陕西理 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A 2 8 3 B 8 3 C 82 D 2 3 2 四川 6 理 3 1 l 2 l 3 l是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A 1223 ll ll 1 l 2 l B 12 ll 1 l 3 l 13 ll C 1 l 2 l 3 l 1 l 2 l 3 l共面 D 1 l 2 l 3 l共点 1 l 2 l 3 l共面 4 浙江理 4 下列命题中错误的是 A 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 B 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 D 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 6 全国理 16 己知点 E F 分别在正方体ABCD A1B2C3D4的棱BB1 CC1上 且B1E 2EB CF 2FC1 则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 7 全国理 6 已知直二面角l 点 AACl C 为垂足 l A B CD E 用心 爱心 专心14 BBDl D 为垂足 若2 1 ABACBD 则D到平面ABC的距离等于 A 2 3 B 3 3 C 6 3 D 1 12 山东理 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 13 浙江理 3 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可 以是 15 课标卷理 6 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如右图 则相应的侧视图 可以为 第 8 题图 用心 爱心 专心15 16 湖南理 3 设图 是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 942 3618 9 12 2 9 18 2 18 辽宁理 15 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等 体积为32 它的三视图中的俯视图如右图所示 左视图是一个矩形 则这个矩形的 面积是 20 北京理 7 某四面体三视图如图所示 该四面体四个面的面积中 最大的是 A 8 B 6 2 C 10 D 8 2 22 天津理 1010 一个几何体的三视图如图所示 单位 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则这个几何体 则这个几何体 的体积为的体积为 3 m 25 四川理 15 如图 半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱 当圆柱的侧面积最大时 求球的表面积与圆柱的侧面积之差是 26 全国文 12 理 11 已知平面 截一球面得圆 M 过圆心 M 且与 成 0 60 二面角的 平面 截该球面得圆 N 若该球的半径为 4 圆 M 的面积为 4 则圆 N 的面积为 A 7 B 9 c 11 D 13 28 课标卷理 15 已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上 且 6 2 3ABBC 则棱锥OABCD 的体积为 30 辽宁理 12 已知球的直径 SC 4 A B 是该球球面上的两点 AB 3 30BSCASC 则棱锥 S ABC 的体积为 A 33 B 32 C 3 D 1 31 重庆理 9 高为 2 4 的四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 点 S A B C D 均在半径为 1 的同一球面上 则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 用心 爱心 专心16 A 2 4 B 2 2 C 1 D 2 33 湖北理 14 如图 直角坐标系xOy 所在的平面为 直角坐标系 x oyOy 其中 y轴与 y 轴重合 所在平面为 45xox 已知平面内有一点 2 2 2 P 则点 P在平面 内的射影 P 的坐标为 已知平面 内的曲线 C的方程是 22 2 2 20 xy 则曲线 C在平面 内的射影 C 的方程是 34 辽宁理 8 如图 四棱锥 S ABCD 的底面为正方形 SD 底面 ABCD 则下列结论中不正确的是 A AC SB B AB 平面 SCD C SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 解答题 1 陕西理 16 本小题满分 12 分 如图 在 ABC A 0 中 ABC 60 0 BAC 90 ADBC是上的高 沿AD把ABDA折起 使 0 BD C 90 证明 平面 AD BBDC平面 设EBCDB 为的中点 求AE 与夹角的余弦值 2 江苏 1616 本小题满分 本小题满分 1414 分 如图 在四棱锥分 如图 在四棱锥ABCDP 中 平面中 平面 PAD PAD 平面平面 ABCDABCD AB ADAB AD BAD 60 BAD 60 E E F F 分别是分别是 APAP ADAD 的中点的中点 求证 求证 1 1 直线 直线 EF EF 平面平面 PCDPCD 2 2 平面 平面 BEF BEF 平面平面 PADPAD 3 四川理 19 本小题共 l2 分 如图 在直三棱柱 AB A1B1C1中 BAC 90 16 第题图 用心 爱心 专心17 AB AC AA1 1 D 是棱 CC1上的一 P 是 AD 的延长线与 A1C1的延长线的交点 且 PB1 平面 BDA I 求证 CD C1D II 求二面角 A A1D B 的平面角的余弦值 求点 C 到平面 B1DP 的距离 5 山东理 19 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 为平行四边形 ACB 90 平面 EF 若 是线段 的中点 求证 平面 若 求二面角 的大小 6 全国理 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 SABCD 中 ABCD BCCD 侧面 SAB为等边三角形 2 1ABBCCDSD 证明 SDSAB 平面 求AB与平面SBC所成角的大 小 7 浙江理 20 本题满分 15 分 如图 在三棱锥PABC 中 a 2a B DC A p 用心 爱心 专心18 ABAC D 为 BC 的中点 PO 平面 ABC 垂足 O 落在线段 AD 上 已知 BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 证明 AP BC 在线段 AP 上是否存在点 M 使得二 面角 A MC 为直二面角 若存在 求出 AM 的长 若不存在 请说明理由 8 课标卷理 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四 边形 DAB 60 AB 2AD PD 底面 ABCD 证明 PA BD 若 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 10 湖北理 18 本小题满分 12 分 如图 已知 三棱柱 ABC A1B1C1 的各棱长都是 4 E 是 BC 的中点 动点 F 在侧棱 CC1上 且不与点 C 重合 当 CF 1 时 求证 EF A1E 设二面角 C AF E 的大小为 求tan 的最小值 11 福建理 20 本小题满分 14 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD 四边形 ABCD 中 AB AD AB AD 4 CD 2 45CDA I 求证 平面 PAB 平面 PAD II 设 AB AP i 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 求线段 AB 的长 ii 在线段 AD 上是否存在一个点 G 使得点 G 到点 P B C D 的距离都相等 说明理由 12 辽宁理 18 本小题满分 12 分 如图 四边形 ABCD 为正方形 PD 平面 ABCD PD QA QA AB 1 2 PD I 证明 平面 PQC 平面 DCQ II 求二面角 Q BP C 的余弦值 13 北京理 16 共 14 分 如图 在四棱锥PABCD 中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱形 2AB 60BAD 1 求证 BD 平面PAC D P A B C 用心 爱心 专心19 2 若PAPB 求PB与AC所成角的余弦值 3 当平面PBC与平面PDC垂直时 求PA的长 14 天津理 1717 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 如图 在三棱柱如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 中 H是正方形是正方形 11 AAB B的中心 的中心 1 2 2AA 1 C H 平面平面 11 AAB B 且 且 1 5 C H 求异面直线 求异面直线 ACAC 与与 A A1 1B B1 1所成角的余弦值 所成角的余弦值 求二面角 求二面角 111 AACB 的正弦值 的正弦值 设 设N为棱为棱 11 BC的中点 点的中点 点M在平面在平面 11 AAB B内 且内 且MN 平面平面 11 ABC 求线段 求线段 BM的长 的长 15 安徽理 17 本小题满分 13 分 如图 ABCDEFG为多面体 平面ABED与平面 AGFD垂直 点O在线段AD上 1 2 OAOD OABV OAC ODE ODF都是正三角形 证明直线BC EF II 求棱锥 F OBED 的 体积 16 江西理 21 本小题满分 14 分 1 如图 对于任一给定的四面体 1234 A A A A 找出依次排列的四个相互平行的平面 1 2 3 4 使得 1 1 2 3 4Ai i 且其中每相邻两个平面间的距离都相等 2 给定依次排列的四个相互平行的平面 1 2 3 4 其中每相 邻两个平面间的距离都为 1 若一个正四面体A A A A 的四个顶点满足 ii Ai 求该正四面体A A A A 的体积 用心 爱心 专心20 一 选择题一 选择题 1 20102010 年山东理年山东理 3 3 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 2 20102010 年全国年全国 I I 理理 7 7 正方体 ABCD 1111 ABC D中 B 1 B与平面 AC 1 D所成角的 余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 3 20102010 年全国年全国 I I 理理 1212 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 4 20102010 年福建理年福建理 6 6 如图 若 是长方体 1111 ABCD A B C D被平面EFGH截去几何体 11 EFGHBC后得到的几何体 其中 E 为线段 11 A B上异于 1 B的点 F 为线段 1 BB上异于 1 B的 点 且EH 11 AD 则下列结论中不正确的是 A EH FG B 四边形EFGH是矩形 C 是棱柱 D 是棱台 5 20102010 年安徽理年安徽理 8 8 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积为 A 280 B 292 C 360 D 372 6 20102010 年广东理年广东理 6 6 如图 1 ABC 为三角形 AA BB CC CC 平面 ABC 且 3 AA 3 2 BB CC AB 则多面体 ABC A B C 的 正视图 也称主视图 是 用心 爱心 专心21 7 20102010 年四川理年四川理 1111 半径为R的球O的直径AB垂直于平面 垂足为B BCDA是平面 内边长为R的正三角形 线段AC AD分别与球面交于点 M N 那 么 M N 两点间的球面距离是 A 17 arccos 25 R B 18 arccos 25 R C 1 3 R D 4 15 R 8 2010 2010 年宁夏年宁夏 1010 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱长都为a 顶点都在 一个球面上 则该球的表面积为 A 2 a B 2 7 3 a C 2 11 3 a D 2 5 a 9 20102010 年陕西理科年陕西理科 7 7 若某空间几何体的三视图如图 所示 则该几何体的体积是 3 1 A 3 2 B 1C 2D 10 20102010 年北京理年北京理 3 3 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该几何体的俯视图为 11 20102010 年江西理年江西理 1010 过正方体 1111 ABCDABC D 的顶点 A 作直线l 使l与棱 AB AD 1 AA所成的角都相等 这样的直线l可以作 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 用心 爱心 专心22 A B 12 20102010 年浙江年浙江 6 6 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若lm m 则l B 若l lm 则m C 若l m 则lm D 若l m 则lm 13 2010 年全国年全国 2 理理 9 已知正四棱锥SABCD 中 2 3SA 那么当该棱锥的体积 最大时 它的高为 A 1 B 3 C 2 D 3 14 2010 年全国年全国 2 理理 11 与正方体 1111 ABCDABC D 的三条棱AB 1 CC 11 AD所在 直线的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 15 2010 2010 年重庆理年重庆理 10 10 到两互相垂直的异面的距离相等的点 在过其中一条直线且平行于 另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 16 20102010 年辽宁理年辽宁理 1212 有四根长都为 2 的直铁条 若再选两根长都为 a 的直铁条 使这六 根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a 的取值范围是 A 0 62 B 1 2 2 C 62 62 D 0 2 2 二 填空题 二 填空题 1 20102010 年福建理年福建理 1212 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其表面积等于 4 20102010 年四川理年四川理 1515 如图 二面角l 的大小是 60 用心 爱心 专心23 线段AB Bl AB与l所成的角为 30 则AB与平面 所成的角的正弦值是 5 2010 2010 年宁夏年宁夏 1414 正视图为一个三角形的几何体可以是 写出三种 6 20102010 年江西理年江西理 1616 如图 在三棱锥OABC 中 三条棱OA OB OC两两垂直 且OAOBOC 分别经过三条棱OA OB OC作一个截面平分三棱锥的体积 截 面面积依次为 1 S 2 S 3 S 则 1 S 2 S 3 S的大小关系为 7 20102010 年浙江年浙江 1212 若某几何体的正视图 单位 cm 如图所示 则此 几何体的体积是 cm3 9 2010 年全国年全国 2 理理 16 已知球O的半径为 4 圆M与圆N为该球的两个小圆 AB为 圆M与圆N的公共弦 4AB 若3OMON 则两圆圆心的距离MN 10 20102010 年上海理年上海理 1212 如图所示 在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中 AC 与 BD 相交于 O 剪去AOBA 将剩余部分沿 OC OD 折叠 使 OA OB 重合 则以 A B C D O 为顶点的四面体的体积为 三 解答题 1 20102010 年山东理年山东理 1919 本小题满分 12 分 如图 在五棱锥 P ABCDE 中 PA 平面 ABCDE AB CD AC ED AE BC ABC 45 AB 22 BC 2AE 4 三角形 PAB 是等腰三角 形 求证 平面 PCD 平面 PAC 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小 求四棱锥P ACDE 的体积 2 20102010 年福建理年福建理 1818 本小题满分 13 分 如图 圆柱 1 OO内有一个 用心 爱心 专心24 三棱柱 111 ABC A B C 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形 且 AB 是圆 O 直径 证明 平面 11 A ACC 平面 11 B BCC 设 AB 1 AA 在圆柱 1 OO内随机选取一点 记该点取自于三棱柱 111 ABC A B C内的概率为p i 当点 C 在圆周上运动时 求p的最大值 ii 记平面 11 A ACC与平面 1 BOC所成的 角为 0 90 当p取最大值时 求cos 的值 3 2010 2010 年天津理年天津理 19 19 本小题满分本小题满分 1212 分分 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别是棱BC 1 CC上的点 2CFABCE 1 1 2 4AB AD AA 求异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值 证明AF 平面 1 AED 求二面角 1 AEDF 的正弦 值 6 20102010 年安徽理年安徽理 1818 本小题满分 12 分 如图 在多面体ABCDEF中 四边形 用心 爱心 专心25 ABCD是正方形 EF AB EFFB 2ABEF 90BFC BFFC H为BC的中点 A B C D E F H 求证 FH 平面EDB 求证 AC 平面EDB 求二面角 BDEC 的大小 7 20102010 年广东理年广东理 1818 本小题满分 14 分 如图 5 ABC是半径为a的半圆 AC为直径 点 E 为 AC的中点 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点 平面 AEC 外一点 F 满足 5FBDFa FE 6a 8 8 20102010 年全国年全国 I I 理理 1919 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 命题意图 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面 平面 9 20102010 年四川理年四川理 1818 本小题满分 12 分 已知正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1 点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是对角 线 BD 的中点 求证 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 求二面角 M BC B 的大小 求三棱锥 M OBC 的体积 10 20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 1616 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 1 求证 PC BC 求点 A 到平面 PBC 的距离 用心 爱心 专心26 11 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1818 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 ABACD AC BD 垂足为 H PH 是四棱锥的高 E 为 AD 中点 1 证明 PE BC 2 若 APB ADB 60 求直线 PA 与平面 PEH 所成角 的正弦值 12 20102010 年陕西理科年陕西理科 1818 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD AP AB 2 BC 2 2 E F 分别是 AD PC 的中点 证明 PC 平面 BEF 求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的 大小 13 2010 2010 年北京理年北京理 16 16 本小题共 14 分 如图 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 互相垂直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面BDE 求证 CF 平面BDE 求二面角A BE D的大小 14 20102010 年江西理年江西理 2020 本小题满分 12 分 如图 BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD 2 3AB 1 求点A到平面MBC的距离 2 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值 15 20102010 年辽宁理年辽宁理 1919 本小题满分 12 分 已知三棱锥 P ABC 中 PA ABC AB AC PA AC AB N 为 AB 上一点 AB 4AN M S 分别为 PB BC 的中点 证明 CM SN 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 16 20102010 年浙江理科年浙江理科 2020 本题满分 15 分 如图 在矩形 ABCD 中 点 E F 分别在线段 AB AD 上 AE EB AF 2 3 FD 4 沿直线 EF 将 AEF 翻着成 A EF 使平面 A EF 平面 BEF 用心 爱心 专心27 求二面角 A FD C 的余弦值 点 M N 分别在线段 FD BC 上 若沿直线 MN 将 四边形 MNCD 向上翻着 使 C 与 A 重合 求线段 FM 的长 17 2010 年全国年全国 2 理理 19 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ACBC 1 AAAB D为 1 BB的中点 E为 1 AB上的一点 1 3AEEB 证明 DE为异面直线 1 AB与CD的公垂线 设异面直线 1 AB与CD的夹角为 45 求二面角 111 AACB 的 大小 18 2010 2010 年重庆理年重庆理 19 19 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 如题 19 图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 底面 ABCD PA AB 6 点 E 是棱 PB 的中点 求直线 AD 与平面 PBC 的距离 若 AD 3 求二面角 A EC D 的平面角的余弦 值 5 两年模拟两年模拟 20122012 年名校模拟题及其答案年名校模拟题及其答案 浙江省杭州第十四中学 2012 届高三 12 月月考 若 a b c d 是空间四条直线 如果 ac bc ad bd 则 A ab且 cd B a b c d 中任意两条可能都不平行 C ab或者 cd D a b c d 中至少有一对直线互相平行 黑龙江省绥棱一中 2012 届高三理科期末 如图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形且体积为 1 2 则该几何体的俯视图可以是 A D P E BC 题 19 图 用心 爱心 专心28 广东省执信中学 2012 第一学期期末 设b c表示两条直线 表示两个平面 下 列命题中真命题是 A 若 cb 则 bc B 若 bbc 则 c C 若 c 则c D 若 cc 则 安徽省六校教育研究会 2012 届高三联考 一个空间几何体的三视图如图 1 所示 其 中正视图为等腰直角三角形 侧视图与俯视图为正方形 则该几何体的体积和表面积分别 为 A 64 48 16 2 B 32 48 16 2 C 64 3 32 16 2 D 3 32 48 16 2 广东省执信中学 2012 第一学期期末 如果一条直线与一个平面垂直 那么 称此直线与 平面构成一个 正交线面对 在一个正方体中 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的 平面构成的 正交线面对 的个数是 A 24 B 30 C 36 D 42 甘肃省天水一中 2012 第一学期高三第四阶段考 正四面体 P ABC 中 M 为棱 AB 的中点 则 PB 与 CM 所成角的余弦值为 A 2 3 B 4 3 C 6 3 D 3 3 福建省南安一中 2012 届高三上期末 已知a b c表示三条不同的直线 表示平面 用心 爱心 专心29 给出下列命题