高考数学复习点拨 定积分与曲边梯形的面积

用心 爱心 专心 定积分与曲边梯形的面积定积分与曲边梯形的面积 求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用 把求平面图形的面积问题转化为求 定积分问题 充分体现了数形结合的数学思想 当函数 f x 在区间 a b 上恒为正时 定 积分 b a dxxf 的几何意义是以曲线 f x 为曲边的曲边梯形的面积 一般情况下 定积分 b a dxxf 的几何意义是介于 x 轴 函数 f x 的图象以及直线 x a x b 之间各部分面积的 代数和 在 x 轴上方的面积取正号 在 x 轴下方的面积取负号 那么在一般情形下 定积 分 b a dxxf 的几何意义是曲线 y f x 两条直线 x a x b 与 x 轴所围成的各部分面积 的代数和 本文主要探讨定积分与曲边梯形面积的关系 一 利用定积分的定义求曲边梯形的面积 例 1 利用定积分的定义求由直线 x 1 x 2 和 y 0 及曲线 y x3围成的图形的面积 分析 画出草图 形象直观 帮助解题 对定积分定义的理解程度决定了解题的成败 解 1 分割 把求面积的曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形 用分点把 区间 1 2 等分成 n 个小区间 每个小区间的长度为 过各分点作 x 轴的垂线 把曲线梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形 它们的面积分别 记作 S1 S2 Sn 2 近似代替 取各小区间的左端点 i 用以点 i的纵坐标 i 3为一边 以小区间长 x n 1 为 其邻边的小矩形面积近似代替第 i 个小曲边梯形面积 可以近似地表示为 3 求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值 所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 面积 S 的近似值 即 4 求极限 当分点数目愈多 即 x 愈小时 和式 的值就愈接近曲边梯形 ABCD 的面积 S 因 用心 爱心 专心 此 n即 x 0 时 和式 的极限就是所求的曲边梯形 ABCD 的面积 点评 1 据定义求定积分的步骤 分割 近似代替 求和 取极限 2 独立研究一个这种例题 是学习定积分过程中必需的 重点在于体验其中的数学 思想 二 利用微积分基本定理求曲边梯形的面积 1 以 x 为积分变量 例 2 求由抛物线 y x2 1 直线 x 2 y 0 所围成的图形的面积 分析 首先要较准确地画出图形 尤其是公共点 解 首先画出如图所示的阴影部分就是所求作的图形 由 x2 1 0 得抛物线与 x 轴的交点坐标是 1 0 和 1 0 所求图形分成两块 分别用定积分表示面积为 因为1 3 1 3 2 3 2 3 xx x x x x 所以 dxxdxx 1 1 2 1 1 2 1 1 dxxdxx 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 3 3 3 x xx x 1 3 1 1 3 1 3 8 2 3 1 1 3 8 即所围成的三角形面积为 3 8 点评 在 1 1 上 抛物线在 x 轴下方 这时有两种办法表示 其面积表示其一是 dxx 1 1 2 1 其二是dxx 1 1 2 1 0 2 以 y 为积分变量 例 3 求曲线 y 2x 与直线 y x 4 围成的图形面积 用心 爱心 专心 分析 首先正确画出抛物线和直线的大致图象 关键点要尽可能准确 如果选择积分 变量为 x 则要将区域分成两块才行 而如果选择积分变量 y 如图 问题便很简单 解 由 4 2 2 xy xy 解得 2 2 y x 和 4 8 y x 即 A B 两点的纵坐标分别是 2 和 4 因此所求的面积为 因为 2 4 6 4 2 232 y y y y y 所以 S 4 2 32 4 2 2 6 4 2 2 4 y y y dy y y 18 点评 由本题可看出 如果采用 x 作为积分变量 积分的运算量会增加 可见 认真 审题 找出最佳的方法是很重要的 三 逆用曲边梯形的面积求定积分 例 4 求定积分 1 0 2 1 1 dxxx的值 解析 1 0 2 1 1 dxxx表示圆 x 1 2 y2 1 y 0 的一部分 与直线 y x 所围成的图形 如图所示 的面积 因此 1 0 2 1 1 dxxx 2 1 4 11 2 1 4 12 点评 本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦 由 1 0 2 1 1 dxxx联想到圆 x 1 2 y2 1 y 0 的一部分与直线 y x 再联想到定积 分的几何意义 从而简化了运算 这也是数学结合思想的又一体现 运用定积分的几何意义 计算定积分 需要具备较强的观察能力 分析能力和逻辑推理能力 四 巧用对称性求平面图形面积 在求平面图形面积时 注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题 也是简化 计算过程的常用手段 例 4 简化下列各式 O y x1 用心 爱心 专心 思路与技巧 根据定积分的几何意义通过数形结合可将式子简化 解答 1 d