山东省济宁市鱼台一中2012-2013学年高二数学2月月考试题 理（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年山东省济宁市鱼台一中高二 下 学年山东省济宁市鱼台一中高二 下 2 2 月月考数学试卷月月考数学试卷 理科 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合要求的 有一项是符合要求的 1 5 分 在直角坐标系 xOy 中 在 y 轴上截距为 1 且倾斜角为的直线方程为 A x y 1 0B x y 1 0C x y 1 0D x y 1 0 考点 直线的斜截式方程 专题 计算题 直线与圆 分析 由直线的倾斜角可求直线的斜率 根据直线方程的斜截式可求直线方程 解答 解 由题意可得 直线的斜率 k 1 根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为 y x 1 即 x y 1 0 故选 A 点评 本题主要考查了直线方程的斜截式的简单应用 属于基础试题 2 5 分 已知向量 1 2 1 3 x y 且 那么实数 x y 等于 A 3B 3C 9D 9 考点 共线向量与共面向量 专题 计算题 空间向量及应用 分析 由 1 2 1 3 x y 且 知 由此能求出实数 x y 的值 解答 解 1 2 1 3 x y 且 解得 x 6 y 3 实数 x y 6 3 9 2 故选 D 点评 本题考查共线向量的性质和应用 解题时要认真审题 注意合理地进行等价转化 是基础题 3 5 分 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上 若此正方体的棱长为 2 那么 这个球的表面积是 A 24 B 12 C 8 D 6 考点 球的体积和表面积 专题 计算题 分析 一个棱长为 2 的正方体的八个顶点都在球 O 的球面上 球是正方体的外接球 球的 直径是正方体的体对角线 勾股定理可得体的对角线 得到球的直径 求出球的表 面积 解答 解 一个棱长为 2 的正方体的八个顶点都在球 O 的球面上 球是正方体的外接球 球的直径是正方体的体对角线 有勾股定理可得体的对角线是 2 球的半径是 球的表面积是 4 2 12 故选 B 点评 本题考查球的内接多面体 是一个空间组合体的问题 解题的关键是找出两个几何 体之间的关系 数量的关系 4 5 分 若椭圆的离心率为 则实数 m 等于 A 3B 1 或 3 C 3 或 D 1 或 考点 椭圆的简单性质 专题 计算题 分析 对 m 分 0 m 4 与 m 4 两类讨论 利用椭圆的简单性质即可求得 m 的值 解答 解 椭圆的方程为 1 m 0 若 0 m 4 则椭圆的焦点在 x 轴 e2 解得 m 3 3 若 m 4 则椭圆的焦点在 y 轴 e2 解得 m 综上所述 m 3 或 m 故选 C 点评 本题考查椭圆的简单性质 考查转化思想与分类讨论思想 考查运算能力 属于中 档题 5 5 分 已知直线 a 和两个平面 给出下列两个命题 命题 p 若 a a 则 命题 q 若 a a 则 那么下列判断正确的是 A p 为假 B q 为假 C p q 为真 D p q 为真 考点 复合命题的真假 平面与平面之间的位置关系 专题 空间位置关系与距离 分析 根据面面垂直的判定定理判断命题 P 是否为真命题 利用平行与同一直线的两平面的位置关系来判断命题 q 的真假 再根据复合命题的真值表判断即可 解答 解 a 过 a 作平面 b a b a b 命题 P 为真命题 a a 与 的位置关系是平行或相交 命题 q 为假命题 根据复合命题的真值表 A B C 错误 D 正确 故选 D 点评 本题借助考查真假命题的判定 考查空间平面与平面的平行与垂直 6 5 分 双曲线的离心率为 则 a 的值是 A B 2C D 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 分析 由双曲线的离心率为 知 由此能求出 4 a 解答 解 双曲线的离心率为 解得 a 故选 D 点评 本题考查双曲线的简单性质的应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 7 5 分 已知数列 an 满足 an n 2n 则其前 n 项和是 A n 1 2n 1 2 B n 1 2n 1 2 C n 1 2n 2 D n 1 2n 2 考点 数列的求和 专题 计算题 分析 设其前 n 项和为 Sn Sn 1 21 2 22 n 2n 可以用特值法排除 也可以利用错位相 减法即可求得 Sn 解答 解 an n 2n 设其前 n 项和为 Sn 当 n 1 时 a1 S1 2 可排除 A C 当 n 2 时 a2 2 22 8 S2 a1 a2 10 排除 D 故选 B 点评 本题考查数列的求和 考查特值法的应用 也可利用错位相减法 属于中档题 8 5 分 直线 y x 1 被椭圆 x2 2y2 4 所截得的弦的中点坐标是 A B C D 考点 直线与圆锥曲线的关系 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 将直线 y x 1 代入椭圆 x2 2y2 4 中 利用韦达定理及中点坐标公式 即可求得结 论 解答 解 将直线 y x 1 代入椭圆 x2 2y2 4 中 得 x2 2 x 1 2 4 3x2 4x 2 0 弦的中点横坐标是 x 代入直线方程中 得 y 5 弦的中点是 故选 B 点评 本题考查直线与椭圆的位置关系 考查韦达定理的运用 属于基础题 9 5 分 以正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点 O 如图 建立空间直角坐标系 则与共线的向量的坐标可以是 A B C D 考点 向量在几何中的应用 棱柱的结构特征 专题 计算题 分析 设正方体的棱长为 1 由图形可知 B1点在正方体的上底面上 B1点的纵标同 C 的 纵标相同 B1在面 A1B1C1D1上 得到点的竖标为 1 根据 B1点在棱上的位置 写出 B1点的横标 从而得到的 B1坐标 最后写出向量的坐标及与共线的向量的 坐标即可 解答 解 由图形可知 B1点在正方体的上底面上 设正方体的棱长为 1 B1点的坐标是 1 1 1 则与共线的向量的坐标可以是 故选 C 点评 本题考查共线向量 空间中点的坐标 是一个基础题 解题时借助于点在正方体的 一条棱上 写出横标 纵标和竖标 注意各个坐标的符号 10 5 分 2012 开封二模 数列 an 满足 a1 a2 a1 a3 a2 an an 1是首项为 1 公比为 2 的等比数列 那么 an A 2n 1B 2n 1 1C 2n 1D 4n 1 考点 等差数列的通项公式 分析 an是等比数列 an an 1 的前 n 项和 利用等比数列的前 n 项公式可得 an 6 解答 解 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 1 故选 A 点评 本题关键在于观察出所给等比数列 与 an有什么关系 观察出来 此题迎刃而解 11 5 分 已知变量 x y 满足 则 2x y的最大值为 A B 8C 16D 64 考点 简单线性规划 专题 计算题 分析 先根据约束条件画出可行域 欲求 z 2x y的最大值 即要求 z1 x y 的最大值 再利 用几何意义求最值 分析可得 z1 x y 表示直线在 y 轴上的截距 只需求出可行域直 线在 y 轴上的截距最大值即可 解答 解 作图 易知可行域为一个三角形 验证知在点 A 1 2 时 z1 x y 取得最大值 3 z 最大是 23 8 故选 B 点评 本题主要考查了简单的线性规划 以及利用几何意义求最值 属于基础题 目标函 数有唯一最优解是我们最常见的问题 这类问题一般要分三步 画出可行域 求出 关键点 定出最优解 7 12 5 分 2009 浙江 过双曲线 1 a 0 b 0 的右顶点 A 作斜率为 1 的 直线 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B C 若 则双曲线的离心率 是 A B C D 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 双曲线的简单性质 专题 计算题 压轴题 分析 分别表示出直线 l 和两个渐进线的交点 进而表示出和 进而根据 求 得 a 和 b 的关系 进而根据 c2 a2 b2 求得 a 和 c 的关系 则离心率可得 解答 解 直线 l y x a 与渐近线 l1 bx ay 0 交于 B l 与渐近线 l2 bx ay 0 交于 C A a 0 b 2a c2 a2 4a2 e2 5 e 故选 C 点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题 要求学生有较高地转化数学思想的运 用能力 能将已知条件转化到基本知识的运用 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 把正确答案填在题中横线上 分 把正确答案填在题中横线上 13 5 分 设 则为 考点 微积分基本定理 专题 计算题 8 分析 运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可 解答 解 cosx x 故答案为 点评 本题主要考查了定积分 运用微积分基本定理计算定积分 属于基础题 14 5 分 已知 A 4 1 3 B 2 3 1 C 3 7 5 点 P x 1 3 在平面 ABC 内 则 x 11 考点 空间点 线 面的位置 专题 计算题 分析 本题利用共面定理可以解答 即若空间中四点 P A B C 满足 则此四点共面 于是本题可以代入点的坐标 列方程组求解 解答 解 由共面向量定理 可设 其中 x y R 于是代入点的坐标有 x 4 2 0 y 2 2 2 z 1 6 8 得方程组 9 得 故答案为 11 点评 本题考查了空间向量的坐标运算 共面向量定理的应用 空间向量的坐标运算等知 识内容 考查了向量相等的性质 15 5 分 直线 y kx 2 与抛物线 y2 8x 交于 A B 两点 且 AB 中点的横坐标为 2 则 k 的值为 2 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 中点坐标公式 专题 计算题 分析 直线 y kx 2 与抛物线 y2 8x 交于两点 k 0 由 得 k2x2 4kx 8x 4 0 而 A B 中点的横坐标为 2 由中点坐标公式 能求出 k 解答 解 直线 y kx 2 与抛物线 y2 8x 交于两点 k 0 由 得 k2x2 4kx 8x 4 0 而 A B 中点的横坐标为 2 解得 k 1 或 k 2 而当 k 1 时 方程 k2x2 4kx 8x 4 0 只有一个解 即 A B 两点重合 k 1 k 2 故答案为 2 点评 本题考直线和抛物线的位置关系的应用 解题时要注意韦达定理和中点坐标公式的 合理运用 16 5 分 双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别是 F1 F2 过 F1作倾斜角 30 的直线交双曲线右支于 M 点 若 MF2垂直于 x 轴 则双曲线的离心率 e 考点 双曲线的简单性质 10 专题 计算题 分析 将 x c 代入双曲线方程求出点 M 的坐标 通过解直角三角形列出三参数 a b c 的 关系 求出离心率的值 解答 解 将 x c 代入双曲线的方程得 y 即 M c 在 MF1F2中 tan30 即 解得 故答案为 点评 本题考查双曲线中三参数的关系 c2 a2 b2 注意与椭圆中三参数关系的区别 求圆 锥曲线的离心率就是求三参数的关系 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤 步骤 17 10 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 I 求边 a 的长 II 求的值 考 点 解三角形 三角函数的恒等变换及化简求值 专 题 计算题 分 析 I 在三角形中 应用正弦定理写出关系式 根据 sin B C 2sinB 及 B C A 得 sinA 2sinB 表示出 a 得到结果 II 根据余弦定理做出角 B 的余弦值 是一个正数 得到这个角是一个锐角 根据 两个角之间的关系求出正弦值 再把要求的式子用两角之和的余弦公式展开 得到结 果 解 答 解 I 在 ABC 中 由正弦定理得 由 sin B C 2sinB 及 B C A 得 sinA 2sinB II 在 ABC 中 由余弦定理得 11 点 评 本题考查解三角形的问题和三角函数的恒等变形 是一个基础题 解题的关键是正弦 定理和余弦定理的综合应用 注意角的范围的分析 18 12 分 已知命题 p 关于 x 的不等式 x2 a 1 x 1 0 的解集为空集 命题 q 函数 f x ax2 ax 1 没有零点 若命题 p q 为假命题 p q 为真命题 求实数 a 的取 值范围 考点 复合命题的真假 专题 计算题 分析 对于命题 p x2 a 1 x 1 0 的解集为空集 b2 4ac a 1 2 4 0 解 得 1 a 3 对于命题 q f x ax2 ax 1 没有零点等价于方程 ax2 ax 1 0 没有 实数根 由此进行分类讨论 能求出 a 的取值范围 解答 解 对于命题 p x2 a 1 x 1 0 的解集为空集 b2 4ac a 1 2 4 0 解得 1 a 3 4 分 对于命题 q f x ax2 ax 1 没有零点等价于方程 ax2 ax 1 0 没有实数根 当 a 0 时 方程无实根符合题意 当 a 0 时 a2 4a 0 解得 0 a 4 0 a 4 8 分 由命题 p q 为假命题 p q 为真命题可知 命题 p 与命题 q 有且只有一个为真 如图所示 所以 a 的取值范围为 1 0 3 4 12 分 点评 本题考查复合命题真假判断的应用 解题时要注意不等式知识的灵活运用 合理地 进行数形结合思想进行解题 12 19 12 分 抛物线顶点在原点 它的准线过双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点 并与双曲线实轴垂直 已知抛物线与双曲线的一个交点为 求抛物线与双曲线 方程 考点 抛物线的标准方程 双曲线的标准方程 专题 计算题 分析 首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点 可得 p 2c 再利用抛物线与双曲线同过交 点 求出 c p 的值 进而结合双曲线的性质 a2 b2 c2 求解即可 解答 解 由题设知 抛物线以双曲线的右焦点为焦点 准线过双曲线的左焦点 p 2c 设抛物线方程为 y2 4c x 抛物线过点 6 4c c 1 故抛物线方程为 y2 4x 又双曲线 1 过点 1 又 a2 b2 c2 1 1 a2 或 a2 9 舍 b2 故双曲线方程为 4x2 1 点评 本题考查了抛物线和双曲线方程的求法 待定系数法 熟练掌握圆锥曲线的性质是 解题的关键 同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧 20 12 分 2012 吉安二模 某食品厂进行蘑菇的深加工 每公斤蘑菇的成本 20 元 并 且每公斤蘑菇的加工费为 t 元 t 为常数 且 2 t 5 设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价 为 x 元 25 x 40 根据市场调查 销售量 q 与 ex成反比 当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时 日销售量为 100 公斤 求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式 若 t 5 当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时 该工厂的利润 y 最大 并求最大 值 考点 函数模型的选择与应用 13 专题 应用题 分析 I 由条件 日销售量与 ex e 为自然对数的底数 成反比例 可设日销量为 根据日利润 y 每件的利润 件数 建立函数关系式 注意实际问题自变量的范 围 II 先对函数进行求导 求出极值点 讨论极值是否在 25 x 40 范围内 利用 单调性求出函数的最值 解答 解 设日销量 k 100e30 日销量 当 t 5 时 由 y 0 得 x 26 由 y 0 得 x 26 y 在 25 26 上单调递增 在 26 40 上单 调递减 当 x 26 时 ymax 100e4 当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时 该工厂的利润最大 最大值为 100e4元 点评 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数 把 问题情境 译为数学语言 找出问题的主要关系 并把问题的主要关系抽象成数学问题 在数学领域寻找适当 的方法解决 再返回到实际问题中加以说明 21 12 分 四棱锥 P ABCD 中 PA 面 ABCD 底面 ABCD 为菱形 且有 AB 1 BAD 120 E 为 PC 中点 证明 AC 面 BED 求二面角 E AB C 的平面角的余弦值 考点 用空间向量求平面间的夹角 直线与平面垂直的判定 专题 计算题 证明题 分析 I 因为菱形的对角线互相垂直 所以 AC BD 再由 PAC 的中位线 得到 14 EO PA 结合 PA 面 ABCD 所以 EO 面 ABCD 从而 AC EO 最后根据直线与平面 垂直的判定定理 得到 AC 面 BED II 以 A 为原点 AD AP 所在直线分别为 y 轴 z 轴 建立如图所示坐标系 则 可得到 A B C E 各点的坐标 从而得到向量 的坐标 然后利用垂直 向量数量积为零的方法 分别求出平面 ABE 和平面 ABC 的一个法向量 结合空间向 量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值 最后根据题意 二面角 E AB C 是锐二 面角 得到二面角 E AB C 平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值 解答 解 设 O 为底面 ABCD 的中心 连接 EO 底面 ABCD 为菱形 AC BD PAC 中 E O 分别是 PC PA 的中点 EO PA 又 PA 面 ABCD EO 面 ABCD AC 面 ABCD AC EO 又 BD EO 是平面 BED 内的两条相交直线 AC 面 BED 6 分 以 A 为原点 AD AP 所在直线分别为 y 轴 z 轴 建立如图所示坐标系 则 可得 8