八年级数学一次函数华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 初二数学初二数学一次函数一次函数华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 一次函数 主要内容 1 一次函数的概念 图像和性质 2 用待定系数法确定一次函数解析式 3 解决与一次函数相关的代数综合题 4 解决与一次函数相关的几何综合题 二 重点 难点 1 教学重点 一次函数的概念 图像和性质 用待定系数法求一次函数解析式 2 教学难点 一次函数的性质 典型例题典型例题 一 知识梳理 1 一次函数的概念 一次函数是最基本的一种函数 对它的学习使我们初步了解研究函数的基本方法 同 时为后面学习反比例函数奠定基础 函数 为常数 叫做的一次函数 学习这个定义应明确下面几点 1 作为一次函数自变量的最高次数是 1 且其系数 这两个条件缺一不可 2 函数 中可以为任意常数 当时 一次函数 就成 为常数 且 这时叫做的正比例函数 也可以说 与成正比例 常数叫做因变量与自变量的比例系数 因此正比例函数是一次函 数的特例 但一次函数不一定是正比例函数 要证明 y 是 x 的一次函数 就需要证明 1 它的解析式可写成 y kx b 的形式 而且 k b 一定是常数 且 k 0 这两个 内容缺一不可 2 对正比例函数定义的理解还须加上 b 0 的条件 3 一次函数与正比例函数的关系如下 一次函数 y kx b k 0 当 b 0 时 y kx 是正比例函数 当 b 0 时 y kx b 不是正比例函数 因此 如果 y 是 x 的正比例函数 则 y 一定是 x 的一次函数 反之则不一定成立 2 一次函数的图像 用心 爱心 专心 一次函数 y kx b k 0 的图像是一条与坐标轴斜交的直线 因此 只需求出直线 y kx b 上的两点 就可得到它 一般 作正比例函数 y kx 的图像常取点 0 0 和 1 k 作一次函数 的图像常取 和 两点 这两点是直线与坐标轴的交点 0 bbkxyb 0 0 k b 3 一次函数的性质 1 参数 k b 的意义和对一次函数 y kx b 的图像与性质的影响 当时 y 随 x 的增大而增大 这时函数的图像从左到右上升 当时 y 随 x 的增大而减小 这时函数的图像从左到右下降 因此 k 的符号与直线的方向 函数的增减性是相互决定的 2 b 是一次函数 y kx b 中 当 x 0 时所对应的函数值 因此直线 y kx b 与 y 轴交于点 0 b b 是直线 y kx b 与 y 轴上的交点的纵坐标 所以 b 的符号和直线 与 y 轴交点位置是相互对应的 3 k b 的符号对直线位置的影响 图像过一 二 三象限图像过一 三 四象限 图像过一 二 四象限图像过二 三 四象限 讨论 k b 符号与直线 y kx b 在坐标系中的位置要注意用 k b 的意义去解决 不必 死记对应的结论 4 解析式的确定 确定一次函数解析式的常用方法是待定系数法 它的一般步骤如下 1 写出函数解析式的一般形式 其中 k b 是待定系数 2 把自变量与函数的对应值代入函数解析式中 得到关于待定系数 k b 的方程或 方程组 3 解方程或方程组求出待定系数 k b 的值 从而写出一次函数的解析式 4 已知两直线 和 且 则 0 111 kbxky 0 222 kbxky 21 bb 用心 爱心 专心 2121 llkk 5 一次函数 y kx b k 0 和二元一次方程 Ax By C 之间在 A 0 且 B 0 的条件 下是可以互相转化的 即 0 CByAx0 0 BA 0 0 BA B C x B A y 由此可知 在直角坐标系中 一次函数的图像所对应的是直线 同时也对应于一个二 元一次方程 因此两直线和的交点坐标也就是 0 111 kbxky 0 222 kbxky 相应的二元一次方程组的解 22 11 bxky bxky 典型例题典型例题 例 1 下列函数关系式中 哪些 y 是 x 的一次函数 哪些是正比例函数 1 2 3 yx 1 2 xy 2 3 x y 3 2 4 5 6 3 2 x yxy32 023 yx 解解 2 4 5 6 是一次函数 2 6 是正比例函数 例 2 若函数是一次函数 求的值 并写出解析式 2 13 m ymx m 解 解 由题意得 则 1 2 m1 m 因为 所以01 m1 m 则 1 m 例 3 直线经过第一 二 四象限 求 m 的取值范围 分析 分析 直线过第一 二 四象限 则 解 解 由直线经过第一 二 四象限 可得 解得 例 4 根据下列条件写出相应的解析式 1 直线经过点5 kxy 1 2 用心 爱心 专心 2 一次函数中 当时 当时 1 x3 y1 x7 y 解 解 1 由于直线经过点5 kxy 1 2 5 2 1 k则 3 k得 53 xy故 2 可设一次函数为 由于bkxy 时 时 1 x3 y1 x7 y 2 5 7 3 k b bk bk 得得 52 xy 例 5 已知一次函数图像过点 2 3 和点 3 2 求函数解析式 画出函数图像 并求 1 图像与 x 轴 y 轴的交点坐标 2 图像与两坐标轴围成的三角形面积 解 解 设所求函数解析式为 因为图像过点 3 和点 3 则解得 所求函数解析式为 图像如图 用心 爱心 专心 1 时 解得 时 所以图像与 x 轴交点为 A 1 0 图像与 y 轴交点为 B 0 1 2 如图 例 6 已知一次函数 试讨论其图像经过哪些象限 2 mmxy 分析 分析 由的正负性 分情况画出草图 进而判断直线所经过的象限 2 mm 解 解 1 当时 可得 由图 1 知函数图像经过第一 二 四象限 1 2 当时 可得 由图 2 知 函数图像经过第一 二 三象限 2 3 当时 函数为 由图 3 知 函数图像经过一 三象限 用心 爱心 专心 3 4 当时 可得 由图 4 知 函数图像经过第一 三 四象限 4 例 7 已知一次函数满足下列条件 分别求出字母的取值范nxmy 4 32 nm 围 1 使得 y 随 x 的减小而增大 2 使得函数图像与 y 轴交点在 x 轴下方 3 使函数经过第二 三 四象限 解 解 1 y 随 x 的减小而增大 230m m 3 2 当时 随 的减小而增大myx 3 2 2 函数图像与 y 轴的交点在 x 轴下方 40 230 4 3 2 n m n m nm4 3 2 当 时 函数图像与 y 轴交点在 x 轴下方 2 3 m4 n 3 函数图像经过二 三 四象限 用心 爱心 专心 230 40 3 2 4 m n m n 当 时 函数图像经过二 三 四象限 2 3 m4 n O y x 例 8 如图 L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系 L2反映了该公司的销售 成本与销售量的关系 观察图像 回答下列问题 1 当销售量分别为 2 吨和 6 吨时 销售收入与销售成本分别为多少元 2 当销售量为多少吨时 销售收入等于销售成本 3 当销售量为多少吨时 该公司赢利 收入大于成本 当销售量为多少吨时 该 公司亏损 收入小于成本 4 写出 L1和 L2对应的函数表达式 y 元 L1 6000 5000 L2 4000 3000 2000 1000 1 2 3 4 5 6 x 吨 解 解 1 销售量为 2 吨时收入 2000 元 成本 3000 元 2 当销售量为 4 吨时 收入 成本 3 当 x 4 吨时 收入大于成本 当 xy2B y1 y2C y1 y2D 不能比较 三 解答题 1 已知一次函数的图像经过点和 求 和的值 在直角bkxy 0 1 2 0 kb 坐标系内画出的图像 kbxy 2 已知 y 2 与 x 成正比例 且当 x 1 时 y 6 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 若点 a 2 在这个函数图像上 求 a 3 已知函数 y 2m 1 x m 3 1 若函数图像经过原点 求 m 的值 2 若这个函数是一次函数 且 y 随着 x 的增大而减小 求 m 的取值范围 4 函数的图像上存在点 P 使得点 P 到 x 轴的距离等于 3 求点 P 的坐标 23 xy 5 已知一次函数 y kx b 的图像经过点 1 5 且与正比例函数 y x 的图像 2 1 相交于点 2 a 求 1 a 的值 2 k b 的值 3 这两个函数图像与 x 轴所围成 的三角形面积 6 已知一次函数 求 3 12 nxmy 1 当为何值时 的值随的增加而增加 myx 2 当为何值时 此一次函数也是正比例函数 n 3 若求函数图像与轴和轴的交点坐标 2 1 nmxy 4 若 写出函数关系式 画出图像 根据图像求取什