剑桥模型推导

比容的定义 1 1 tsv ss vvv ve vv 2 ln正常固结线 方程 NCLvNp 3 ln临界状态线 方程 CSLvp 4 lnSLswellvvp 回弹线 line方程 注意 在 lnp v 平面上 回弹线 SL 尽管穿过了 CSL 线 但并不意味等压卸载过程中应力 点曾达到 CSL 线上 因为此坐标系中 CSL 为空间 CSL 曲线的投影 而 SL 始终在 lnp v 平 面上 并不能达到空间的 CSL 线上的应力状态 0 q p v NCL CSL CSL CSL Roscoe 力 力 力 力 力 力Hvorslev 图 1 土的物态全界面 CSL 0 q p 力Roscoe Hvorslev力 力 力 力 力 pe e p 归一化后土的物态全界面 R 在上图 2 34 中 AR 为卸载回弹线 其方程如式 4 过其作的竖直曲面 此曲面位于 物态全界面 Roscoe 面 Hvorslev 面及无拉力墙构成 以下的阴影部分 即为一弹性墙 此 弹性墙交物态边界面 Roscoe 面于 AF 在 AR 线上荷载变化时 无塑性体积变化 亦即在弹 性墙上 塑性体应变保持为常数 如果选择塑性体应变为硬化参数 那么等塑性体应变 p v 面就是屈服面 等塑性体应变线 AF 就是屈服轨迹 AF 在 p q 平面上的投影 A F 为屈服面 在 p q 平面上的屈服轨迹 在图 2 35 中回弹曲线与比容轴截距代表其塑性比容 在同一 0 p v 弹性墙上 或同一屈服线上 弹性墙的塑性比容 也就是说其塑性体应变 0 const pp vv 为常数 p v 剑桥模型基于传统塑性位势理论 采用单屈服面和相关联流动法则 屈服面形式 方程 A F 不是基于试验而提出的 上面已根据物理意义在几何上表示出屈服面 A F 但还无法用数 学表达式表示 剑桥模型是依据能量理论得出的其屈服面方程 实质上是一种假设 依据能量方程 外力 荷载 做功一部分转化为变形体的弹性变形能 可储存在变dW e dW 形体内 外力或荷载卸除时 可完全释放出来 另一部分转化为耗散能 或称塑性变形能 外力或荷载卸除时 不能再释放出来 因而有 p dW 5 ep dWdWdW 两种变形能可表示如下 6 eee vs dWp dq d 7 ppp vs dWp dq d 关于弹塑性变形能 Roscoe 作了如下的假设 1 假定一切剪切应变都是不可恢复的 亦即无弹性剪应变 只有不可恢复的塑性剪应变 总 剪应变等于塑性剪应变 8 0 e s d 9 p ss dd 2 假定弹性体应变可从各向等压固结试验中所得的回弹曲线求取 即由式 4 可得 10 e dp dv p 11 11 e e v dvdp d ee p 12 1 ee v dWp ddp e 故 13 1 pe vvvv dp dddd e p 3 假定全部耗散能 塑性变形能 等于由摩擦产生的能量耗散 即 14 ppp ss dWp dMp d 式中 为内摩擦系数 其值等于 p q 平面上临界状态线 CSL 的斜率 M 三轴压缩 15 6 3 sin sin M 或 三轴伸长 16 6 3 sin sin M 所以 17 1 epp s dWdWdWdpMp d e 而单位体积的土在 p q 应力作用下如产生应变和 变形能为 v d s d 18 vs dWp dq d 则由式 17 和式 18 可得能量方程 19 1 p vss p dq ddpMp d e 于是 1 p vs dp pdMpq d e p 将式 13 代入上式 则 pp vs p dMpq d 或 20 p v p s dq MM dp 式 20 实际表示了流动法则 即表示了塑性应变增量在 p q 平面上的方向 与这一方向正交 的轨迹就是在这个平面上土的屈服轨迹 相适应的流动法则 如图 2 34 所示 设此屈服轨迹的 方程为 21 0 fp q H 则 22 0 fff dfdpdqdH pqH 因为在同一屈服面上硬化参数为常数 所以 则0dH 23 0 ff dfdpdq pq 根据相适应流动法则 24 p v f dd p 25 p s f dd q 将以上两式代入式 23 则得 26 0 pp vs dp ddq d 将式 20 代入上式 则得 27 0 dqq M dpp 将此微分方程变换可得到 2 0 Mq dpMp dqdp Mpp 积分得到 28 ln q pC Mp 式中 C 为积分常数 利用 p 轴上起始各向等压固结试验点 A 对应 代入上式 0 pp 0q 则得 将之代入式 28 则得得到湿粘土 正常固结和轻超固结土 的屈服轨迹 0 lnC p 方程为 29 0 0ln pq fM pp 其在 p q 平面上的形状如图 2 34 和图 2 35 a 所示 像一个 帽子 是子弹头形 以为硬化 0 p 参数 由于 NCL 上每一个都对应于一个 或 所以实际上这一模型是以塑性体应变 0 p 0 p v p v 为硬化参数 p v 对于重超固结土 可得到类似的屈服面 只是对应的不同 0 p 空间无拉力墙的方程为 30 3qp 0 3 exp Mhv p h Hvoslev 面的方程为 31 exp v qhpMh 式中 h 为 Hvoslev 线的斜率 空间 Roscoe 面的方程为 32 ln Mp qNvp 由湿粘土对应 的不排水试验路径在 p q 平面上的投影或归一化的 Roscoe 面 0 pp 0 vv 由式 2 得 33 00 lnvvNp 将式 33 代入式 32 则得对应不排试验路径在 p q 平面上的方程为 34 0 0ln pqM pp 也为指弹头形 但显然此不排水路径与屈服轨迹并不重合 不排水路径在屈服轨迹以外 剑桥模型增量型应力剑桥模型增量型应力 应变本构关系应变本构关系 将式 32 微分 可得 35 dvdqdpdp Mpp 因由式 11 知 1 v dve d 所以 36 1 11 v dpM ddqdpdpdq eMppe Mp 又因 37 q p dq ddp pp 于是 38 1 1 v dp dd eMp 将式 38 代入能量方程 19 可得 39 1 s dq ddp e MpM 于是剑桥模型的弹塑性矩阵可表示为 40 1 11 1 v s M ddp de Mpdq M 修正剑桥模型 1965 年 英国剑桥大学的 Burland 采用了一种新的能量方程形式 得到了修正剑桥模型 他建议以下式代替式 14 41 2222 ppppp vsvs dWp dp dp dMp d 即假定总的塑性变形能等于塑性体变能和由摩擦耗散能的算术平方根 以之代替式 19 右边第 二项 则 22 pppp vvss p dp dMp dq d 即 2 2 pp vv pp ss ddq M ddp 2 2 pp vv pp ss dd M dd 故可得 42 22 2 p v p s dM d 此即修正剑桥模型的流动法则 将其代入式 26 得到 22 0 2 dqM dp 在 p q 平面上的屈服轨迹方程为 43a 2 22 c pM pM 或 43b 2 22 c pM pM 或 43c 2 2 0 2 0 q pp p M 或 43b 22 0 00 2 1 22 ppq pMp 即为椭圆方程 其顶点在线上 以为硬化参数 即qMp 0 p v p 000 pp vv H pppH 因为 0 0 1 exp p v e p 其增量型应力 应变关系为 22 12 1 v ddp d eMp 2222 22 1 s ddp d eMMp A 于是修正剑桥模型的弹塑性矩阵可表示为 22 22 22 1 2 2 1 2 1 v s M ddp ddq eMp M 然而 有限元等数值计算中 常按如下一般弹塑性矩阵式 T ee e e ep ep Q DD D Q