(经典)高中数学最全数列总结及题型精选

1 高中数学 数列及最全总结和题型精选高中数学 数列及最全总结和题型精选 一 数列的概念一 数列的概念 1 数列定义 按一定次序排列的一列数叫做数列 数列中的每个数都叫这个数列的项 记作 在数列第一个位置的项叫第 1 项 或首项 在第二个位置 n a 的叫第 2 项 序号为 的项叫第项 也叫通项 记作 nn n a 数列的一般形式 简记作 1 a 2 a 3 a n a n a 2 通项公式的定义 如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示 那么这个公式就叫 n a 这个数列的通项公式 例如 1 2 3 4 5 5 1 4 1 3 1 2 1 1 说明 表示数列 表示数列中的第项 表示数列的通项公式 n a n an n a f n 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 例如 n a 1 n 1 21 1 2 nk kZ nk 不是每个数列都有通项公式 例如 1 1 4 1 41 1 414 3 数列的函数特征与图象表示 从函数观点看 数列实质上是定义域为正整数集 或它的有限子集 的函数当自变量从 1 开N f nn 始依次取值时对应的一系列函数值 通常用来代替 其图象是一群一群 1 2 3 fff f n n a f n 孤立点孤立点 4 数列分类 按数列项数是有限还是无限分 有穷数列和无穷数列 按数列项与项之间的大小关系 分 递增数列 递减数列 常数列和摆动数列 例 下列的数列 哪些是递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 1 1 2 3 4 5 6 2 10 9 8 7 6 5 3 1 0 1 0 1 0 4 a a a a a 5 数列 的前项和与通项的关系 n an n S n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 二 等差数列二 等差数列 一一 等差数列定义 一般地 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个2 数列就叫等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母表示 用递推公式表示为d 或 1 2 nn aad n 1 1 nn aad n 例 等差数列 12 nan 1nn aa 二二 等差数列的通项公式 1 1 n aand 说明 等差数列 通常可称为数列 的单调性 为递增数列 为常数列 为递减数列 A Pd0 0d 0d 例例 1 已知等差数列中 等于 n a 12497 116aaaa 则 A 15 B 30 C 31 D 64 2 是首项 公差的等差数列 如果 则序号等于 n a 1 1a 3d 2005 n a n A 667 B 668 C 669 D 670 3 等差数列 则为 为 填 递增数列 或12 12 nbna nnn a n b 递减数列 三三 等差中项的概念 2 定义 如果定义 如果 成等差数列 那么成等差数列 那么叫做叫做与与的等差中项 其中的等差中项 其中 aAbAab 2 ab A 成等差数列 即 aAb 2 ab A 21 2 nnn aaa mnmnn aaa 2 例 1 06 全国 I 设是公差为正数的等差数列 若 则 n a 123 15aaa 123 80a a a 111213 aaa A B C D 1201059075 四四 等差数列的性质 1 在等差数列中 从第 2 项起 每一项是它相邻二项的等差中项 n a 2 在等差数列中 相隔等距离的项组成的数列是等差数列 n a 3 在等差数列中 对任意 n amnN nm aanm d nm aa d nm mn 4 在等差数列中 若 且 则 n amnpqN mnpq mnpq aaaa 五五 等差数列的前和的求和公式 n 1 1 1 22 n n n aan n Snad n d a 2 n 2 1 1 2 是等差数列 2 为常数BABnAnSn n a 递推公式 2 2 1 1 naa naa S mnm n n 例 1 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 2 2009 湖南卷文 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等于 A 13 B 35 C 49 D 63 3 2009 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 4 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有项的和为 390 则这个数列有 A 13 项B 12 项C 11 项D 10 项 5 已知等差数列的前项和为 若 n an n S 1185212 21aaaaS 则 6 2009 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 53 5aa 则 9 5 S S 7 已知数列是等差数列 其前 10 项的和 则其公差等于 n a10 10 a70 10 Sd C D 3 1 3 2 BA 3 1 3 2 8 2009 陕西卷文 设等差数列 n a 的前 n 项和为 n s 若 63 12as 则 n a 9 00 全国 设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S7 7 S15 75 Tn为数列 n Sn 3 的前n项和 求Tn 六六 对于一个等差数列 1 若项数为偶数 设共有项 则 偶奇 2nS Snd 1 n n Sa Sa 奇 偶 2 若项数为奇数 设共有项 则 奇偶 21n S S n aa 中 1 Sn Sn 奇 偶 1 一个等差数列共 2011 项 求它的奇数项和与偶数项和之比 2 一个等差数列前 20 项和为 75 其中奇数项和与偶数项和之比 1 2 求公差 d 3 一个等差数列共有 10 项 其偶数项之和是 15 奇数项之和是 则它的首项与公差分别是 2 25 七七 对与一个等差数列 仍成等差数列 nnnnn SSSSS 232 例 1 等差数列 an 的前m项和为 30 前 2m项和为 100 则它的前 3m项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 2 一个等差数列前项的和为 48 前 2项的和为 60 则前 3项的和为 nnn 3 已知等差数列的前 10 项和为 100 前 100 项和为 10 则前 110 项和为 n a 4 设为等差数列的前项和 n S n an 97104 3014SSSS 则 5 06 全国 II 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 3 6 S S 1 3 6 12 S S A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 八八 判断或证明一个数列是等差数列的方法 定义法 是等差数列 常数 Nndaa nn 1 n a 中项法 是等差数列 2 21 Nnaaa nnn n a 通项公式法 是等差数列 为常数bkbknan n a 前项和公式法 n 是等差数列 2 为常数BABnAnSn n a 例 例 1 已知数列满足 则数列为 n a2 1 nn aa n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 2 已知数列的通项为 则数列为 n a52 nan n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 3 已知一个数列的前 n 项和 则数列为 n a42 2 nsn n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 4 已知一个数列的前 n 项和 则数列为 n a 2 2nsn n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 5 已知一个数列满足 则数列为 n a02 12 nnn aaa n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 4 6 数列满足 8 n a 1 a022 124 nnn aaaa 且 Nn 求数列的通项公式 n a 7 01 天津理 2 设Sn是数列 an 的前n项和 且Sn n2 则 an 是 A 等比数列 但不是等差数列 B 等差数列 但不是等比数列 C 等差数列 而且也是等比数列 D 既非等比数列又非等差数列 九九 数列最值 1 时 有最大值 时 有最小值 1 0a 0d n S 1 0a 0d n S 2 最值的求法 若已知 n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn 的最值 n S n S 可用二次函数最值的求法 或者求出 n a中的正 负分界项 即 nN 若已知 则最值时的值 可如下确定或 n a n SnnN 1 0 0 n n a a 1 0 0 n n a a 例 1 等差数列中 则前 项的和最大 n a 1291 0SSa 2 设等差数列的前项和为 已知 n an n S 0012 13123 SSa 求出公差的范围 d 指出中哪一个值最大 并说明理由 1221 SSS 3 02 上海 设 an n N N 是等差数列 Sn是其前n项的和 且S5 S6 S6 S7 S8 则下列结论错误的 是 A d 0 B a7 0 C S9 S5 D S6与S7均为Sn的最大值 4 已知数列的通项 则数列的前 30 项中最大项和最小项分别是 n a 99 98 n n Nn n a 5 已知是等差数列 其中 公差 n a 1 31a 8d 1 数列从哪一项开始小于 0 n a 2 求数列前项和的最大值 并求出对应的值 n ann 十十 利用求通项 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 1 数列的前项和 1 试写出数列的前 5 项 2 数列是等差数列吗 3 你能写出数 n an 2 1 n Sn n a 5 列的通项公式吗 n a 2 设数列的前 n 项和为 Sn 2n2 求数列的通项公式 n a n a 3 2010 安徽文 设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 4 2005 北京卷 数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 n 1 2 3 求a2 a3 a4的值及数 1 1 3 nn aS 列 an 的通项公式 三 等比数列三 等比数列 等比数列定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数 列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母表示 即 q 0 q 1n a 0 n aq q 一一 递推关系与通项公式 递推关系与通项公式 mn mn n n nn qaa qaa aa 推广 通项公式 递推关系 1 1 1 q 1 在等比数列中 则 n a2 4 1 qa n a 2 在等比数列中 则 n a 3 7 12 2aq 19 a 3 07 重庆文 在等比数列 an 中 a2 8 a1 64 则公比 q 为 A 2 B 3 C 4 D 8 4 在等比数列中 则 n a2 2 a54 5 a 8 a 5 在各项都为正数的等比数列中 首项 前三项和为 21 则 n a 1 3a 345 aaa A 33 B 72 C 84 D 189 二二 等比中项 若三个数 等比中项 若三个数成等比数列 则称成等比数列 则称为为的等比中项 且为的等比中项 且为是成是成cba bca与acbacb 2 注 等比数列的必要而不充分条件等比数列的必要而不充分条件 例 例 1 和的等比中项为 23 23 1A 1B 1C 2D 2 2009 重庆卷文 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项 和 n S 6 A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 三三 等比数列的基本性质 等比数列的基本性质 1 1 1 qpnm aaaaqpnm 则若 Nqpnm其中 2 2 Nnaaa a a q mnmnn m nmn 3 为等比数列 则下标成等差数列的对应项成等比数列 n a 4 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列 n a n a 例 1 在等比数列中 和是方程的两个根 则 n a 1 a 10 a 2 2510 xx 47 aa 5 2 A 2 2 B 1 2 C 1 2 D 2 在等比数列 已知 则 n a5 1 a100 109 aa 18 a 3 等比数列的各项为正数 且 n a 56473132310 18 loglogloga aa aaaa 则 A 12 B 10 C 8 D 2 3 log 5 4 2009 广东卷理 已知等比数列 n a 满足 0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当 1n 时 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 四四 等比数列的前 等比数列的前 n n 项和 项和 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 例 1 已知等比数列的首相 公比 则其前 n 项和 n a5 1 a2 q n S 2 2006 年北京卷 设 则等于 4710310 22222 n f nnN f n A B C D 2 81 7 n 1 2 81 7 n 3 2 81 7 n 4 2 81 7 n 3 1996 全国文 21 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S3 S6 2S9 求数列的公比q 五五 等比数列的前等比数列的前 n n 项和的性质项和的性质 若数列是等比数列 是其前 n 项的和 那么 成等比数列 n a n S Nk k S kk SS 2kk SS 23 例 1 2009 辽宁卷理 设等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 若 6 3 S S 3 则 6 9 S S 7 A 2 B 7 3 C 8 3 D 3 2 一个等比数列前项的和为 48 前 2项的和为 60 则前 3项的和为 nnn A 83 B 108 C 75 D 63 3 已知数列是等比数列 且 n a mmm SSS 32 3010 则 六六 等比数列的判定法 1 定义法 为等比数列 常数 q a a n n 1 n a 2 中项法 为等比数列 0 2 2 1nnnn aaaa n a 3 通项公式法 为等比数列 为常数 qkqka n n n a 4 前项和法 为等比数列 n 为常数 qkqkS n n 1 n a 为等比数列 为常数 qkkqkS n n n a 例 1 已知数列的通项为 则数列为 n a n n a2 n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 2 已知数列满足 则数列为 n a 0 2 2 1 nnnn aaaa n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 3 已知一个数列的前 n 项和 则数列为 n a 1n 22 n s n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 四 求数列通项公式方法四 求数列通项公式方法 1 1 公式法 定义法 根据等差数列 等比数列的定义求通项公式法 定义法 根据等差数列 等比数列的定义求通项 例 1 已知等差数列满足 求 n a26 7 753 aaa n a 2 等比数列的各项均为正数 且 求数列的通项公式 n a132 21 aa 62 2 3 9aaa n a 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 1221 42 nnn aaaaa且 Nn n a 4 已知数列满足且 求数列的通项公式 n a 2 1 a 1 1 52 5 nn nn aa Nn n a 5 数列已知数列满足则数列的通项公式 n a 11 1 41 1 2 nn aaan n a 8 2 2 累加法累加法 1 1 累加法 累加法 适用于 适用于 1 nn aaf n 若 则 1 nn aaf n 2 n 21 32 1 1 2 nn aaf aaf aaf n 两边分别相加得 11 1 n n k aaf n 例 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 14 1 2 1 2 11 n aaa nn n a 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 3 3 累乘法 累乘法 适用于 适用于 1 nn af n a 若 则 1 n n a f n a 312 12 1 2 n n aaa fff n aaa 两边分别相乘得 1 1 1 1 n n k a af k a 例 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 2 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 3 已知 求 3 1 a nn a n n a 23 13 1 1 n n a 4 4 待定系数法待定系数法 9 适用于适用于 1 nn aqaf n 例 例 1 1 已知数列中 求数列的通项公式 n a 11 1 21 2 nn aaan n a 2 2006 重庆 文 14 在数列中 若 则该数列的通项 n a 11 1 23 1 nn aaan n a 3 已知数列满足求数列的通项公式 n a 11 1 21 nn aaanN n a 5 5 递推公式中既有 递推公式中既有 n S 分析 把已知关系通过转化为数列或的递推关系 然后采用相应的方法求解 1 1 1 2 n nn S n a SSn n a n S 1 2005 北京卷 数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 n 1 2 3 求a2 a3 a4的值及 1 1 3 nn aS 数列 an 的通项公式 2 2005 山东卷 已知数列的首项前项和为 且 证明数列 n a 1 5 a n n S 1 5 nn SSnnN 是等比数列 1 n a