可化为一元二次方程的分式方程

例 1 解方程 2 1 1 2 2 4 4 2 xxx x 解 原方程就是 2 1 1 2 2 2 2 4 xxxx x 去分母 得 2 2 2 2 24 xxxxx 整理后 得 02 2 xx 解这个方程 得 1 2 21 xx 经检验 是增根 是原方程的根 2 x1 x 说明 去分母前的排列 变号 如本题中的变为 去分母时分母为 1 的 x 2 2 2 2 x 整式或常数漏乘最简公母以及去括号时符号是否改变 都是解方程中容易出错的地方 解 题过程中都要认真对待 例 2 解方程 xx xx 2 2 2 322 解法一 原方程可化为 xx xx 2 2 2 3 2 设 则原方程化为yxx 2 y y 2 32 去分母 得 0232 2 yy 解这个方程 得 2 2 1 21 yy 当时 2 1 y 2 1 2 xx 0 2 1 2 xx 此方程无实根 021 当时 2 y2 2 xx 解这个方程 得 1 2 21 xx 经检验 都是原方程的根 1 2 21 xx 解法二 去分母 整理 得 0122 0 19 29 122 02 1 2 02 3 2 2 2 22 222 xx xxxx xxxx xxxx 或 02 x01 x 方程的 无实数根 0122 2 xx084 1 2 21 xx 经检验 都是原方程的根 1 2 21 xx 说明 从两种解法看到分式方程转化为整式方程的两种途径 解法一用的是换元法 因 为 设 经过换元使方程得到化简 解法二用的是去分母 222 22 xxxx yxx 2 其后在解的过程中也是一种换元的思想 是把看成一个整体 当成一个未知数 只xx 2 是没有显现出换元 如果换元方法掌握较好 对于这样的题采用解法二是否更为简捷些 例 3 当 a 取何值时 方程 1 2 2 1 2 2 1 xx ax x x x x 去分母 得 axxxx 2 2 1 1 2 解这个方程 得 2 5 a x 方程的解为负数 解得 0 2 5 a 5 a 0 1 2 xx 即 1 2 xx1 2 5 2 2 5 aa 7 1 aa 当且时 方程的解为负数 5 a7 a 说明 分式方程的解必使是各分式的分母不等于零 在求适合某种条件的字母系数的 值时 要特别注意这一点 例 4 某工厂计划生产 480 个零件 在实际生产中每小时多做了 10 个 结果不仅提前 1 小时完成任务 而且还比原计划多生产了 10 个零件 求原计划每小时做多少个零件 预计 用多少时间 分析 设原计划每小时做 x 个零件 那么预计用的时间就是小时 实际每小时生 x 480 产了个零件 共计生产了个 所以实际所用的时间是小时 根 10 x 10480 10 10480 x 据 实际比原计划提前 1 小时完成 这个等量关系列方程 解 设原计划每小时做 x 个零件 根据题意 有 1 10 10480480 xx 去分母 整理 得 0480020 2 xx 解这个方程 得 60 80 21 xx 经检验 都是原方程的根 但生产零件的个数不能为负数 所以只60 80 21 xx 取 60 x 当时 60 x8 60 480480 x 答 原计划每小时生产 60 个零件 预计用 8 小时完成任务 例 5 甲 乙二人分别从相距 27 千米的 A B 两地同时出发 相向而行 3 小时相遇 相遇后两人各用原来速度继续前进 甲到达 B 地比乙到达 A 地早 1 小时 21 分 求两人的速 度 分析 本题中的主要等量关系是走完全程甲比乙少用 1 小时 21 分 可用等式 表示 题目的前一句话中隐含了二人速度之间的关系 27 千米的路程 60 21 1 2727 甲速乙速 二人用 3 小时相遇 就是说二人的速度和是每小时 9 千米 如果设甲每小时走 x 千米 那 么乙每小时走 千米 x 9 解 设甲每小时走 x 千米 那么乙每小时走 千米 x 9 依题意 有 60 21 1 27 9 27 xx 化简得 20 11 9 1 xx 去分母 整理 得 018031 2 xx 解这个方程 得 5 36 21 xx 经检验 都是原方程的根 但速度不能为负数 所以只取 5 36 21 xx5 x 当时 5 x4599 x 答 甲每小时走 5 千米 乙每小时走 4 千米 说明 本题也可以把题中的两句话看成两个等量关系 列方程组求解 即 设甲的速度为每小时 x 千米 乙的速度为每小时 y 千米 根据题意 有 60 21 1 2727 2733 xy yx 方程组用代入消元法求解 典型例题六典型例题六 例 若解分式方程产生增根 则的值是 x x xx m x x1 1 1 1 2 m 分析 解分式方程可能产生增根的原因是去分母时两边都乘以最简公分母 含未知数 的整式 当这个整式的值为 0 时 就产生增根 所以解这类题目的方法是先去分母 将分式 方程化为整式方程 再将所有可能的增根代入这个整式方程 求出的值 m 解 原方程即是 x x xx m x x1 1 1 1 2 去分母 得 1 1 2 22 xmx 这个方程可能地增根是 1 0 xx或 把代入整式方程 得解得 0 x 1 1 0 m2 m 把代入整式方程 得解得1 x 11 1 1 2 22 m 1 m 故选 D 2 1 或m 典型例题七典型例题七 例 已知 x 是实数 且 那么的值为 2 3 3 3 2 2 xx xx xx3 2 A 1 B 3 或 1 C 3 D 1 或 3 误解 设 则原方程可变为 即yxx 3 2 2 3 y y 0 32 2 yy B 1 3 1 3 21 故选或 x yy 剖析 时 即是 此时 方程无实33 2 xx033 2 xx031432 数解 即 x 不是实数 与题设不符 应舍去 当时 即是 此13 2 xx013 2 xx 时方程有实数解 即 x 是实数 符合题设 故 0 1 1432 1 3 2 xx 正确答案 选 A 说明 此题由解分式方程演变而来 大大增加了成就机会 解题时 若忽视 实数 这个题设条件 将求得的值不加检验直接写出 则前功尽弃 还有一类题目由无理方程演变 而来 如 已知 x 为实数 且 则的值等于32462 22 xxxxxx2 2 典型例题八典型例题八 例 阅读理解题 关于的方程 x 的解是 c c x x 11 c xcx 1 21 即 的解是 c c x x 11 c c x x 11 c xcx 1 21 的解是 c c x x 22 c xcx 2 21 即 的解是 c c x x 22 c c x x 22 c xcx 2 21 的解是 c c x x 33 c xcx 3 21 1 请观察上述方程与解的特征 比较关于的方程 与它们的x c m c x m x 0 m 关系 猜想这个方程的解是什么 并利用 方程的解 的概念进行验证 2 由上述的观察 比较 猜想 验证 可以得出结论 如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和 方程右边的形式与左边完全相同 只是把 其中的未知数换成了某个常数 那么这样的方程可以直解 请你试用上述结论解关于的方程 x 1 2 1 2 a a x x 解 1 c m xcx 21 验证 当时 cx 1 左边 右边 c m c 是原方程的解 cx 1 当时 c m x 2 左边 右边 c m c c m m c m 是原方程的解 c m x 2 2 原方程可化为 1 2 1 1 2 1 a a x x 由以上结论可知 或 11 ax 1 2 1 a x 均为原方程的解 1 1 21 a a xax 典型例题九典型例题九 例 解分式方程 9 7 7 5 6 4 10 8 x x x x x x x x 分析 由于本例中分子的次数不低于分母的次数 首先可将分式化为整式部分与真分 式部分之和的形式 以简化运算 解 这种变形要注意借鉴 10 2 1 10 8 xx x 6 2 1 6 4 xx x 7 2 1 7 5 xx x 9 2 1 9 7 xx x 原方程化为 9 1 7 1 6 1 10 1 xxxx 左右两边分别通分 并整理 得 0 9 7 1 6 10 1 162 xxxx x 0 9 7 1 6 10 1 xxxx 0162 x8 x 经检验 是原方程的根 8 x 说明 先化简再求解是本例的关键所在 把一个分子次数不低于分母次数的分式化为整 式部分与真分式之和的一般方法是带余除法 典型例题十典型例题十 例解关于的方程 x bx a ax b a bx b ax 0 ba 分析 利用换元法求解 解设 则原方程可变形为m b ax n a bx 即 nm nm 11 mn nm nm 整理 得 0 1 mnnm 或 0 nm01 mn 当时 即0 nm0 a bx b ax 0 ba ba ba x 22 1 当时 即01 mn01 a bx b ax 解之 得 0 2 xbax 3 经检验 都是原方程的根 ba ba x 22 1 0 2 xbax 3 说明 本例的求解中用了两次换元 使解法显得巧妙 望能适当利用 典型例题十一典型例题十一 例解关于的分式方程 x 2 5 a xa ax x 分析 本例是含有字母参数的分式方程 先去分母化分式方程为整式方程 求出用 表示的根 再给以讨论 ax 解去分母 得 即 5 22xaaxaxaax 0372 22 aaxx 解之 得 ax3 1 ax 2 1 2 由原方程可知 即0 a0 xa0 ax 检验 把 分别代入原方程 分母均不为零 ax3 ax 2 1 原方程的根是 ax3 ax 2 1 说明 解含有字母参数的分式方程与一般的分式方程的方法相同 但应特别注意从题 目中识别字母系数的取值范围 并根据情况进行讨论 典型例题十二典型例题十二 例解方程 1 1 3 1 2 2 2 x x x x 分析 注意到 于是可采取换元法解之 2 11 2 2 2 x x x x 解把原方程化为 即1 1 32 1 2 2 x x x x 05 1 3 1 2 2 x x x x 设 则原方程可化为y x x 1 0532 2 yy 解之 得 1 1 y 2 5 2 y 当时 即1 y1 1 x x 01 2 xx 该方程的判别式 所以 它无实数解 0341 当时 即 2 5 y 2 51 x x 0252 2 xx 解之 得 2 1 x 2 1 2 x 经检验 2 1 x 2 1 2 x 原方程的根是 2 1 x 2 1 2 x 说明 该例中 切莫把看作求解 否则 2 11 2 2 2 x x x x 2 2 1 x x 2 1 x x 将会造成错误 选择题选择题 1 使分式的值为零的 x 的值为 1 2 2 x xx A 2 B 1 C 2 或 1 D 1 或 2 2 如果方程有增根 则 m 的值等于 xx m x x x x 2 1 1 2 A 1 或 2 B 1 或 2 C 1 或 2 D 1 或 2 3 方程的解的个数为 2 2 1 4 4 2 1 2 xx x x A 1 个B 2 个C 0 个D 3 个 4 下列方程 是分式方程0 532 1 2 xx 2 5 1 x 2 23 1 2 x x 01 1 2 x x 的个数为 A 4B 3C 2D 1 5 用换元法解方程 下列变形正确的是 2 5 2 1 1 3 2 2 x x x x A 设 变形 为B 设 变形 为y x x 1 3 2 2 51 y yy x x 1 3 2 2 5 1 1 y y C 设 变形 为D 设 变形 为 y x x 1 2 2 51 3 y yy x x 1 2 2 5 2 3 y y 6 方程的解的个数有 2 2 2 4 164 x x x A 3 个B 2 个C 1 个D 0 个 7 如果 那么的值等于 0 96 1 2 xxx 3 A B 1C D 1 2 1 8 若每人每天工效相同 个人天可做个零件 则个人做个零件需要的天数为absba A B C D s a2 a s2 2 a s s a 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 D 7 B 8 A 填空题填空题 1 方程可以采用左边通分后得方程 由等式性质只要解整 1 4 1 2 1 1 2 x x x x x x 式方程 2 方程如果有增根 则的值是 1 12 3 5 3 xx x x 3 当 时 分式与相等 x2 3 x x 2 3 x 4 方程的根是 2 2 2 4 2 2 2 x x x 5 方程 可用 法 设 化简原方程为 2 2 1 6 xx xx 6 甲 乙两组加工零件 甲在天内可加工个零件 乙在天内可加工个零件 若两acbd 人同时加工 个零件 则需要的天数是 t 7 当 时 方程无实根k 55 1 x k x x 答案 1 2 或 3 4 5 换元法 1 4 1 13 22 2 x x x x xx413 2 5 2 1 2 135 2 x 6 7 4 2 xxy y y 1 6 adbc abt 解答题解答题 1 解下列方程 1 2 3 3 1 3 46 xx33 5 3 11 2 x x xxx x 2 1 1 2 2 4 4 2 xxx x 4 5 7 1 1 6 1 1 2 x x x x 0 23 6 6 1 2 32 1 222 xx x xx x xx x 2 用换元法解下列方程 1 2 0 2 5 3 1 1 3 2 2 x x x x xx xx 2 2 2 1 3 4 02 2 36 12 2 2 2 2 2 x x x x 1 1 6 1 x x x x 5 6 05 1 61 x x x x 02 56 1 56 2 2 xx xx 7 8 074 32 1 2 2 x x 2 2 3 82 5 4 93 xx x x xx 9 10 02 9 3 9 1 2 x x x 06 7 7 1 2 2 x x x x 3 某工厂计划在数天内制造 1000 台机床 后来在实际生产时 每天比原计划多生产 25 台 结果提前两天完成 这个工厂实际生产的天数是多少天 4 一项工程 甲队单独完成比乙队单独完成少 15 天 如果甲队单独工作 10 天后 乙队再 单独工作 15 天 就可以完成这项工程的 求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天 3 2 5 两地相距 甲骑自行车由地驶向地 经过后乙骑自行车以每ABkm99ABmin30 小时比甲快的速度由地驶往地 两人在相距处相遇 求甲 乙两人的速km3BAkm54 度 6 有一河流的水流速度为 现有一船沿河航驶 往返于的两地 需用km h2km5 3 问此船在静水中的速度 min100 7 一个水池有甲 乙两个进水管 单独开放甲管注满水池比单独开放乙管注满水池多用 5 小时 如果两管同时开放 4 小时后 把乙管关上 甲管继续开放 2 小时 这时水池还差 没注满 求单独开放一个水管各需多少小时才能把水池注满 5 1 8 慢车从甲地开往乙地要比快车从乙地开往甲地多用 1 小时 若两车同时分别从甲 乙两 地出发 相向而行 则经过 1 小时 12 分钟相遇 问慢车从甲地开往乙地需多少时间 9 某校一班学生组织去春游需要车费 540 元 现有二班学生 5 人也参加进来 车费不变 这样每人可以少分摊 1 5 元 问一班有学生多少人 每人实际分摊车费多少元 10 某人承包植树 240 棵的任务 计划若干天完成 植树两天后 由于阴雨天气 平均每 天少植树 8 棵 因此