反比例函数讲义

教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 1 反比例函数反比例函数 1 反比例函数的定义 一般地 如果两个变量一般地 如果两个变量 之间的关系可以表示成之间的关系可以表示成为常数 为常数 的形式 那么的形式 那么xy x k y k 0 k 称称是是的反比例函数 的反比例函数 yx 反比例函数的自变量反比例函数的自变量不能为零 不能为零 x 小注 1 也可以写成或的形式 x k y 1 kxykxy 2 若是反比例函数 则 均不为零 x k y xyk 3 通常表示以原点及点为对角线顶点的矩形的面积 kxy 0 k yx 例 1 下列函数中是反比例关系的有 填序号 3 x y 1 3 1 x y x y 2 2 2 1 1xy x y 2 3 为常数 2 1 xy 2 8 x y 1 xy2 x y x k y k 0 k 2 反比例函数定义的应用 重点 确定解析式的方法仍是 由于在反比例函数中 只有一个待定系数 因此只 x k y 需要一对对应值 即可求出的值 从而确定其解析式 k 例 2 由欧姆定律可知 电压不变时 电流强度 I 与电阻 R 成反比例 已知电压不变 电阻 R 12 5 欧姆 电流强度 I 0 2 安培 1 求 I 与 R 的函数关系式 2 当 R 5 欧姆时 求电流强度 本节作业 1 小明家离学校 1 5km 小明步行上学需min 那么小明的步行速度可以表示为xmin my 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 2 水名地面上重 1500N 的物体 与地面的接触面积为 那么该物体对地面的压强 x y 1500 x 2 m 可以表示为 函数表达式还可以表示许多不同情境中变量之间的函 2 mNy x y 1500 x y 1500 数关系 请你再列举一例 2 某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为 0 8的矩形模具 假设模具的长与宽分别为 2 m 与 yx 1 你能写出与之间的函数表达式吗 变量与之间是什么函数 yxyx 2 若想使模具的长比宽多 1 6m 已知每米这种不锈钢条 6 元钱 求加工这个模具共花多少钱 3 若函数满足 则与的函数关系式为 你认为是的02 3 xy yxyx 函数 4 已知 与成正比例 与成反比例 并且当 2 时 4 当 1y 21 yy 1 yx 2 yxxyx 时 5 求出与的函数关系式 yyx 5 已知是的函数 且其对应数据如下表所示 你认为是的正比例函数还是反比例函数 yxyx 你能写出函数的表达式 并填上表格中的空缺吗 x 3 2134 y 2 3 3 2 3 4 3 6 2008 安徽 函数的图象经过点 A 1 2 则的值为 x k y k 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 3 A B C 2 D 2 2 1 2 1 7 若函数是反比例函数 则的值为 13 2 1 mm xmym A 2 B 1mm C 2 或 1 D 2 或 1mmmm 8 若甲 乙两城市间的路程为 1000 千米 车速为每小时千米 从甲市到乙市所需的时间为小xy 时 那么与的函数表达式是 不必写出的取值范围 是的yxxyx 函数 9 已知是的反比例函数 当 5 时 1 那么 当 3 时 当 3 时 yxxyyxx y 第第 2 2 节节 反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质 1 反比例函数的图象及其画法 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法 描点法 1 列表 自变量取值应以 0 但为中心 向两边取三对 或三对以上 互为相反数 0 x 的数 再求出对应的的值 y 2 描点 先描出一侧 另一侧可根据中心对称点的性质去找 3 连线 按照从左到右的顺序连接各点并延伸 注意双曲线的两个分支是断开的 延伸部 分有逐渐靠近坐标轴的趋势 但永远不与坐标轴相交 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 4 反比例函数反比例函数的图象是由两支曲线组成的 当的图象是由两支曲线组成的 当时 两支曲线分别位于第一 三象限时 两支曲线分别位于第一 三象限 x k y 0 k 内 当内 当时 两支曲线分别位于第二 四象限内 时 两支曲线分别位于第二 四象限内 0 k 小注 1 这两支曲线通常称为双曲线 2 这两支曲线关于原点对称 3 反比例函数的图象与轴 轴没有公共点 xy 例 1 画出反比例函数与的图象 x y 6 x y 6 解 1 列表 2 描点 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 5 3 连线 2 反比例函数的性质 反比例函数的性质 反比例函数 x k y 0 k k 的符号k 0k 0 图象 双曲线 x y 取值范围 x 的取值范围 x 0 y 的取值范围 y 0 x 的取值范围 x 0 y 的取值范围 y 0 位置第一 三象限内第二 四象限内 增减性每一象限内 y 随 x 的增大而减小每一象限内 y 随 x 的增大而增大 渐近性反比例函数的图象无限接近于 x y 轴 但永远达不到 x y 轴 画图象时 要体现出这个特点 对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形 反比例函数的图象也是轴对称图形 例 2 已知 是反比例函数 则函数的图象在 2 1 m ymx A 一 三象限 B 二 四象限 C 一 四象限 D 三 四象限 例 3 函数与 k 0 在同一坐标系内的图象可能是 2ykx k y x 例 4 已知反比例函数的图象经过点 P 一 l 2 则这个函数的图象位于 x k y A 第二 三象限 B 第一 三象限 C 第三 四象限 D 第二 四象限 3 反比例函数 反比例函数中的比例系数中的比例系数的几何意义 难点 的几何意义 难点 x k y 0 k k 的几何含义 的几何含义 反比例函数 y k 0 中比例系数 k 的几何意义 即过双曲线 y k 0 k k x k x 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 6 上任意一点 P 作 x 轴 y 轴垂线 设垂足分别为 A B 则所得矩形 OAPB 的面积为 例 5 A B 是函数的图象上关于原点对称的任意两点 BC 轴 AC 轴 ABC 的面 2 y x xy 积记为 则 S A B C D 2S 4S 24S 4S O B x y C A 图 1 例例 6 6 如图在反比例函数的图象上 轴于点 的面积为 3 A 0 k yk x AMx MAMO 则 k 4 反比例函数与正比例函数图象的交点 反比例函数与正比例函数图象的交点 凡是交点问题就联立方程凡是交点问题就联立方程 例 7 如图 一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点 ykxb m y x 21 1 ABn 1 试确定上述反比例函数和一次函数的表达式 2 求的面积 AOB 本节练习本节练习 一 选择题 每小题6分 共36分 O y x B A 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 7 o y x ox y x y o y ox 1 已知 是反比例函数 则函数的图象在 2 1 m ymx A 一 三象限 B 二 四象限 C 一 四象限 D 三 四象限 2 若反比例函数的图象经过点 则这个函数的图象一定经过点 k y x 12 21 1 2 2 21 1 2 2 3 反比例函数的图象经过点 2 3 则的值是 5n y x n A 2 B 1 C 0 D 1 4 反比例函数的图象在每个象限内 随的增大而减小 则 的值可为 1k y x yxk A B 0 C 1 D 21 5 如果两点 1 和 2 都在反比例函数的图象上 那么 1 P 1 y 2 P 2 y 1 y x A 0 B 0 C 0 D 0 2 y 1 y 1 y 2 y 2 y 1 y 1 y 2 y 6 函数的图象如图所示 那么函数的图象大致是 0 k yk x ykxk A A B B C C D D 二 填空题 每小题 6 分 共 24 分 7 如果反比例函数 的图象经过点 1 2 则这个函数的表达式是 当时 k y x 0k 0 x 随的增大而 填 增大 或 减小 yx 8 如图 7 双曲线与直线相交于A B两点 B点坐标为 x k y mxy 2 3 则A点坐标为 9 如图 8 点 A 在反比例函数的图象上 AB 垂直于 x 轴 若 那么这个反比例函 x k y 4 AOB S 数的解析式为 图 8 10 老师给出一个函数 甲 乙各指出了这个函数的一个性质 O x y 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 8 甲 第一 三象限有它的图象 乙 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 请你写一个满足上述性质的函数 三 解答题每小题 共 40 分 11 20 分 如图 一次函数的图象与反比例函数图象交于 A 2 1 bkxy x m y B 1 n 两点 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图象写出使一次函数的值大 于反比例函数的值的 x 的取值范围 12 20 分 如图 已知反比例函数的图象经过点 一次函数 1 0 m ym x 21 A 的图象经过点与点 且与反比例函数的图象相交于另一点 1 分 2 0 ykxb k 0 3 C AB 别求出反比例函数与一次函数的解析式 2 求点的坐标 B 第三节第三节 反比例函数的应用反比例函数的应用 例题 1 面积一定的梯形 其上底长是下底长的 设下底长 x 10 cm 时 高 y 6 cm 2 1 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 求当 y 5 cm 时 下底长多少 16 一定质量的二氧化碳 当它的体积 V 6 m3时 它的密度 1 65 kg m3 1 求 与 V 的函数关系式 2 当气体体积是 1 m3时 密度是多少 3 当密度为 1 98 kg m3时 气体的体积是多少 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 9 例题 2 如图 Rt AOB 的顶点 A 是一次函数 y x m 3 的图象与反比例函数 y 的图象在第二 x m 象限的交点 且 S AOB 1 求点 A 的坐标 例题 3 某厂要制造能装 250mL 1mL 1 cm3 饮料的铝制圆柱形易拉罐 易拉罐的侧壁厚度和底部 厚度都是 0 02 cm 顶部厚度是底部厚度的 3 倍 这是为了防止 砰 的一声打开易拉罐时把整个 顶盖撕下来 设一个底面半径是 x cm 的易拉罐用铝量是 y cm3 用铝量 底面积 底部厚度 顶部面积 顶部厚度 侧面积 侧壁厚度 求 y 与 x 间的函数关系式 综合检测题综合检测题 一 填空题 一 填空题 1 与 成反比 且当 6 时 这个函数解析式为 utu 8 1 t 2 函数和函数的图像有 个交点 2 x y x y 2 3 反比例函数的图像经过 5 点 3 及 10 点 x k y 2 3 ab 则 kab 4 若函数是正比例函数 那么 图象经过 象限 414 mxmy m 5 若反比列函数的图像经过二 四象限 则 123 2 12 kk xkyk 6 已知 2 与成反比例 当 3 时 1 则与间的函数关系式为 yxxyyx 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 10 7 已知正比例函数与反比例函数的图象都过 A 1 则 正比例kxy 3 y x mm 函数与反比例函数的解析式分别是 8 设有反比例函数 为其图象上的两点 若时 y k x 1 x y 11 xy 22 xx 12 0 则的取值范围是 yy 12 k 9 右图 3 是反比例函数的图象 则k与 0 的大小关系是k 0 x k y 10 函数的图像 在每一个象限内 随的增大而 x y 2 yx 11 反比例函数在第一象限内的图象如图 点 M 是图像上一点 0 k x k y MP 垂直轴于点 P 如果 MOP 的面积为 1 那么的值是 xk 12 是关于的反比例函数 且图象在 72 2 5 mm xmyyx 第二 四象限 则的值为 m 二 二 选择题 选择题 分数 分数 3 3 分分 14 42 14 42 分 并把答案填在第分 并把答案填在第 1212 题后的方框内 题后的方框内 1 下列函数中 反比例函数是 A B C D 1 1 yx 1 1 x y 2 1 x y x y 3 1 2 已知反比例函数的图像经过点 则它的图像一定也经过 ab A B C D 0 0 ababab 3 如果反比例函数的图像经过点 3 4 那么函数的图像应在 x k y A 第一 三象限 B 第一 二象限 C 第二 四象限 D 第三 四象限 4 若与 3成反比例 与成正比例 则是的 yxx z 4 yz A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 不能确定 5 若反比例函数的图像在第二 四象限 则的值是 2 2 12 m xmym A 1 或 1 B 小于 的任意实数 C 1 不能确定 2 1 6 函数的图象经过点 4 6 则下列各点中不在图象上的是 x k y x k y A 3 8 B 3 8 C 8 3 D 4 6 y xO P M 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 11 7 正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为 kxy x k y ABCD 8 如上右图 A 为反比例函数图象上一点 AB 垂直轴于 B 点 若 S AOB 3 则的值为 x k y xk A 6 B 3C D 不能确定 2 3 9 如果矩形的面积为 6cm2 那么它的长cm 与宽cm 之间的函数关系用图象表示大致 yx A B C D 10 在同一直角坐标平面内 如果直线与双曲线没有交点 那么和的关系一xky 1 x k y 2 1 k 2 k 定是 A 0B 0 0 2 3 x k y 于点 N 作 MP AN 交双曲线 x 0 于点 M 连结 AM 已知 PN 4 x k y 1 求 k 的值 2 求 APM 的面积 23 如图 12 已知直线与双曲线交于两点 且点 的横坐标 1 2 yx 0 k yk x AB A 教育是一项良心工程 地址 长沙广益校区 古曲南路 188 号 广益中学正对面 联系方式 17 为 1 求的值 4k 2 若双曲线上一点的纵坐标为 8 求的面积 0 k yk x CAOC 3 过原点的另一条直线 交双曲线于两点 点在第一象限 若由点Ol 0 k yk x PQ P 为顶点组成的四边形面积为 求点的坐标 ABPQ 24P 图 12 O x A y B 24 如图 在函数的图像上 111 P x y 222 P xy P nnn xy 4 0yx x 11 POA 都是等腰直角三角形 斜边 212 P A A 323 P A A 1 P AA nnn 1 OA 12 A A 23 A A 都在轴上 1 AA nn x 求的坐标 1 P 求的值 12310 yyyy y x P1 P2 P3 A3A2A1O 如图 25 如图正方形 OABC 的面积为 4 点 O 为坐标原点 点 B 在函数 的图象上 k y x 0 0 kx 点 P m n 是函数的图象上异于 B 的任意一点 过点 P 分别作 x 轴 y 轴