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【精品】本章总结 第二章随机变量及其分布总结【知识框图】 一、互斥事件与相互独立事件同时发生的概率【知识盘点】1条件概率及其性质2事件的和、积3互斥事件的概率公式4互相独立事件的概率公式【特别提醒】1条件概率要弄清楚是在已知事件A发生的附加条件下，求事件B的概率；2求积事件的概率必须注意独立性，事件和的概率必须注意事件是否互斥；3应用相互独立事件同时发生的概率乘法公式时，求概率的步骤是 （1）先确定诸事件是相互独立的； （2）确定诸事件会同时发生； （3）先求每个事件发生的概率，然后再求其积。 【典例精析】例1(xx年全国卷)解记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此A、B、C是相互独立事件。 (1)由已知得()()P AP B()0.05P A B?=?=，()()()P AP C0.1P AC?=，()()()P BP C0.125.P BC?=解得()P A0.2,()P B0.25,()0.5.P C=所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5。 （2）记事件A的对立事件为A，事件B的对立事件为B，事件C的对立事件为C，则()P A0.8,()P B0.75,()0.5P C=，于是()1()1()P A()P B()P C0.7.P ABCP A BC?+=?=?=警示在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义。 一般而言，已知两个事件A、B，它们的概率分别为P（A）、P（B），那么 （1）A、B中至少有一个发生为事件AB； （2）A、B都发生为事件A B?； （3）A、B都不发生为事件A B?； （4）A、B恰有发生为事件A BA B?+； （5）A、B中至多有一个发生为事件A BA B?AB?+。 它们之间的概率关系如下表示所示,AB互斥()P A+0,AB相互独立()P AB+?()P B1()()P AP B?()P A()P AB()P B?()P AB?1()P A?()P B+()P A()P B()P A BA B?+()P A()P B+()()P AP B()()P AP B+例2解 （1）甲乙两队的实力相当，所以在每局比赛中甲获性的概率为12，乙获胜的概率为1.2记事件A为“甲打完3局胜出”，事件B为“甲打完4局胜出”，事件C为“甲打完5局胜出”。 甲打完3局取胜，相当于进行了3次独立重复试验，且每局比赛甲均获胜，所以甲打完3局取胜的概率为33311()P A()2.8C=甲打完4局才能取胜，相当于进行了4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，所以甲打完4局取胜的概率为2321113()P B()2.2216C=甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲每5局比赛获胜，前4局恰好2胜2负，所以甲打完5局获胜的概率为24221113()P C()2()2.216C= （2）记事件D为“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又?A、B、C彼此互斥，故1331()P D()()P A()P B()P C.816162P ABC=+=+=+=从而按比赛规则甲获胜的概率为1.2警示对于本题的第 （2）小题而言，还可以这样来解决由于在每一局中甲乙获胜的概率均相同，“按比赛规则甲获胜”与“按比赛规则乙获胜”的概率也应该是相同的，为此所求的概率为1.27抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率解设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为21189)()()()()(=AnABnAPABPABP或213618369)()()(=APABPABP8.设A、B、C3个事件两两相互独立，事件A发生的概率是21，A、B、C同时发生的概率是241，A、B、C都不发生的概率是41。 （1）试分别求事件B和事件C发生的概率。 （2）试求A，B，C中只有一个发生的概率。 解设事件B发生的概率为P1，事件C发生的概率为P2，则2412121=PP（121）（11P）（1P2）=41即?=1211272121PPPP解得?=314121PP或?=413121PP故事件B、C发生的概率分别为41313141，或，。 （2）P=P（?BCA+?ACB+CBA?）=2411)311)(211 (41)411)(211 (31)411)(311(21=?+?+?9剖析本题可以考虑两人考试都不合格的对立事件，也可分为甲及格乙不及格，甲不及格乙及格，甲乙都及格三种情况进行考虑。 解设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)=310361426CCCC+=321202060=+，P(B)=15141205656310381228=+=+CCCC.因为事件A、B相互独立，方法一甲、乙两人考试均不合格的概率为()()()45115141321=?=?=?BPAPBAP甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为()454445111=?=?=BAPP答甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544方法二甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()454415143215143115132=+=?+?+?=BAPBAPBAPP答甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.警示本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力10（xx年四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该课程考核都合格的概率。 （结果保留三位小数）剖析至少有两人合格的反面是至多有一人不及格，可以从反面进行计算，而三人都及格是甲、乙、丙及格事件的积事件。 解记“甲理论考核合格”为事件1A；“乙理论考核合格”为事件2A；“丙理论考核合格”为事件3A；记iA为iA的对立事件，1,2,3i=；记“甲实验考核合格”为事件1B；“乙实验考核合格”为事件2B；“丙实验考核合格”为事件3B；（）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件()(0.90.80.30.90.20.7=+0.902=解法2()()(?(10.10.20.30.90.20.310.098=?0.902=所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902解法1)123123123123P CP A A AA A AA A AA A A=+)()()(0.90.80.7)123123123123P A A AP A A AP AA AP AAA=+0.10.80.7+1P CP C=?()1231231231231P AA AAA AAAAAAA=?+)()()()1231231231231P AA AP AAAP AAAP AAA?=?+)0.10.80.30.10.20.7=?+（）记“三人该课程考核都合格”为事件D()()(P DPAB?()(P AP B0.90.80.80.80.70.9=所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254警示本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。 )(P A)112233ABAB=?()()()112233P ABP ABP AB=?)()()()112233P BP AP B=?=?0.2540160.254二离散型随机变量的分布列、数学期望与方差1.离散性分布列的定义及其性质2.两点分布、超几何分布为3数学期望与方差公式【基础闯关】【典型例题】例3.（08湖北卷17）（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若ab=+,1E=,11D=,试求a,b的值.解本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.解（）的分布列为01234P121xx03xx11131012341.5.2xx205E=+=2222211131(01.5)?(11.5)?(21.5)?(31.5)?(41.5)?2.75.2xx205=+=（）由Da D=2，得a22.7511，即2.a=又,EaEb=+所以当a=2时，由121.5+b,得b=-2;当a=-2时，由1-21.5+b，得b=4.2,2ab=?或2,4ab=?=?即为所求.例4（08山东卷18）（本小题满分12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。 假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分. （1）求随机变量分布列和数学期望； (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).()解法一由题意知，的可能取值为0，1，2，3,且所以的分布列为0123P2719294278的数学期望为E=.227839429212710=+解法二根据题设可知)32,3(B因此的分布列为2323),32,3(B.3,2,1,0,32)321()32()(3323=?=?EkCCkPkkkkk所以因为（）解法一用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=CD,且C、D互斥，又.278)32()3(,94)321()32()2(,92)321 (32)1(,271)321()0(3333232231330=?=?=?=CPCPCPCP,34)213131()32()(,310213132213231213132)321()32()(52324232=?+?=CDPCCP由互斥事件的概率公式得24334334354310)()()(54=+=+=DPCPABP.解法二用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).24334)32213121 (32)2131()32(2212323223=+CC【能力提升】4把4个球随机地投入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E、D.剖析每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为A44=4!，P（=0）=44!4=646；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为C14C24A33，P（=1）=6436.同样可分析P（=2），P（=3）解的所有可能取值为0，1，2，3.P（=0）=4444A=646，P（=1）=43324144ACC=6436，P（=2）=422242424244ACCCC+=6421，P（=3）=4144C=641.的分布列为0123P64664366421641E=6481，D=2641695警示本题的关键是正确理解的意义，写出的分布列.求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.=2时，此时有两种情况有2个空盒子，每个盒子投2个球；1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球。 5.（08湖南卷16）.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求（）至少有1人面试合格的概率;（）签约人数的分布列和数学期望.解:用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）P（B）P（C）12.（）至少有1人面试合格的概率是3171()1()()()P AP BP C1()=?.28P ABC?=?=（）的可能取值为0，1，2，3. (0)(P ABC)()()PP ABCP ABC=+()()()P AP BP C()()()P AP BP C()()()P AP BP C+3231113()2()2()2.8+=(P1)()()()P ABCP ABCPABC=+=()()()PAP BP C()()()PAP BP C()()()PAP BP C+=3331113()2()2()2.8+=1 (2)()()()()PAP BP C.8PP ABC=1 (3)()()()()PAP BPC.8PP ABC=所以，的分布列是0123P38381818的期望331101231.8888E=+=6从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加计算机理论测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求（）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；（）设选出的三位同学中男同学的人数为，求的概率分布和数学期望.剖析“至少有一名女同学”其反面是“一位女同学也没有”，即“全是男同学”；对于同学甲通过，首先应选中甲，然后再让甲同学通过；选出的三位同学中男同学的人数有可能是 0、 1、 2、3。 解（）至少有一名女同学的概率为310361CC?.65611=?=（）同学甲被选中的概率为,10331029=CC则同学甲被中且通过测试的概率为0.30.7=0.21.（）根据题意，的可能取值为 0、 1、 2、3，;103)1(31)0(310241631034=CCCPCCP;61)3(;21)2(310363101426=CCPCCCP所以，的分布列为8.1=61321210313010)(+=E警示求随机变量的分布列时，要找到随机变量的所有可能的取值，然后分别计算随机变量各个值的概率，最后得出分布列。 0123P3011032161 三、独立重复试验、二项分布与正态分布知识盘点1n次独立重复试验的定义及其概率公式在相同的条件下重复做的n次试验称为n次独立试验。 在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其它试验的影响，若iA（1,2,in=?）是第i次试验的结果，则12()_.nP AAA=?12()()()nP AP APA?2二项分布若设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为()_,P Xk=其中k的取值为_.此时随机就是X服从二项分布，记为，并称P为成功概率。 （ (1)knkn k?C pp?0,1，2n(,)B np）X3正态曲线函数,()?_x=的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。 （22()21,2xexR?）4正态分布及其特点 （1）对于任何实数ab，随机变量X满足()_,P aXb，概率(?)PaXa?+=,()?aax dx?+?0.6828；(?22)aPaX?+=0.9544；(?33)aPaX?+=0.9974。 【特别提醒】1独立重复试验又叫做贝努里试验，这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么事件发生，要么不发生，并且任何一次试验中事件发生的概率是一样的；2如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为() (1)knkn k?P kCpp=?,这个公式恰好是 (1)npp?+的展开式中的第1k+项，由此可见排列组合、二项式定理、概率之间存在着密切的联系。 3在实际生产、生活中，我们遇到的总体多数属于连续型的，而在连续型的总体中，应用最为广泛的是呈正态分布的总体，简称为正态分布，它的分布情况可以表示成一条钟形曲线，而且随着总体的均值与标准差的不同，曲线的形状产生各种不同的变化。 4正态分布的应用十分广泛，当一随机变量是大量微小的独立的随机因素共同作用的结果，而每一种因素都被认为服从正态分布，如测量误差、一个群体的身高、考试成绩、射击命中点与靶心距离的偏差等，都被认为服从正态分布的随机变量。 【基础闯关】1一台X型自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一个小时之内至多2台机床需要工人照看的概率是（D）A0.1536B0.1808C0.5632D0.97282在一次试验中随机事件A发生的概率为P，设在*()k kN次独立重复试验中随机事件A发生k次的概率为kP，那么1niiP=等于（A）A (1)1nPPP?BnP CnnP D13若A(10,0.8)XB，则B (8)P X=等于（A）280.80.2C810820.80.2C810C820.80.2D280.80.24一批电阻的阻值X服从正态分布N（1000,52）（?）。 今从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011?和982?，可以认为 (3)（填写正确的序号） （1）甲、乙两箱电阻均可出厂； （2）甲、乙两箱电阻均不可出厂； （3）甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂； （4）甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂。 【典例精析】例5（xx年浙江卷）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31，从B中摸出一个红球的概率为p()从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E()若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p的值剖析此问题主要考查独立随机试验的概率的求法，计算一定要准确。 解（I）(i)24221218()3()3.381C=(ii)随机变量的取值为0,1,2,3.由n次独立重复试验概率公式1 (0) (1)32431 (2)()(13随机变量的分布列是01P32243() (1),knkn k?nP kCpp=?得05532,PC=?=80,2431541180(=1) (1),33243PC=?=25231)3PC=?=32802+17 (3)1.24381P=?=2802433178180243的数学期望是320243（II）设袋子A有m个球，则袋子B中有2m个球。 由8080171311232432438181E=+=1223,35mmpm+=得13.30p=警示摸球问题是高考试题中经常出现的概率模型，对于此种问题的解决关键是抓住是放回式摸球还是不放回式摸球，以便于选择概率模型进行解决。 例6在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一具巨大的汽油罐。 已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流