向量公式汇总

向量公式汇总向量公式汇总 平面向量平面向量 1 向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则 AB BC AC a b x x y y a 0 0 a a 向量加法的运算律 交换律 a b b a 结合律 a b c a b c 2 向量的减法 如果 a b 是互为相反的向量 那么 a b b a a b 0 0 的反向量为 0 AB AC CB 即 共同起点 指向被减 a x y b x y 则 a b x x y y 3 数乘向量 实数 和向量 a 的乘积是一个向量 记作 a 且 a a 当 0 时 a 与 a 同方向 当 0 时 a 与 a 反方向 当 0 时 a 0 方向任意 当 a 0 时 对于任意实数 都有 a 0 注 按定义知 如果 a 0 那么 0 或 a 0 实数 叫做向量 a 的系数 乘数向量 a 的几何意义就是将表示向量 a 的有 向线段伸长或压缩 当 1 时 表示向量 a 的有向线段在原方向 0 或反方向 0 上伸长为原来的 倍 当 1 时 表示向量 a 的有向线段在原方向 0 或反方向 0 上缩短为原来的 倍 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律 a b a b a b 向量对于数的分配律 第一分配律 a a a 数对于向量的分配律 第二分配律 a b a b 数乘向量的消去律 如果实数 0 且 a b 那么 a b 如果 a 0 且 a a 那么 4 向量的的数量积 定义 已知两个非零向量 a b 作 OA a OB b 则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角 记作 a b 并规定 0 a b 定义 两个向量的数量积 内积 点积 是一个数量 记作 a b 若 a b 不 共线 则 a b a b cos a b 若 a b 共线 则 a b a b 向量的数量积的坐标表示 a b x x y y 向量的数量积的运算律 a b b a 交换律 a b a b 关于数乘法的结合律 a b c a c b c 分配律 向量的数量积的性质 a a a 的平方 a b a b 0 a b a b 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1 向量的数量积不满足结合律 即 a b c a b c 例如 a b 2 a 2 b 2 2 向量的数量积不满足消去律 即 由 a b a c a 0 推不出 b c 3 a b a b 4 由 a b 推不出 a b 或 a b 5 向量的向量积 定义 两个向量 a 和 b 的向量积 外积 叉积 是一个向量 记作 a b 若 a b 不共线 则 a b 的模是 a b a b sin a b a b 的方向是 垂直于 a 和 b 且 a b 和 a b 按这个次序构成右手系 若 a b 共线 则 a b 0 向量的向量积性质 a b 是以 a 和 b 为边的平行四边形面积 a a 0 a b a b 0 向量的向量积运算律 a b b a a b a b a b a b c a c b c 注 向量没有除法 向量 AB 向量 CD 是没有意义的 向量的三角形不等式 1 a b a b a b 当且仅当 a b 反向时 左边取等号 当且仅当 a b 同向时 右边取等号 2 a b a b a b 当且仅当 a b 同向时 左边取等号 当且仅当 a b 反向时 右边取等号 6 定比分点 定比分点公式 向量 P1P 向量 PP2 设 P1 P2 是直线上的两点 P 是 l 上不同于 P1 P2 的任意一点 则存在一 个实数 使 向量 P1P 向量 PP2 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比 若 P1 x1 y1 P2 x2 y2 P x y 则有 OP OP1 OP2 1 定比分点向量公式 x x1 x2 1 y y1 y2 1 定比分点坐标公式 我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2 的定比分点公式 三点共线定理 若 OC OA OB 且 1 则 A B C 三点共线 三角形重心判断式 在 ABC 中 若 GA GB GC O 则 G 为 ABC 的重心 编辑本段 向量共线的重要条件 若 b 0 则 a b 的重要条件是存在唯一实数 使 a b a b 的重要条件是 xy x y 0 零向量 0 平行于任何向量 编辑本段 向量垂直的充要条件 a b 的充要条件是 a b 0 a b 的充要条件是 xx yy 0 零向量 0 垂直于任何向量 空间向量空间向量 令 a1 a2 a3 则a 321 bbbb 332211 babababa 321 Raaaa 332211 babababa 共线向量共线向量 共线向量亦称平行向量 指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合 a 332211 Rbababab 3 3 2 2 1 1 b a b a b a 如果三个向量如果三个向量不共面不共面 那么对空间任一向量 存在一个唯一的有序实数组cba P x y z 使 czbyaxp 推论 设 O A B C 是不共面的四点 则对空间任一点 P 都存在唯一的有序实数 组 x y z 使 这里隐含 x y z 1 OCzOByOAxOP 向量垂直向量垂直 0 332211 babababa 空间两个向量的夹角公式空间两个向量的夹角公式 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 332211 cos bbbaaa bababa ba ba ba a b 123 a a a 123 b b b 空间两点的距离公式空间两点的距离公式 2 12 2 12 2 12 zzyyxxd 利用法向量求点到面的距离利用法向量求点到面的距离 如图 设 n 是平面的法向量 AB 是平面的一条射线 其中 则点 B 到平面 A 的距离为 n nAB 异面直线间的距离异面直线间的距离 是两异面直线 其公垂向量为 分别是上任一点 CD n d n 12 l ln CD 12 l l 为间的距离 d 12 l l 到平面到平面的距离的距离B 为平面的法向量 是经过面的一条斜线 AB n