2011届高三数学一轮巩固与练习：圆锥曲线方程

巩固巩固 1 直线 l x 2y 2 0 过椭圆左焦点 F1和一个顶点 B 则该 椭圆的离心率为 A B 1 5 2 5 C D 5 5 2 5 5 解析 选 D 在 l x 2y 2 0 上 令 y 0 得 F1 2 0 令 x 0 得 B 0 1 即 c 2 b 1 a e 5 c a 2 5 5 2 已知椭圆 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 M 是椭圆 x2 16 y2 12 上一点 N 是 MF1的中点 若 ON 1 则 MF1的长等于 A 2 B 4 C 6 D 5 解析 选 C 由椭圆方程知 a 4 MF1 MF2 8 MF1 8 MF2 8 2 ON 8 2 6 3 2009 年高考江西卷 过椭圆 1 a b 0 的左焦点 F1 x2 a2 y2 b2 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P F2为右焦点 若 F1PF2 60 则椭 圆的离心率为 A B 2 2 3 3 C D 1 2 1 3 解析 选 B 由题意知点 P 的坐标为 c 或 c b2 a b2 a F1PF2 60 即 2ac b2 a2 c2 2c b2 a333 e2 2e 0 e 或 e 舍去 33 3 33 4 椭圆 5x2 ky2 5 的一个焦点是 0 2 那么 k 解析 方程可化为 x2 1 y2 5 k 焦点 0 2 在 y 轴上 a2 b2 1 5 k 又 c2 a2 b2 4 a2 5 解得 k 1 答案 1 5 已知 F1 F2为椭圆 1 的两个焦点 过 F1的直线交 x2 25 y2 9 椭圆于 A B 两点 若 F2A F2B 12 则 AB 解析 由椭圆的定义得Error 两式相加得 AB AF2 BF2 20 即 AB 12 20 AB 8 答案 8 6 中心在原点 一个焦点为 F1 0 的椭圆截直线 50 y 3x 2 所得的弦的中点的横坐标为 求椭圆的方程 1 2 解 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 由 F1 0 y2 a2 x2 b250 得 a2 b2 50 把直线方程 y 3x 2 代入椭圆方程整理得 a2 9b2 x2 12b2x b2 4 a2 0 设弦的两个端点为 A x1 y1 B x2 y2 则 由根与系数的关系得 x1 x2 又 AB 的中点的横坐标为 12b2 a2 9b2 1 2 a2 3b2 与方程 a2 b2 50 联立可解出 x1 x2 2 6b2 a2 9b2 1 2 a2 75 b2 25 故椭圆的方程为 1 y2 75 x2 25 练习 1 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 它的长轴长等于圆 1 2 C x2 y2 2x 15 0 的半径 则椭圆的标准方程是 A 1 B 1 x2 4 y2 3 x2 16 y2 12 C y2 1 D 1 x2 4 x2 16 y2 4 解析 选 A x2 y2 2x 15 0 x 1 2 y2 16 r 4 2a a 2 e c 1 b2 3 1 2 2 已知椭圆的焦点是 F1 F2 P 是椭圆上的一个动点 如果延 长 F1P 到 Q 使得 PQ PF2 那么动点 Q 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 解析 选 A PF1 PF2 2a PQ PF2 PF1 PF2 PF1 PQ 2a 即 F1Q 2a 动点 Q 到定点 F1的距离等于定长 2a 故动点 Q 的轨迹是圆 3 设 F1 F2为椭圆 y2 1 的左 右焦点 过椭圆中心任作 x2 4 一直线与椭圆交于 P Q 两点 当四边形 PF1QF2面积最大时 PF1 的值等于 PF2 A 0 B 2 C 4 D 2 解析 选 D 易知当 P Q 分别在椭圆短轴端点时 四边形 PF1QF2面积最大 这时 F1 0 F2 0 P 0 1 33 1 1 PF1 3 PF2 3 2 PF1 PF2 4 2009 年高考浙江卷 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点 x2 a2 y2 b2 为 F 右顶点为 A 点 B 在椭圆上 且 BF x 轴 直线 AB 交 y 轴于 点 P 若 2 则椭圆的离心率是 AP PB A B 3 2 2 2 C D 1 3 1 2 解析 选 D 如图 由于 BF x 轴 故 xB c yB 设 P 0 t b2 a 2 AP PB a t 2 c t b2 a a 2c e c a 1 2 5 2010 年长沙模拟 已知 F1 F2分别 为椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦 x2 a2 y2 b2 点 过 F1且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A B 两点 若 ABF2为 钝角三角形 则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为 A 0 1 B 0 1 23 C 1 1 D 1 1 23 解析 选 A 由 ABF2为钝角三角形 得 AF1 F1F2 2c 化简得 c2 2ac a2 0 e2 2e 1 0 b2 a 又 0 e 1 解得 0 e 1 选 A 2 6 B1 B2是椭圆短轴的两端点 O 为椭圆中心 过左焦点 F1作 长轴的垂线交椭圆于 P 若 F1B2 是 OF1 和 B1B2 的等比中项 则 的值是 PF1 OB2 A B 2 2 2 C D 3 2 2 3 解析 选 B 设椭圆方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 令 x c 得 y2 PF1 b4 a2 b2 a PF1 OB2 b2 a b b a 又由 F1B2 2 OF1 B1B2 得 a2 2bc a4 4b2 a2 b2 a2 2b2 2 0 a2 2b2 b a 2 2 7 F1 F2是椭圆 1 的左 右两焦点 P 为椭圆的一个 x2 a2 y2 9 顶点 若 PF1F2是等边三角形 则 a2 解析 由题意 因为 PF1F2是等边三角形 故 2c a 又 b 3 所以 a2 12 答案 12 8 已知正方形 ABCD 则以 A B 为焦点 且过 C D 两点的 椭圆的离心率为 解析 设正方形边长为 1 则 AB 2c 1 c 1 2 AC BC 1 2a 2 a 2 1 2 e 1 c a 1 2 2 1 22 答案 1 2 9 2009 年高考北京卷 椭圆 1 的焦点为 F1 F2 点 P x2 9 y2 2 在椭圆上 若 PF1 4 则 PF2 F1PF2的大小为 解析 PF1 PF2 2a 6 PF2 6 PF1 2 在 F1PF2中 cos F1PF2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 F1PF2 120 16 4 28 2 4 2 1 2 答案 2 120 10 已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上 且 P 到两焦点的 距离分别为 5 3 过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点 求椭圆的方程 解 法一 设所求的椭圆方程为 1 a b 0 或 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 由已知条件得Error a 4 c 2 b2 12 故所求方程为 1 或 1 x2 16 y2 12 y2 16 x2 12 法二 设所求椭圆方程为 1 a b 0 或 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 两个焦点分别为 F1 F2 由题意知 2a PF1 PF2 8 a 4 在方程 1 中 令 x c 得 y x2 a2 y2 b2 b2 a 在方程 1 中 令 y c 得 x y2 a2 x2 b2 b2 a 依题意有 3 b2 12 b2 a 椭圆的方程为 1 或 1 x2 16 y2 12 y2 16 x2 12 11 已知点 P 3 4 是椭圆 1 a b 0 上的一点 F1 F2是 x2 a2 y2 b2 椭圆的两焦点 若 PF1 PF2 试求 1 椭圆方程 2 PF1F2的面积 解 1 法一 令 F1 c 0 F2 c 0 PF1 PF2 kPF1 kPF2 1 即 1 解得 c 5 4 3 c 4 3 c 椭圆方程为 1 x2 a2 y2 a2 25 点 P 3 4 在椭圆上 1 9 a2 16 a2 25 解得 a2 45 或 a2 5 又 a c a2 5 舍去 故所求椭圆方程为 1 x2 45 y2 20 法二 PF1 PF2 PF1F2为直角三角形 OP F1F2 c 1 2 又 OP 5 c 5 32 42 椭圆方程为 1 以下同法一 x2 a2 y2 a2 25 2 法一 P 点纵坐标的值即为 F1F2边上的高 S PF1F2 F1F2 4 10 4 20 1 2 1 2 法二 由椭圆定义知 PF1 PF2 6 5 又 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 得 2 PF1 PF2 80 S PF1F2 PF1 PF2 20 1 2 12 设 A x1 y1 B x2 y2 是椭圆 1 a b 0 上的两点 y2 a2 x2 b2 m n 且满足 m n 0 椭圆的离心率 e x1 b y1 a x2 b y2 a 3 2 短轴长为 2 O 为坐标原点 1 求椭圆的方程 2 若存在斜率为 k 的直线 AB 过椭圆的焦点 F 0 c c 为半焦距 求直线 AB 的斜率 k 的值 解 1 2b 2 b 1 e a 2 c c a a2 b2 a 3 23