八年级数学期中复习（二）几种特殊平行四边形、梯形、一元一次不等式（组）华东师大版知识精讲

初二数学初二数学期中复习 二 几种特殊平行四边形 梯形 一元一次不期中复习 二 几种特殊平行四边形 梯形 一元一次不 等式 组 等式 组 华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 期中复习 二 几种特殊平行四边形 梯形 一元一次不等式 组 教学目标 1 认识几种特殊四边形 掌握图形的特征及识别方法 并能利用图形特征及识别方法解 决简单的推理与计算问题 进一步学会推理与数学说理 2 认识不等式 组 理解不等式性质 掌握一元一次不等式 组 解法 探索一元一 次不等式 组 在实际问题中应用 二 重点 难点 1 教学重点 1 几种特殊四边形的特征和识别方法 2 不等式性质及解一元一次不等式 组 2 教学难点 1 平行四边形与特殊平行四边形之间的区别联系 2 探索一元一次不等式 组 在实际问题中应用 知识网络及要点总结 1 四边形 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形 等腰梯形 直角梯形 两组对边分别平行 有一直角邻边相等 邻边相等有一直角 只有一组对边平行 两腰相等 一腰垂直于底 平行四边形 四边形 菱形 矩形 正 方 形 梯形 等腰 梯形 直角 梯形 几种特殊四边形的特征 几种特殊四边形的特征 边角对角线对称性 平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线中心对称 互相平分 矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相 平分且相等 轴对称 中心对称 菱形对边平行 四边都相等 对角相等两条对角线互相垂 直平分 每条对角 线平分一组对角 轴对称 中心对称 正方形对边平行 四边相等 四个角都是直角两条对角线互相垂 直平分 每条对角 线平分一组对角 轴对称 中心对称 等腰梯形两底平行 两腰相等 同一底上的两个角 相等 两条对角线相等轴对称 2 不等式 组 概念 一元一次不等式 组 实际问题 不等式 性质 不等式 组 的解集 解法 解一元一次不等式 解一元一次不等式 组 解集在数 轴上表示 分析 抽象 不等关系 基本性质基本性质 不等式的三条基本性质 1 不等式的两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 不等号不变 2 不等式两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 3 不等式两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 规律与方法规律与方法 1 一元一次不等式的解集的四种基本情况 一元一次不等式数轴表示解集 化为xa xa 化为xa xa 化为xa xa 化为xa xa 2 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组数轴表示 ab 解集法则 1 xa xb xb 同大取大 2 xa xb xa 同小取小 3 xa xb axb 小大取中 4 xa xb 无解矛盾无解 典型例题典型例题 例 1 如图 任意四边形 ABCD 对角线 AC BD 交于 O 点 过各顶点分别作对角线 AC BD 的平行线 四条平行线围成一个四边形 EFGH 试想当四边形 ABCD 的形状发生 改变时 四边形 EFGH 的形状会有哪些变化 完成以下题目 E D H C G A F B 1 当 ABCD 为任意四边形时 EFGH 为 当 ABCD 为矩形时 EFGH 为 当 ABCD 为菱形时 EFGH 为 当 ABCD 为正方形时 EFGH 为 当 EFGH 是矩形时 ABCD 为 当 EFGH 是菱形时 ABCD 为 当 EFGH 是正方形时 ABCD 为 2 请选择 1 中任意一个你所写的结论进行证明 1 答案 答案 平行四边形 菱形 矩形 正方形 对角线垂直的四边形 对角线相等的 四边形 对角线相等且垂直的四边形 2 分析 分析 结合图形 联想特殊四边形的特征及识别很容易发现 其中的桥梁为 AC BD 证明 证明 当 ABCD 为任意四边形时 EFGH 为平行四边形 EH AC FG EF BD GH 四边形 EFGH 为平行四边形 证证 若 ABCD 为矩形 则 EFGH 为菱形 EH AC FG EF BD GH 四边形 EACH ACGF EFBD BDHG EFGH 均为平行四边形 EH AC FG EF BD GH 四边形 ABCD 为矩形 AC BD EH AC FG EF BD GH 四边形 EFGH 为菱形 若 ABCD 为菱形 则 EFGH 为矩形 留给同学们自己证 例 2 如图 在矩形 ABCD 中 AC 交 BD 于 O AM CN 分别平分 BAO 及 DCO 交 BD 于 M N 试问 四边形 AMCN 是平行四边形吗 为什么 AD BC N M O 分析 分析 1 已知矩形 联想到矩形特征 2 证平行四边形 联想到平行四边形的识别 3 由角平分线可很容易得出 AM CN 所以用边的关系式 对角线推证 AMCN 为平行四边形均可 AD BC N M O 4 2 6 87 1 5 3 证明证明 1 矩形 ABCD ABCD 34 BAODCO AM CN 分别为 BAO DCO 的平分线 1 1 2 2 1 2 BAODCO 1 2 ABM 与 CDN 绕 O 点旋转重合 AMCN 四边形 AMCN 为平行四边形 证明证明 2 矩形 ABCD OA OC AB CD BAO DCO AM CN 分别平分 BAO DCO 5 1 2 6 1 2 BAODCO 56 78 AMO 与 CNO 全等 OM ON 四边形 AMCN 为平行四边形 例 3 如图所示 四边形 ABCD 中 BAD C 90 AE BC 于 E AE 10cm AB AD 求四边形 ABCD 的面积 AF CBE D 3 2 1 剖析 剖析 由于 ABCD 是不规则四边形 根据已知条件不易直接求出面积 若通过旋转 构造正方形 就可化难为易 答案 答案 将 ABE 绕点 B 旋转 90 后得 ADF 则 AF AE 10cm 1 2 因为 所以 1390 2390 又因为 AE BC 所以 AEC 90 因为 C 90 所以四边形 AECF 为矩形 又因为 AE AF 所以矩形 AECF 为正方形 所以SAEcm AECF正方形 222 10100 所以Scm ABCD四边形 100 2 例 4 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC ABC 72 平移腰 AB 到 DE 再将 DCE 沿 DE 翻折 得到 DC E 则 EDC A D BC E C 2 1 分析 分析 由等腰梯形 ABCD ABC 72 联想到 C 72 再利用轴对称可知 C C 72 在 DEC 中可求出 EDC 度数 解 解 等腰梯形 ABCD B C 72 AB DE 1 B 72 DCE 沿 DE 翻折得 DC E 2 1 72 C C 72 在 DEC 中 EDC 180 72 72 36 例 5 如图 正方形 ABCD 的对角线 AC BD 交于 O 点 E 是 AC 上一点 过 A 作 AG EB 于 G AG 交 BD 于 F 则 OE OF A BC D E F O G 图 1 解 解 因为四边形 ABCD 为正方形 所以 BOE AOF 90 BO AO 因为 AG EB 所以 GAE GEA 90 又因为 EBO GEA 90 所以 EBO FAO 则 BEO 顺时针旋转 90 到 AFO 的位置 所以 OE OF 问题 对于上述命题 若点 E 在 AC 的延长线上 AG EB 交 EB 延长线于点 G AG 的延长线交 DB 的延长线于点 F 其他条件不变 如图 2 请你想一想 结论 OE OF 还成立吗 如果成立 请给予说明 如果不成立 请说明理由 O 图 2 A D BC FE G 1 2 分析 分析 对于此类问题的解决 一定注意先阅读理解图 1 的证明 疏理证题思路 图 2 通常是图形变 证题方法不变 答 答 OE OF 成立 证明 证明 正方形 ABCD 1 2 90 OA OB AG EB E GAE 90 E EBO 90 FAO EBO AOF 与 BOE 全等 OE OF 例 6 徐州市 2001 如图所示 把边长为 2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形 请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形 全部用上 互不重合且不留空隙 并 把你的拼法仿照下图按实际大小画在方格内 方格为 1cm 1cm 1 不是正方形的菱形 一个 2 不是正方形的矩形 一个 3 梯形 一个 4 不是矩形和菱形的平行四边形 一个 5 不是梯形和平行四边形的凸四边形 两个 6 与以上画出和图形不全等的其他的凸四边形 画出的图形互不全等 能画出几个 画几个 至少画三个 2 11 分析 分析 首先弄清拼图的直角三角形边之间的关系 长直角边 2 短直角边 再拼图时 联想特殊四边形的识别方法 答 答 1 2 3 4 6 5 例 7 由 得到的条件应该是 abaxbx A B C D x 0 x 0 x 0 x 0 答案 答案 B 分析 分析 由到联想到不等式性质 abaxbx 例 8 已知与的和是单项式 解不等式4 2551 xy aa b 7 4722 xy b aab 2719axxb 分析 分析 此题为一道小综合题 由两个单项式的和为单项式 可以想到它们是同类项 于是可求出 a b 的值 解 解 与和为单项式 4 2551 xy aa b 7 4722 xy b aab 254 51722 aba abab 解得 a b 2 7 化为 2719axxb 47719xx 解得 x 10 例 9 已知不等式的最大整数解为关于 x 的方程 526617xx 的解 求代数式的值 23xax 4 14 a a 分析 分析 本题将不等式 方程 代数式知识综合在一起 并不难 按题目语言叙述顺序 去解即可 解 解 526617xx x 3 则小于的最大整数为 3x 4 将代入中x 423xax 843a a 11 4 将代入中a 11 4 4 14 a a 4 14 11 56 11 16 1 11 a a 代数式的值为16 1 11 例 10 阅读下列材料并完成填空 你能比较和的大小吗 为了解决这个问题 先把问题一般化 即比2003200420042003 较和的大小 n 1 的整数 然后 从分析 n 1 2 3 等简单情形入nn 1 n n 1 手 从中发现规律 经过归纳 猜想出结论 1 通过计算 比较 各组两个数的大小 填 12212332344345 54 56 65 67 76 78 87 2 从第 1 小题的结果归纳 猜想出和的大小关系是nn 1 n n 1 3 根据上面归纳猜想得到的一般结论 可以得 填 2003200420042003 分析 分析 此题体现将复杂题转化为一般问题 通过探索规律 再解决复杂题的辩证的思 维方式 解 解 1 2 当时 n 1 nn n n 1 1 当时 n 2 nn n n 1 1 当时 n 3 nn n n 1 1 3 例 11 昌平南口农场的苹果非常著名 农场组织 20 辆汽车装运 A B C 三种苹果 42 吨到外地销售 按规定每辆车只装同一种苹果 且必须装满 每种苹果不少于 2 车 1 设有 x 辆汽车装运 A 种苹果 用 y 辆汽车装运 B 种苹果 试根据图表中提供的信息求 y 与 x 的关系式 并求 x 的取值范围 2 设此次外销活动的利润为 W 百元 求 W 与 x 的关系式以及最大利润 并安 排相应的车辆分配方案 苹果品种ABC 每辆汽车运载量 吨 2 22 12 每吨获利 百元 685 分析 分析 1 先根据题意可列出 y 与 x 的关系式 再由每种苹果不少于 2 车可以求出 x 的取值范围 2 先建立 W 与 x 的关系式 再由 x 的取值范围 结合关系式从而确定 x 的值 解 解 1 22212 2042 xyxy 化简 得 yx 202 由题意 可得 x x xy 2 2022 202 解之得 29418 xxy x 的值为 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Wxxx 226218 20225 Wx 336104 当时 W 取最大值 百元 x 2W 3362083152 此时 装运方案为 装运 A 种苹果 2 车 装运 B 种苹果 16 车 C 种苹果 2 车 例 12 如图 梯形 ABCD 中 AD 18cm BC 21cm 点 P 从点 A 开始沿 AD 边向 D 以 1m s 的速度移动 点 Q 从 C 点开始沿 CB 边向 B 以 2m s 的速度移动 如果 P Q 分别 从 A C 同时出发 设移动时间为 t 秒 求 1 t 为何时 四边形 ABQP 为矩形 2 t 为何时 四边形 PQCD 为等腰梯形 APD BQ C 分析 分析 1 假设 ABQP 为矩形成立 即 APD BQ C 看 P Q 应满足什么条件 即 AP BQ 解 解 1 AP BQ 1212tt 321 7 t t 7 秒时 ABQP 为矩形 分析 分析 2 若四边形 PQCD 为等腰梯形 即 APD BQ C 则 PQ CD 将 PQ CD 的关系转化到 AD BC 边上 则须添什么辅助线 略解 略解 2 过 P 做 PE BC 于 E 过 D 作 DF BC 于 F APD BQ CEF 可证出四边形 ABEP PEFD ABFD 均为矩形 BC 21 AD 18 CF 3 若 QE 3 则 PQ DC 则四边形 PQCD 为等腰梯形 QE QCPD tt t 2 3 218 2 3 8 8 秒时四边形 PQCD 为等腰梯形 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 下列说法中错误的是 A 对角线互相平分的四边形是矩形 B 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C 对角线相等的平行四边形是矩形 D 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 2 在 ABC 中 AB 5 AC 3 则 BC 边上的中线 AD 的长的取值范围是 A 2 AD 8B 1 AD 4 C 0 AD 2D 无法确定 3 不等式组的解集是 21 41 x x A B 3 1 2 x 1 2 3 x C D 或x 1 2 x 1 2 x 3 4 不等式的非负整数解的个数是 1932 x A 4 个B 5 个C 6 个D 7 个 5 正方形具有而菱形不具有的性质是 A 对角线互相垂直平分B 对角线相等 C 邻边相等D 每一条对角线平分一组对角 二 填空题 1 梯形 ABCD 中 AB DC DE CB AED 的周长为 18 EB 4 的梯形的周长为 如图所示 AEB DC 2 1 对角线 的四边形是正方形 2 对角线 的矩形是正方形 3 对角线 的菱形是正方形 4 对角线 的平行四边形是正方形 3 当 x 时 的值小于 当 x 时 的值是非负 1 3 6x 1 3 1 3 6x 数 4 请仔细阅读后答题 已知 若知道 a c 求 b 叫对数运算 有 ac b bc a log 例如 因为 所以 求 28 3 log283 log381 三 解下列不等式 不等式组 1 xx 2 3 1 1 4 2 xx xx 263 5214 1 3 试确定 c 的范围 使不等式组 只有一个整数 x x x c xcxx 57 5 325 15 1 22 21 2 解 没有整数解 四 证明题 1 已知 如图 在 ABC 中 AD 平分 BAC DE AC 交 AB 于 E DF AB 交 AC 于 F 试说明 EF 与 AD 互相垂直 A CD B E F 2 如图 矩形 ABCD 中 AC BD 相交于 O AE 平分 BAD 交 BC 于 E 若 CAE 15 求 BOE 的度数 AD B C E O 五 实际应用 某家具商场出售桌子和椅子 单价分别为 500 元 张和 60 元 把 该商场制定了两种优 惠办法 1 买一张桌子赠送两把椅子 2 按总价的 87 5 付款 某顾客需购 5 张桌 子 若干把椅子 不少于 10 把 若已知购买数为 x 把 付款数为 y 元 试就两