河南省2019年中考数学专题复习专题七类比探究题训练.doc

专题七类比探究题类型一 线段数量关系问题 (2018河南)(1)问题发现如图，在oab和ocd中，oaob，ocod，aobcod40，连接ac，bd交于点m.填空：的值为_；amb的度数为_；(2)类比探究如图，在oab和ocd中，aobcod90，oabocd30，连接ac交bd的延长线于点m.请判断的值及amb的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将ocd绕点o在平面内旋转，ac，bd所在直线交于点m，若od1，ob，请直接写出当点c与点m重合时ac的长【分析】 (1)证明coadob(sas)，得acbd，比值为1；由coadob，得caodbo，根据三角形的内角和定理，得amb180(dbooababd)18014040；(2)根据两边的比相等且夹角相等可得aocbod，则，由全等三角形的性质得amb的度数；(3)正确画出图形，当点c与点m重合时，有两种情况：如解图和，同理可得aocbod，则amb90，可得ac的长【自主解答】解：(1)问题发现1【解法提示】aobcod40，coadob.ocod，oaob，coadob(sas)，acbd，1.40【解法提示】coadob，caodbo.aob40，oababo140，在amb中，amb180(caooababd)180(dbooababd)18014040.(2)类比探究，amb90，理由如下：在rtocd中，dco30，doc90，tan 30，同理，得tan 30，aobcod90，aocbod，aocbod，caodbo.amb180caooabmba180(dabmbaobd)1809090.(3)拓展延伸点c与点m重合时，如解图，同理得aocbod，amb90，设bdx，则acx，在rtcod中，ocd30，od1，cd2，bcx2.在rtaob中，oab30，ob.ab2ob2，在rtamb中，由勾股定理，得ac2bc2ab2，即( x)2(x2)2(2)2，解得x13，x22(舍去)，ac3；点c与点m重合时，如解图，同理得：amb90，设bdx，则acx，在rtamb中，由勾股定理，得ac2bc2ab2，即(x)2(x2)2(2)2解得x13，解得x22(舍去)ac2.综上所述，ac的长为3或2.图图例1题解图1(2016河南)(1)发现如图，点a为线段bc外一动点，且bca，abb.填空：当点a位于_时，线段ac的长取得最大值，且最大值为_(用含a，b的式子表示)(2)应用点a为线段bc外一动点，且bc3，ab1，如图所示，分别以ab，ac为边，作等边三角形abd和等边三角形ace，连接cd，be.请找出图中与be相等的线段，并说明理由；直接写出线段be长的最大值(3)拓展如图，在平面直角坐标系中，点a的坐标为(2，0)，点b的坐标为(5，0)，点p为线段ab外一动点，且pa2，pmpb，bpm90，请直接写出线段am长的最大值及此时点p的坐标2(2015河南)如图，在rtabc中，b90，bc2ab8，点d，e分别是边bc，ac的中点，连接de.将edc绕点c按顺时针方向旋转，记旋转角为.(1)问题发现当0时，_；当180时，_；(2)拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明(3)解决问题当edc旋转至a，d，e三点共线时，直接写出线段bd的长3(2014河南)(1)问题发现如图，acb和dce均为等边三角形，点a，d，e在同一直线上，连接be.填空：aeb的度数为_；线段ad，be之间的数量关系为_(2)拓展探究如图，acb和dce均为等腰直角三角形，acbdce90，点a，d，e在同一直线上，cm为dce中de边上的高，连接be，请判断aeb的度数及线段cm，ae，be之间的数量关系，并说明理由(3)解决问题如图，在正方形abcd中，cd，若点p满足pd1，且bpd90，请直接写出点a到bp的距离4(2018南阳二模)在abc中，acb是锐角，点d在射线bc上运动，连接ad，将线段ad绕点a逆时针旋转90，得到ae，连接ec.(1)操作发现若abac，bac90，当d在线段bc上时(不与点b重合)，如图所示，请你直接写出线段ce和bd的位置关系和数量关系是_，_；(2)猜想论证在(1)的条件下，当d在线段bc的延长线上时，如图所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你的判断(3)拓展延伸如图，若abac，bac90，点d在线段bc上运动，试探究：当锐角acb等于_度时，线段ce和bd之间的位置关系仍成立(点c，e重合除外)？此时若作dfad交线段ce于点f，且当ac3时，请直接写出线段cf的长的最大值是_5已知，如图，abc，aed是两个全等的等腰直角三角形(其顶点b，e重合)，bacaed90，o为bc的中点，f为ad的中点，连接of.(1)问题发现如图，_；将aed绕点a逆时针旋转45，如图，_；(2)类比延伸将图中aed绕点a逆时针旋转到如图所示的位置，请计算出的值，并说明理由(3)拓展探究将图中aed绕点a逆时针旋转，旋转角为，090，ad，aed在旋转过程中，存在acd为直角三角形，请直接写出线段cd的长类型二 图形面积关系问题(2017河南)如图，在rtabc中，a90，abac，点d，e分别在边ab，ac上，adae，连接dc，点m，p，n分别为de，dc，bc的中点(1)观察猜想图中，线段pm与pn的数量关系是_，位置关系是_；(2)探究证明把ade绕点a逆时针方向旋转到图的位置，连接mn，bd，ce，判断pmn的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把ade绕a在平面内自由旋转，若ad4，ab10，请直接写出pmn面积的最大值图图例2题图【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出pmce，pnbd，进而判断出bdce，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出pmce，继而得出dpmdca，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出abdace，得出bdce，同(1)的方法得出pmbd，pnbd，即可得出pmpn，同(1)的方法即可得出结论；(3)先判断出mn最大时，pmn的面积最大，进而求出an，am，即可得出mn最大aman，最后用面积公式即可得出结论【自主解答】 解：(1)点p，n是bc，cd的中点，pnbd，pnbd.点p，m是cd，de的中点，pmce，pmce.abac，adae，bdce，pmpn.pnbd，dpnadc，pmce，dpmdca.bac90，adcacd90，mpndpmdpndcaadc90，pmpn，(2)由旋转知，badcae，abac，adae，abdace(sas)，abdace，bdce.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理，得pnbd，pmce，pmpn，pmn是等腰三角形，同(1)的方法得，pmce，dpmdce，同(1)的方法得，pnbd，pncdbc.dpndcbpncdcbdbc，mpndpmdpndcedcbdbcbcedbcacbacedbcacbabddbcacbabc.bac90，acbabc90，mpn90，pmn是等腰直角三角形，例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，pmn是等腰直角三角形，当mn最大时，pmn的面积最大，debc且de在顶点a上面，mn最大aman，连接am，an，在ade中，adae4，dae90，am2，在rtabc中，abac10，an5，mn最大257，spmn最大pm2mn2(7)2.1(2013河南)如图，将两个完全相同的三角形纸片abc和dec重合放置，其中c90，be30.(1)操作发现如图，固定abc，使dec绕点c旋转，当点d恰好落在ab边上时，填空：线段de与ac的位置关系是_；设bdc的面积为s1，aec的面积为s2，则s1与s2的数量关系是_(2)猜想论证当dec绕点c旋转到如图所示的位置时，小明猜想(1)中s1与s2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了bdc和aec中bc，ce边上的高，请你证明小明的猜想(3)拓展探究已知abc60，点d是角平分线上一点，bdcd4，deab交bc于点e(如图)若在射线ba上存在点f，使sdcfsbde，请直接写出相应的bf的长2已知rtabc中，bcac，c90，d为ab边的中点，edf90，将edf绕点d旋转，它的两边分别交ac，cb(或它们的延长线)于e，f.当edf绕点d旋转到deac于e时，如图所示，试证明sdefscefsabc.(1)当edf绕点d旋转到de和ac不垂直时，如图所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由(2)直接写出图中，sdef，scef与sabc之间的数量关系3(2018郑州模拟)如图所示，将两个正方形abcd和正方形cgfe如图所示放置，连接de，bg.(1)图中dcebcg_；设dce的面积为s1，bcg的面积为s2，则s1与s2的数量关系为_；猜想论证：(2)如图所示，将矩形abcd绕点c按顺时针方向旋转后得到矩形fecg，连接de，bg，设dce的面积为s1，bcg的面积为s2，猜想s1和s2的数量关系，并加以证明；(3)如图所示，在abc中，abac10 cm，b30，把abc沿ac翻折得到aec，过点a作ad平行ce交bc于点d，在线段ce上存在点p，使abp的面积等于acd的面积，请写出cp的长4(2018驻马店一模)如图，abc与cde都是等腰直角三角形，直角边ac，cd在同一条直线上，点m，n分别是斜边ab，de的中点，点p为ad的中点，连接ae，bd，pm，pn，mn.(1)观察猜想图中，pm与pn的数量关系是_，位置关系是_；(2)探究证明将图中的cde绕着点c顺时针旋转(090)，得到图，ae与mp，bd分别交于点g，h，判断pmn的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把cde绕点c任意旋转，若ac4，cd2，请直接写出pmn面积的最大值参考答案类型一针对训练1解：(1)点a为线段bc外一动点，且bca，abb，当点a位于cb的延长线上时，线段ac的长取得最大值，且最大值为bcabab.(2)cdbe，理由：abd与ace是等边三角形，adab，acae，badcae60，badbaccaebac，即cadeab.在cad和eab中，cadeab，cdbe.线段be长的最大值等于线段cd的最大值，由(1)知，当线段cd的长取得最大值时，点d在cb的延长线上，线段be长的最大值为bdbcabbc4；(3)将apm绕着点p顺时针旋转90得到pbn，连接an，如解图，则apn是等腰直角三角形，pnpa2，bnam.点a的坐标为(2，0)，点b的坐标为(5，0)，oa2，ob5，ab3，线段am长的最大值等于线段bn长的最大值，当点n在线段ba的延长线时，线段bn取得最大值，最大值为aban.anap2，线段am的长最大值为23.如解图，过点p作pex轴于点e.apn是等腰直角三角形，peae，oeboabae532，p(2，)图图第1题解图2解：(1)当0时，在rtabc中，b90，ac4.点d、e分别是边bc、ac的中点，ae422，bd824，.如解图，当180时，得可得abde，.(2)当0360时，的大小没有变化ecdacb，ecadcb.又，ecadcb，.图图图第2题解图(3)如解图，ac4，cd4，cdad，ad8.adbc，abdc，b90，四边形abcd是矩形，bdac4.如解图，连接bd，过点d作ac的垂线交ac于点q，过点b作ac的垂线交ac于点p，ac4，cd4，cdad，ad8，点d、e分别是边bc、ac的中点，deab(82)42，aeadde826，由(2)，可得，bd.综上所述，bd的长为4或.3解：(1)acb和dce均为等边三角形，cacb，cdce，acbdce60，acdbce.在acd和bce中，acdbce(sas)，adcbec.dce为等边三角形，cdeced60.点a，d，e在同一直线上，adc120，bec120，aebbecced60.acdbce，adbe.(2)aeb90，aebe2cm.理由如下：acb和dce均为等腰直角三角形，cacb，cdce，acbdce90.acdbce.在acd和bce中，acdbce(sas)，adbe，adcbec.dce为等腰直角三角形，cdeced45.点a，d，e在同一直线上，adc135，bec135，aebbecced90.cdce，cmde，dmme.dce90，dmmecm，aeaddebe2cm.(3)pd1，点p在以点d为圆心，1为半径的圆上bpd90，点p在以bd为直径的圆上，点p是这两圆的交点当点p在如解图所示位置时，连接pd，pb，pa，作ahbp，垂足为h，过点a作aeap，交bp于点e.四边形abcd是正方形，adb45，abaddcbc，bad90，bd2.dp1，bp.bpdbad90，点a、p、d、b在以bd为直径的圆上，apbadb45.pae是等腰直角三角形又bad是等腰直角三角形，点b，e，p共线，ahbp，由(2)中的结论可得：bp2ahpd，2ah1，ah；当点p在如解图所示位置时，连接pd、pb、pa、作ahbp，垂足为h，过点a作aeap，交pb的延长线于点e，同理可得：bp2ahpd，2ah1，ah.综上所述，点a到bp的距离为或.图图第3题解图4解：(1)abac，bac90，线段ad绕点a逆时针旋转90得到ae，adae，badcae，badcae，cebd，aceb，bcebcaace90，线段ce，bd之间的位置关系和数量关系为cebd，cebd；(2)(1)中的结论仍然成立证明如下：如解图，线段ad绕点a逆时针旋转90得到ae，aead，dae90.abac，bac90，caebad，aceabd，cebd，aceb，bce90，线段ce，bd之间的位置关系和数量关系为cebd，cebd；(3)45；.过a作ambc于m，过点e作enma交ma的延长线于n，如解图.线段ad绕点a逆时针旋转90得到ae，dae90，adae，naeadm，易证得rtamdrtena，neam.cebd，即cemc，mce90，四边形mcen为矩形，nemc，ammc，acb45.四边形mcen为矩形，rtamdrtdcf，设dcx，在rtamc中，acb45，ac3，amcm3，md3x，cfx2x(x)2，当x时，cf有最大值，最大值为.故答案为45，；图图第4题解图5解：(1)abc，aed是两个全等的等腰直角三角形，adbc.o为bc的中点，f为ad的中点，afoc.bacaed90，abac，aede，daecba45，adbc，四边形afoc是平行四边形，ofacec，；故答案：；aoac，baocao45，dae45，daecao.aeac，afao，afoaec，；故答案：.(2)ofec.理由：在等腰直角ade中，f为ad的中点，afadae.在等腰直角abc中，o为bc的中点，如解图，连接ao，aoac，baocao45.dae45，daecao，即daocae.aeac，afao，afoaec，；(3)abc和aed是两个全等的等腰直角三角形，adbc，edaeabac1，当acd为直角三角形时，分两种情况：图图图第5题解图当ad与ab重合时，如解图，连接cd.当acd为直角三角形时，adac，即将ade绕点a逆时针旋转45.ad，ac1，由勾股定理可得cd；当ae与ac重合时，如解图，当acd为直角三角形时，accd，即将ade绕点a逆时针旋转90，此时cdac1.综上所述，cd的长为或1.类型二针对训练1解：(1)dec绕点c旋转到点d恰好落在ab边上，accd.bac90b903060.acd是等边三角形，acd60，又cdebac60，acdcde，deac；b30，c90，cdacab，bdadac，根据等边三角形的性质，acd的边ac，ad上的高相等，bdc的面积和aec的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即s1s2；(2)dec是由abc绕点c旋转得到，bcce，accd，dceacb90，acnace180，acndcm.在acn和dcm中，acndcm(aas)，andm，bdc的面积和aec的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即s1s2；第1题解图(3)如解图，过点d作df1be交ba于点f1，易求得四边形bedf1是菱形，bedf1，且be，df1边上的高相等，此时sdcf1sbde；过点d作df2bd.abc60，f1dbe交ba于点f2，f2f1dabc60.bf1df1，f1bdabc30，f2db90，f1df2abc60df1f2是等边三角形，df1df2.bdcd，abc60，点d是角平分线上一点，dbcdcb6030，cdf1180bcd18030150，cdf236015060150，cdf1cdf2.在cdf1和cdf2中，cdf1cdf2(sas)，点f2也是所求的点abc60，点d是角平分线上一点，deab，dbcbdeabd6030.又bd4，be4cos 302，bf1，bf2bf1f1f2.故bf的长为或.2解：当edf绕d点旋转到deac时，四边形cedf是正方形；设abc的边长acbca，则正方形cedf的边长为a，sabca2，s正方形cedf(a)2a2，即sdefscefsabc；(1)上述结论成立；理由如下：连接cd，如解图所示acbc，acb90，d为ab中点，b45，dceacb45，cdab，cdabbd，dceb，cdb90edf90，12，在cde和bdf中，cdebdf(asa)，sdefscefsadesbdfsabc；图图第2题解图(2)sdefscefsabc；理由如下：连接cd，如解图所示，同(1)得：decdfb，dcedbf135，sdefs五边形dbfec，scfesdbc，scfesabc，sdefscfesabc.sdef、scef、sabc的关系是sdefscefsabc.3解：(1)如解图中，四边形abcd、efgc都是正方形，bcdecg90.bcgbcddceecg360，bcgecd180.图图图第3题解图如解图，过点e作emdc于点m，过点g作gnbn交bn的延长线于点n，emcn90.四边形abcd和四边形ecgf均为正方形，bcddcnecg90，cbcd，cecg，1902，3902，13.在cme和cng中，cmecng(asa)，emgn.又s1cdem，s2cbgn，s1s2；故答案为180，s1s2；(2)猜想：s1s2，证明：如解图，过点e作emdc于点m，过点b作bngc交gc的延长线于点n，emcn90.矩形cgfe由矩形abcd旋转得到的，cecb，cgcd，ecgecnbcd90，1902，3902，13.在cme和