割圆术及极限方法

第三讲 割圆术及极限方法 实验目的实验目的 1 介绍刘徽的割圆术 2 理解极限概念 3 学习 matlab 求函数极限命令 实验的基本理论及方法实验的基本理论及方法 1 割圆术 中国古代数学家刘徽在 九章算术注 方田章圆田术中创造了割圆术计算 圆周率 刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积 其次 当将边数屡 次加倍时 正多边形的面积增大 边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积 割之弥细 所失弥少 割之又割以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 这几句话明确地表明了刘徽的极限思想 刘徽先将直径为 2 的圆分割为 6 等分 再分割成 12 等分 24 等分 这 样继续下去 并利用勾股定理计算其面积 从而求出圆周率的近似值 他一直 计算到圆内接正 192 边形的面积 2 斐波那奇数列和黄金分割 3 学习 matlab 命令 matlab 求极限命令可列表如下 表 2 1 数学运算matlab 命令 limit f limit f x a 或 limit f a limit f x a left limit f x a right matlab 代数方程求解命令 solve 调用格式 Solve 函数 给出的根 4 理解极限概念 数列收敛或有极限是指当 无限增大时 与某常数无限接近或趋 向于某一定值 就图形而言 也就是其点列以某一平行与 轴的直线为渐近线 例 2 1 观察数列当时的变化趋势 解 输入命令 n 1 100 xn n n 1 得到该数列的前 100 项 从这前 100 项看出 随 的增大 与 1 非常接近 画出的图形 stem n xn 或 for i 1 100 plot n i xn i r hold on end 其中 for end 语句是循环语句 循环体内的语句被执行 100 次 n i 表示 n 的 第 i 个分量 由图可看出 随 的增大 点列与直线无限接近 因此可得结 论 对函数的极限概念 也可用上述方法理解 例 2 2 分析函数 当时的变化趋势 解 画出函数在上的图形 x 1 0 01 1 y x sin 1 x plot x y 从图上看 随着的减小 振幅越来越小趋近于 0 频率越来越高作无 限次振荡 作出的图象 hold on plot x x x x 例 2 3 分析函数当时的变化趋势 解 输入命令 x 1 0 01 1 y sin 1 x plot x y 从图上看 当时 在 1 和 1 之间无限次振荡 极限不存在 仔细观察 该图象 发现图象的某些峰值不是 和 而我们知道正弦曲线的峰值是 和 这是由于自变量的数据点选取未必使取到 和 的缘故 读者可试 增加数据点 比较它们的结果 例 2 4 考察函数当时的变化趋势 解 输入命令 x linspace 2 pi 2 pi 100 y sin x x plot x y 从图上看 在附近连续变化 其值与 1 无限接近 可见 例 2 5 考察当时的变化趋势 解 输入命令 x 1 20 1000 y 1 1 x x plot x y 从图上看 当时 函数值与某常数无限接近 我们知道 这个常数就是 5 求函数极限 例 2 6 求 解 输入命令 syms x f 1 x 1 3 x 3 1 limit f x 1 得结果 ans 1 画出函数图形 ezplot f hold on plot 1 1 r 例 2 7 求 解 输入命令 limit tan x sin x x 3 得结果 ans 1 2 例 2 8 求 解 输入命令 limit x 1 x 1 x inf 得结果 ans exp 2 例 2 9 求 解 输入命令 limit x x