勾股定理的逆定理（优质课）优秀教学设计

1 17 2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 教学设计教学设计 Yqzx Bmm 内容和教材分析内容和教材分析 内容内容 教材第 31 33 页 17 2 勾股定理的逆定理 教材分析教材分析 勾股定理的逆定理 一节 是在上节 勾股定理 之后 继续学习的一个 直角三角形的判断定理 它是前面只是的继续和深化 勾股定理的逆定理是初中几何学习中 的重要内容之一 是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一 在以后的解题中 将有十分广泛的应用 同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想 为 将来学习解析几何埋下了伏笔 所以本节也是本章的重要内容之一 教学目标教学目标 知识与技能 1 理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理 2 理解原命题 逆命题 逆定理的概念关系 3 掌握勾股定理的逆定理 并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三 角形 过程与方法 1 通过对勾股定理的逆定理的探索 经历知识的发生 发展与形成过程 2 通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状 体验数与形结合方法的应用 3 通过勾股定理的逆定理的证明 体会数与形结合方法在问题解决中的作用 并能运 用勾股定理的逆定理解决相关问题 情感 态度与价值观 1 通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状 体验数与形的内在联系 感受 定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系 2 在探究勾股定理的逆定理的活动中 通过一系列富有探究性的问题 渗透与他人交 流 合作的意识和探究精神 教学重难点及突破教学重难点及突破 重点重点 1 勾股定理的逆定理及运用 2 灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题 难点难点 1 勾股定理的逆定理的证明 2 说出一个命题的逆命题及辨别其真假性 教学突破教学突破 1 勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件 其形式和勾股定理的结论形 式一致 证明在此条件下的三角形是一个直角三角形 需要构造直角三角形才能完成 构造 直角三角形是解决问题的关键 可以从特例推向一般 设置两个动手操作问题 2 勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法 和前面学过的一些 判定方法不同 它通过计算来做判断 3 几何中有许多互逆的命题 互逆的定理 它们从正反两个方面 揭示了图形的特征性质 所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念 对互逆命题 互逆定理的概念 理解它们通 常困难不大 但对那些不是以 如果 那么 形式给出的命题 叙述它们的逆命题有 时就会有困难 可以尝试首先把命题变为 如果 那么 4 勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题 在解决实际问题时 常先画出图形 根 2 据已知条件计算出各边长 再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形 再回 答问题 教学设计教学设计 一 一 复习导入复习导入 师 上一节课我们学习了勾股定理 请同学们回忆一下 勾股定理的内容是什么 生 如果直角三角形的两条直角边为 a b 斜边为 c 那么三边满足的关系为 a2 b2 c2 师 勾股定理反映了直角三角形三边间的数量关系 即 直角边为 a b 斜边为 c 则三边满 足 a2 b2 c2 带领学生集体复习勾股定理 思考 勾股定理的题设 结论分别是什么 生 题设为直角三角形的两条直角边长分别为 a b 斜边为 c 结论为 a2 b2 c2 师 如果把勾股定理的题设 结论交换一下位置 即如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是否是直角三角形 本节课我们一起来研究这个问题 板书课题 17 2 勾股定理的逆定理 设计意图 设计意图 通过对前面所学知识的归纳总结 联想到用三边的关系是否可以判断一个三 角形为直角三角形 自然地引出勾股定理的逆定理 二 教学新知二 教学新知 1 发现勾股定理的逆定理发现勾股定理的逆定理 观察发现 观察发现 师生共同学习古埃及人画直角的方法 把一根长绳打上等距离的 13 个结 然后以 3 个结间距 4 个结间距 5 个结间距的长度为边长 用木桩钉成一个三角形 其 中一个角便是直角 师 相传 我国古人大禹治水也用类似的方法确定直角 下面我们来观察这个三角形 如 果把一个节间距看为一个单位长度 则三角形的边长分别是多少 生 3 4 5 师 三边满足什么样关系呢 生 32 42 52 师 也就是说 如果围成的三角形的三边分别为 3 4 5 满足关系 32 42 52 那么 围成的三角形是直角三角形 设计意图 设计意图 介绍前人经验 启发思考 使学生意识到数学来源于生活实际 激发兴趣 师 对于其它的数 如 2 5 6 6 5 6 8 10 它们也满足两个数的平方和等于第三个 数的平方即 2 52 62 6 52 62 82 102 那么以它们为边长的三角形是否为直角三角形呢 实验操作 实验操作 1 画一画 下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方 分别以这些数为边长 单位 cm 画出三角形 2 5 6 6 5 6 8 10 2 想一想 请判断这些三角形的形状 并提出猜想 教师指导学生按要求画三角形 判断形状 猜想命题 学生展示 画出的图形 展台展示 并说明做法 师 根据上面的验证 你会猜想到什么 生 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 学生回答 教师板书 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直 角三角形 师 这就是今天我们要学习的命题 2 设计意图 设计意图 通活动通过让学生按已知数据作出三角形 并测量三角形三个内角的度数来 进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件 让学生经历测量 计算 归纳和猜 想的过程 了解几何知识的探索过程 3 2 介绍逆命题的概念介绍逆命题的概念 师 命题 2 和之前我们学过的命题 1 有什么联系呢 生 这两个命题的题设和结论正好相反 师 像这样的两个命题我们叫做互逆命题 教师出示互逆命题的概念 并介绍原命题和逆命题 师 你能举出有关互逆命题的例子吗 学生举手回答 教师及时点评 并让学生思考 在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆 命题都成立吗 设计意图 设计意图 让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念 在生生互动的过程中掌握 互逆命题的真假性是各自独立的 3 证明勾股定理的逆定理证明勾股定理的逆定理 师 对于刚才的猜想 命题 2 你能给出证明吗 它的题设和结论是什么 生 题设是三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 结论是这个三角形是直角三角形 根据题设 结论师生共同写出已知 求证 已知 如图 ABC 的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 求证 ABC 是直角三角形 师 要证明 ABC 是直角三角形 我们需要知道 B 是直角 那如何证明 B 是直角 呢 直接在 ABC 中证明 可以吗 上面我们证明了以 2 5 6 6 5 为边长的三角形是直 角三角形 这个问题和前面的的问题有相似的地方吗 小组讨论得出证明思路 证明猜想的正确性小组讨论得出证明思路 证明猜想的正确性 教师适时点拨 总结证明步骤教师适时点拨 总结证明步骤 师 通过刚才的证明 我们可以得出前面的猜想是正确的 正确的命题我们成为真命题 通过证明的真命题我们称为定理 我们把它称为勾股定理的逆定理 板书 勾股定理的逆定理 师 要判定一个三角形是直角三角形 只需要知道三边是否满足 两边的平方和是否等 于第三边 即较小的两边的平方和是否等于较长边的平方 设计意图 设计意图 引导学生构造直角三角形 让学生体会这种证明思路的合理性 帮助学生突 破难点 4 定理的应用定理的应用 例例 1 判断由线段 a b c 组成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 17 c 8 2 a 13 b 15 c 14 师生共同分析 1 学生判断由线段 a b c 组成的三角形是不是直角三角形 教师板 书做题过程 学生独立完成 2 设计意图 设计意图 这是利用勾股定理的逆定理进行判断练习 通过练习把陈述性的定理转换为 认知操作 学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形 练习练习 1 如果三条线段长 a b c 满足 a2 c2 b2 这三条线段组成的三角形是不是直角三 角形 为什么 A B C 4 2 判断由线段 a b c 组成的三角形是不是直角三角形 为什么 1 a 7 b 24 c 25 2 a b 4 c 5 41 3 a b 1 c 4 5 4 3 4 a 40 b 50 c 60 3 说出下列命题的逆命题 并判断它们的逆命题的真假 1 两条直线平行 内错角相等 2 对顶角相等 3 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 设计意图 设计意图 让学生在规范的解答过程及练习中 提升对勾股定理逆定理的认识 认识到 原命题正确时 逆命题可以成立也可以不成立 三 巩固应用三 巩固应用 能力提升能力提升 1 在 ABC 中 a 16 b 20 c 12 求此三角形的面积 2 如图 在四边形 ABCD 中 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 B 90 求 四边形 ABCD 的面积 A BC D 设计意图设计意图 通过规范化的解答过程及练习 提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用 的能力 同时让学生养成 已知三边求角 利用勾股定理的逆定理 的意识 四 总结提升四 总结提升 引导学生参照以下问题回顾本节课所学主要内容 并进行相互交流 1 勾股定理的逆定理的内容是什么 它有什么作用 2 本节课学了原命题 逆命题等知识 你能说出它们之间的关系吗 3 在证明勾股定理的逆定理的过程中 我们学到了什么 4 在应用勾股定理的逆定理时 我们应注意什么问题 常见的勾股数组你记熟了 吗 1620 B C A 12 5 五 作业布置五 作业布置 必做 科书第 33 页练习第 1 2 题 选做 同步 34 页 能力提升 六 知识拓展六 知识拓展 在 ABC 中 三边分别为 a b c 1 如果 a2 b2 c2 那么 ABC 是 2 如果 a2 b2 c2 那么 ABC 是 3 如果 a2 b2 c2 那么 ABC 是 设计意图 设计意图 针对班级中成都比较好的同学 以及学习过程中同学们出现的疑问 结合着 本节学习的内容 对知识进行了拓展 其目的是让学生在对比中加深对勾股定理逆